什么是優(yōu)化算法？

優(yōu)化算法的功能，是通過改善訓練方式，來最小化(或最大化)損失函數(shù)E(x)。

模型內(nèi)部有些參數(shù)，是用來計算測試集中目標值Y的真實值和預測值的偏差程度的，基于這些參數(shù)，就形成了損失函數(shù)E(x)。

比如說，權重(W)和偏差(b)就是這樣的內(nèi)部參數(shù)，一般用于計算輸出值，在訓練神經(jīng)網(wǎng)絡模型時起到主要作用。

在有效地訓練模型并產(chǎn)生準確結果時，模型的內(nèi)部參數(shù)起到了非常重要的作用。 這也是為什么我們應該用各種優(yōu)化策略和算法，來更新和計算影響模型訓練和模型輸出的網(wǎng)絡參數(shù)，使其逼近或達到最優(yōu)值。

優(yōu)化算法分為兩大類：

1. 一階優(yōu)化算法

這種算法使用各參數(shù)的梯度值來最小化或最大化損失函數(shù)E(x)。最常用的一階優(yōu)化算法是梯度下降。

函數(shù)梯度：導數(shù)dy/dx的多變量表達式，用來表示y相對于x的瞬時變化率。往往為了計算多變量函數(shù)的導數(shù)時，會用梯度取代導數(shù)，并使用偏導數(shù)來計算梯度。梯度和導數(shù)之間的一個主要區(qū)別是函數(shù)的梯度形成了一個向量場。

因此，對單變量函數(shù)，使用導數(shù)來分析；而梯度是基于多變量函數(shù)而產(chǎn)生的。更多理論細節(jié)在這里不再進行詳細解釋。

2. 二階優(yōu)化算法

二階優(yōu)化算法使用了二階導數(shù)(也叫做Hessian方法)來最小化或最大化損失函數(shù)。由于二階導數(shù)的計算成本很高，所以這種方法并沒有廣泛使用。

詳解各種神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化算法

梯度下降

在訓練和優(yōu)化智能系統(tǒng)時，梯度下降是一種最重要的技術和基礎。梯度下降的功能是：

通過尋找最小值，控制方差，更新模型參數(shù)，最終使模型收斂。

網(wǎng)絡更新參數(shù)的公式為：θ=θ?η×?(θ).J(θ)?，其中η是學習率，?(θ).J(θ)是損失函數(shù)J(θ)的梯度。

這是在神經(jīng)網(wǎng)絡中最常用的優(yōu)化算法。

如今，梯度下降主要用于在神經(jīng)網(wǎng)絡模型中進行權重更新，即在一個方向上更新和調(diào)整模型的參數(shù)，來最小化損失函數(shù)。

2006年引入的反向傳播技術，使得訓練深層神經(jīng)網(wǎng)絡成為可能。反向傳播技術是先在前向傳播中計算輸入信號的乘積及其對應的權重，然后將激活函數(shù)作用于這些乘積的總和。這種將輸入信號轉換為輸出信號的方式，是一種對復雜非線性函數(shù)進行建模的重要手段，并引入了非線性激活函數(shù)，使得模型能夠學習到幾乎任意形式的函數(shù)映射。然后，在網(wǎng)絡的反向傳播過程中回傳相關誤差，使用梯度下降更新權重值，通過計算誤差函數(shù)E相對于權重參數(shù)W的梯度，在損失函數(shù)梯度的相反方向上更新權重參數(shù)。

圖1顯示了權重更新過程與梯度矢量誤差的方向相反，其中U形曲線為梯度。要注意到，當權重值W太小或太大時，會存在較大的誤差，需要更新和優(yōu)化權重，使其轉化為合適值，所以我們試圖在與梯度相反的方向找到一個局部最優(yōu)值。

梯度下降的變體

傳統(tǒng)的批量梯度下降將計算整個數(shù)據(jù)集梯度，但只會進行一次更新，因此在處理大型數(shù)據(jù)集時速度很慢且難以控制，甚至導致內(nèi)存溢出。

