寫在前面

• 計算目標(biāo)函數(shù)關(guān)于當(dāng)前參數(shù)的梯度： 
• 根據(jù)歷史梯度計算一階動量和二階動量：  ，
• 計算當(dāng)前時刻的下降梯度： 
• 根據(jù)下降梯度進行更新： 

• 鞍點：一個光滑函數(shù)的鞍點鄰域的曲線，曲面，或超曲面，都位于這點的切線的不同邊。例如這個二維圖形，像個馬鞍：在x-軸方向往上曲，在y-軸方向往下曲，鞍點就是（0，0）。

• 指數(shù)加權(quán)平均、偏差修正：可參見這篇文章

Gradient Descent（GD）

• 訓(xùn)練速度慢：在應(yīng)用于大型數(shù)據(jù)集中，每輸入一個樣本都要更新一次參數(shù)，且每次迭代都要遍歷所有的樣本，會使得訓(xùn)練過程及其緩慢，需要花費很長時間才能得到收斂解。
• 容易陷入局部最優(yōu)解：由于是在有限視距內(nèi)尋找下山的反向，當(dāng)陷入平坦的洼地，會誤以為到達(dá)了山地的最低點，從而不會繼續(xù)往下走。所謂的局部最優(yōu)解就是鞍點，落入鞍點，梯度為0，使得模型參數(shù)不在繼續(xù)更新。

Batch Gradient Descent（BGD）

Stochastic Gradient Descent（SGD）

• 雖然看起來SGD波動非常大，會走很多彎路，但是對梯度的要求很低（計算梯度快），而且對于引入噪聲，大量的理論和實踐工作證明，只要噪聲不是特別大，SGD都能很好地收斂。
• 應(yīng)用大型數(shù)據(jù)集時，訓(xùn)練速度很快。比如每次從百萬數(shù)據(jù)樣本中，取幾百個數(shù)據(jù)點，算一個SGD梯度，更新一下模型參數(shù)。相比于標(biāo)準(zhǔn)梯度下降法的遍歷全部樣本，每輸入一個樣本更新一次參數(shù)，要快得多。

• SGD在隨機選擇梯度的同時會引入噪聲，使得權(quán)值更新的方向不一定正確（次要）。
• SGD也沒能單獨克服局部最優(yōu)解的問題（主要）。

Mini-batch Gradient Descent（MBGD，也叫作SGD）

• Mini-batch gradient descent 不能保證很好的收斂性，learning rate 如果選擇的太小，收斂速度會很慢，如果太大，loss function 就會在極小值處不停地震蕩甚至偏離（有一種措施是先設(shè)定大一點的學(xué)習(xí)率，當(dāng)兩次迭代之間的變化低于某個閾值后，就減小 learning rate，不過這個閾值的設(shè)定需要提前寫好，這樣的話就不能夠適應(yīng)數(shù)據(jù)集的特點）。
  
  對于非凸函數(shù)，還要避免陷于局部極小值處，或者鞍點處，因為鞍點所有維度的梯度都接近于0，SGD 很容易被困在這里（會在鞍點或者局部最小點震蕩跳動，因為在此點處，如果是BGD的訓(xùn)練集全集帶入，則優(yōu)化會停止不動，如果是mini-batch或者SGD，每次找到的梯度都是不同的，就會發(fā)生震蕩，來回跳動）。
• SGD對所有參數(shù)更新時應(yīng)用同樣的 learning rate，如果我們的數(shù)據(jù)是稀疏的，我們更希望對出現(xiàn)頻率低的特征進行大一點的更新， 且learning rate會隨著更新的次數(shù)逐漸變小。

Momentum

• 隨機梯度的方法（引入的噪聲）
• Hessian矩陣病態(tài)問題（可以理解為SGD在收斂過程中和正確梯度相比來回擺動比較大的問題）。

Nesterov Accelerated Gradient

加上nesterov項后，梯度在大的跳躍后，進行計算對當(dāng)前梯度進行校正。下圖是momentum和nesterrov的對比表述圖如下：

Adagrad

• 仍需要手工設(shè)置一個全局學(xué)習(xí)率  , 如果  設(shè)置過大的話，會使regularizer過于敏感，對梯度的調(diào)節(jié)太大
• 中后期，分母上梯度累加的平方和會越來越大，使得參數(shù)更新量趨近于0，使得訓(xùn)練提前結(jié)束，無法學(xué)習(xí)