權重更新的快慢是由學習率η決定的，并且可以在凸面誤差曲面中收斂到全局最優(yōu)值，在非凸曲面中可能趨于局部最優(yōu)值。

使用標準形式的批量梯度下降還有一個問題，就是在訓練大型數(shù)據(jù)集時存在冗余的權重更新。

標準梯度下降的上述問題在隨機梯度下降方法中得到了解決。

1. 隨機梯度下降(SDG)

隨機梯度下降（Stochastic gradient descent，SGD）對每個訓練樣本進行參數(shù)更新，每次執(zhí)行都進行一次更新，且執(zhí)行速度更快。

θ=θ?η??(θ) × J(θ;x(i);y(i))，其中x(i)和y(i)為訓練樣本。

頻繁的更新使得參數(shù)間具有高方差，損失函數(shù)會以不同的強度波動。這實際上是一件好事，因為它有助于我們發(fā)現(xiàn)新的和可能更優(yōu)的局部最小值，而標準梯度下降將只會收斂到某個局部最優(yōu)值。

但SGD的問題是，由于頻繁的更新和波動，最終將收斂到最小限度，并會因波動頻繁存在超調(diào)量。

雖然已經(jīng)表明，當緩慢降低學習率η時，標準梯度下降的收斂模式與SGD的模式相同。

另一種稱為“小批量梯度下降”的變體，則可以解決高方差的參數(shù)更新和不穩(wěn)定收斂的問題。

2. 小批量梯度下降

為了避免SGD和標準梯度下降中存在的問題，一個改進方法為小批量梯度下降（Mini Batch Gradient Descent），因為對每個批次中的n個訓練樣本，這種方法只執(zhí)行一次更新。

使用小批量梯度下降的優(yōu)點是：

1) 可以減少參數(shù)更新的波動，最終得到效果更好和更穩(wěn)定的收斂。

2) 還可以使用最新的深層學習庫中通用的矩陣優(yōu)化方法，使計算小批量數(shù)據(jù)的梯度更加高效。

3) 通常來說，小批量樣本的大小范圍是從50到256，可以根據(jù)實際問題而有所不同。

4) 在訓練神經(jīng)網(wǎng)絡時，通常都會選擇小批量梯度下降算法。

這種方法有時候還是被成為SGD。

使用梯度下降及其變體時面臨的挑戰(zhàn)

1. 很難選擇出合適的學習率。太小的學習率會導致網(wǎng)絡收斂過于緩慢，而學習率太大可能會影響收斂，并導致?lián)p失函數(shù)在最小值上波動，甚至出現(xiàn)梯度發(fā)散。

2. 此外，相同的學習率并不適用于所有的參數(shù)更新。如果訓練集數(shù)據(jù)很稀疏，且特征頻率非常不同，則不應該將其全部更新到相同的程度，但是對于很少出現(xiàn)的特征，應使用更大的更新率。

3. 在神經(jīng)網(wǎng)絡中，最小化非凸誤差函數(shù)的另一個關鍵挑戰(zhàn)是避免陷于多個其他局部最小值中。實際上，問題并非源于局部極小值，而是來自鞍點，即一個維度向上傾斜且另一維度向下傾斜的點。這些鞍點通常被相同誤差值的平面所包圍，這使得SGD算法很難脫離出來，因為梯度在所有維度上接近于零。

進一步優(yōu)化梯度下降

現(xiàn)在我們要討論用于進一步優(yōu)化梯度下降的各種算法。

1. 動量

SGD方法中的高方差振蕩使得網(wǎng)絡很難穩(wěn)定收斂，所以有研究者提出了一種稱為動量（Momentum）的技術，通過優(yōu)化相關方向的訓練和弱化無關方向的振蕩，來加速SGD訓練。換句話說，這種新方法將上個步驟中更新向量的分量’γ’添加到當前更新向量。

V(t)=γV(t?1)+η?(θ).J(θ)

最后通過θ=θ?V(t)來更新參數(shù)。

動量項γ通常設定為0.9，或相近的某個值。

這里的動量與經(jīng)典物理學中的動量是一致的，就像從山上投出一個球，在下落過程中收集動量，小球的速度不斷增加。

在參數(shù)更新過程中，其原理類似：

1) 使網(wǎng)絡能更優(yōu)和更穩(wěn)定的收斂；

2) 減少振蕩過程。

當其梯度指向實際移動方向時，動量項γ增大；當梯度與實際移動方向相反時，γ減小。這種方式意味著動量項只對相關樣本進行參數(shù)更新，減少了不必要的參數(shù)更新，從而得到更快且穩(wěn)定的收斂，也減少了振蕩過程。

2. Nesterov梯度加速法

一位名叫Yurii Nesterov研究員，認為動量方法存在一個問題：

如果一個滾下山坡的球，盲目沿著斜坡下滑，這是非常不合適的。一個更聰明的球應該要注意到它將要去哪，因此在上坡再次向上傾斜時小球應該進行減速。

實際上，當小球達到曲線上的最低點時，動量相當高。由于高動量可能會導致其完全地錯過最小值，因此小球不知道何時進行減速，故繼續(xù)向上移動。

Yurii Nesterov在1983年發(fā)表了一篇關于解決動量問題的論文，因此，我們把這種方法叫做Nestrov梯度加速法。

在該方法中，他提出先根據(jù)之前的動量進行大步跳躍，然后計算梯度進行校正，從而實現(xiàn)參數(shù)更新。這種預更新方法能防止大幅振蕩，不會錯過最小值，并對參數(shù)更新更加敏感。

Nesterov梯度加速法（NAG）是一種賦予了動量項預知能力的方法，通過使用動量項γV(t?1)來更改參數(shù)θ。通過計算θ?γV(t?1)，得到下一位置的參數(shù)近似值，這里的參數(shù)是一個粗略的概念。因此，我們不是通過計算當前參數(shù)θ的梯度值，而是通過相關參數(shù)的大致未來位置，來有效地預知未來：

V(t)=γV(t?1)+η?(θ)J( θ?γV(t?1) )，然后使用θ=θ?V(t)來更新參數(shù)。

現(xiàn)在，我們通過使網(wǎng)絡更新與誤差函數(shù)的斜率相適應，并依次加速SGD，也可根據(jù)每個參數(shù)的重要性來調(diào)整和更新對應參數(shù)，以執(zhí)行更大或更小的更新幅度。

3. Adagrad方法

Adagrad方法是通過參數(shù)來調(diào)整合適的學習率η，對稀疏參數(shù)進行大幅更新和對頻繁參數(shù)進行小幅更新。因此，Adagrad方法非常適合處理稀疏數(shù)據(jù)。

在時間步長中，Adagrad方法基于每個參數(shù)計算的過往梯度，為不同參數(shù)θ設置不同的學習率。

先前，每個參數(shù)θ(i)使用相同的學習率，每次會對所有參數(shù)θ進行更新。在每個時間步t中，Adagrad方法為每個參數(shù)θ選取不同的學習率，更新對應參數(shù)，然后進行向量化。為了簡單起見，我們把在t時刻參數(shù)θ(i)的損失函數(shù)梯度設為g(t,i)。

參數(shù)更新公式

Adagrad方法是在每個時間步中，根據(jù)過往已計算的參數(shù)梯度，來為每個參數(shù)θ(i)修改對應的學習率η。

Adagrad方法的主要好處是，不需要手工來調(diào)整學習率。大多數(shù)參數(shù)使用了默認值0.01，且保持不變。

Adagrad方法的主要缺點是，學習率η總是在降低和衰減。

因為每個附加項都是正的，在分母中累積了多個平方梯度值，故累積的總和在訓練期間保持增長。這反過來又導致學習率下降，變?yōu)楹苄?shù)量級的數(shù)字，該模型完全停止學習，停止獲取新的額外知識。