Adadelta

• 訓(xùn)練初中期，加速效果不錯，很快
• 訓(xùn)練后期，反復(fù)在局部最小值附近抖動

RMSprop

• 其實RMSprop依然依賴于全局學(xué)習(xí)率 
• RMSprop算是Adagrad的一種發(fā)展，和Adadelta的變體，效果趨于二者之間
• 適合處理非平穩(wěn)目標(biāo)(包括季節(jié)性和周期性)——對于RNN效果很好

Adaptive Moment Estimation（Adam）

• Adam梯度經(jīng)過偏置校正后，每一次迭代學(xué)習(xí)率都有一個固定范圍，使得參數(shù)比較平穩(wěn)。
• 結(jié)合了Adagrad善于處理稀疏梯度和RMSprop善于處理非平穩(wěn)目標(biāo)的優(yōu)點
• 為不同的參數(shù)計算不同的自適應(yīng)學(xué)習(xí)率
• 也適用于大多非凸優(yōu)化問題——適用于大數(shù)據(jù)集和高維空間。

AdaMax

Nadam

• 下圖描述了在一個曲面上，6種優(yōu)化器的表現(xiàn)：

• 下圖在一個存在鞍點的曲面，比較6中優(yōu)化器的性能表現(xiàn)：

• 下圖圖比較了6種優(yōu)化器收斂到目標(biāo)點（五角星）的運行過程

總結(jié)

• 對于稀疏數(shù)據(jù)，盡量使用學(xué)習(xí)率可自適應(yīng)的優(yōu)化方法，不用手動調(diào)節(jié)，而且最好采用默認(rèn)值
• SGD通常訓(xùn)練時間更長，但是在好的初始化和學(xué)習(xí)率調(diào)度方案的情況下，結(jié)果更可靠
• 如果在意更快的收斂，并且需要訓(xùn)練較深較復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)時，推薦使用學(xué)習(xí)率自適應(yīng)的優(yōu)化方法。
• Adadelta，RMSprop，Adam是比較相近的算法，在相似的情況下表現(xiàn)差不多。
• 在想使用帶動量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果
• 如果驗證損失較長時間沒有得到改善，可以停止訓(xùn)練。
• 添加梯度噪聲（高斯分布  ）到參數(shù)更新，可使網(wǎng)絡(luò)對不良初始化更加健壯，并有助于訓(xùn)練特別深而復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。

• An overview of gradient descent optimization algorithms（https://ruder.io/optimizing-gradient-descent/）
• 深度學(xué)習(xí)最全優(yōu)化方法總結(jié)比較（SGD，Adagrad，Adadelta，Adam，Adamax，Nadam）（https://zhuanlan.zhihu.com/p/22252270）
• visualize_optimizers（https://github.com/snnclsr/visualize_optimizers）
• lossfunctions（https://lossfunctions.tumblr.com/）
• 優(yōu)化算法Optimizer比較和總結(jié)（https://zhuanlan.zhihu.com/p/55150256）
• 一個框架看懂優(yōu)化算法之異同 SGD/AdaGrad/Adam（https://zhuanlan.zhihu.com/p/32230623）
• 深度學(xué)習(xí)——優(yōu)化器算法Optimizer詳解（BGD、SGD、MBGD、Momentum、NAG、Adagrad、Adadelta、RMSprop、Adam）（https://www.cnblogs.com/guoyaohua/p/8542554.html）
• 機器學(xué)習(xí)：各種優(yōu)化器Optimizer的總結(jié)與比較（https://blog.csdn.net/weixin_40170902/article/details/80092628）
• optimizer優(yōu)化算法總結(jié)（https://blog.csdn.net/muyu709287760/article/details/62531509#%E4%B8%89%E7%A7%8Dgradient-descent%E5%AF%B9%E6%AF%94）