因為隨著學習速度的越來越小，模型的學習能力迅速降低，而且收斂速度非常慢，需要很長的訓練和學習，即學習速度降低。

另一個叫做Adadelta的算法改善了這個學習率不斷衰減的問題。

4. AdaDelta方法

這是一個AdaGrad的延伸方法，它傾向于解決其學習率衰減的問題。Adadelta不是累積所有之前的平方梯度，而是將累積之前梯度的窗口限制到某個固定大小w。

與之前無效地存儲w先前的平方梯度不同，梯度的和被遞歸地定義為所有先前平方梯度的衰減平均值。作為與動量項相似的分數(shù)γ，在t時刻的滑動平均值Eg2僅僅取決于先前的平均值和當前梯度值。

Eg2=γ.Eg2+(1?γ).g2(t)，其中γ設置為與動量項相近的值，約為0.9。

Δθ(t)=?η?g(t,i).

θ(t+1)=θ(t)+Δθ(t)

AdaDelta方法的另一個優(yōu)點是，已經(jīng)不需要設置一個默認的學習率。

目前已完成的改進

1) 為每個參數(shù)計算出不同學習率；

2) 也計算了動量項momentum；

3) 防止學習率衰減或梯度消失等問題的出現(xiàn)。

還可以做什么改進？

在之前的方法中計算了每個參數(shù)的對應學習率，但是為什么不計算每個參數(shù)的對應動量變化并獨立存儲呢？這就是Adam算法提出的改良點。

Adam算法

Adam算法即自適應時刻估計方法（Adaptive Moment Estimation），能計算每個參數(shù)的自適應學習率。這個方法不僅存儲了AdaDelta先前平方梯度的指數(shù)衰減平均值，而且保持了先前梯度M(t)的指數(shù)衰減平均值，這一點與動量類似：

M(t)為梯度的第一時刻平均值，V(t)為梯度的第二時刻非中心方差值。

兩個公式分別為梯度的第一個時刻平均值和第二個時刻方差

則參數(shù)更新的最終公式為：

圖6：參數(shù)更新的最終公式

其中，β1設為0.9，β2設為0.9999，?設為10-8。

在實際應用中，Adam方法效果良好。與其他自適應學習率算法相比，其收斂速度更快，學習效果更為有效，而且可以糾正其他優(yōu)化技術中存在的問題，如學習率消失、收斂過慢或是高方差的參數(shù)更新導致?lián)p失函數(shù)波動較大等問題。

對優(yōu)化算法進行可視化

從上面的動畫可以看出，自適應算法能很快收斂，并快速找到參數(shù)更新中正確的目標方向；而標準的SGD、NAG和動量項等方法收斂緩慢，且很難找到正確的方向。

結論

我們應該使用哪種優(yōu)化器？

在構建神經(jīng)網(wǎng)絡模型時，選擇出最佳的優(yōu)化器，以便快速收斂并正確學習，同時調(diào)整內(nèi)部參數(shù)，最大程度地最小化損失函數(shù)。

Adam在實際應用中效果良好，超過了其他的自適應技術。

如果輸入數(shù)據(jù)集比較稀疏，SGD、NAG和動量項等方法可能效果不好。 因此對于稀疏數(shù)據(jù)集，應該使用某種自適應學習率的方法，且另一好處為不需要人為調(diào)整學習率，使用默認參數(shù)就可能獲得最優(yōu)值。

如果想使訓練深層網(wǎng)絡模型快速收斂或所構建的神經(jīng)網(wǎng)絡較為復雜，則應該使用Adam或其他自適應學習速率的方法，因為這些方法的實際效果更優(yōu)。

希望你能通過這篇文章，很好地理解不同優(yōu)化算法間的特性差異。

相關鏈接：

二階優(yōu)化算法：https://web.stanford.edu/class/msande311/lecture13.pdf

Nesterov梯度加速法：http://cs231n.github.io/neural-networks-3/

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