一、機器學(xué)習(xí)的優(yōu)化

機器學(xué)習(xí)的優(yōu)化（目標(biāo)），簡單來說是：搜索模型的一組參數(shù) w，它能顯著地降低代價函數(shù) J(w)，該代價函數(shù)通常包括整個訓(xùn)練集上的性能評估（經(jīng)驗風(fēng)險）和額外的正則化（結(jié)構(gòu)風(fēng)險）。與傳統(tǒng)優(yōu)化不同，它不是簡單地根據(jù)數(shù)據(jù)的求解最優(yōu)解，在大多數(shù)機器學(xué)習(xí)問題中，我們關(guān)注的是測試集（未知數(shù)據(jù)）上性能度量P的優(yōu)化。

• 對于模型，測試集是未知，我們只能通過優(yōu)化訓(xùn)練集的性能度量P_train，在獨立同分布基礎(chǔ)假設(shè)下，期望測試集也有較好的性能（泛化效果），這意味并不是一味追求訓(xùn)練集的最優(yōu)解。
• 另外，有些情況性能度量P（比如分類誤差f1-score）并不能高效地優(yōu)化，在這種情況下，我們通常會優(yōu)化替代損失函數(shù) (surrogate loss function)。例如，負(fù)對數(shù)似然通常用作 0 ? 1 分類損失的替代。

當(dāng)我們機器學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)目標(biāo)是極大化降低（經(jīng)驗）損失函數(shù)，這點和傳統(tǒng)的優(yōu)化是比較相似的，那么如何實現(xiàn)這個目標(biāo)呢？我們第一反應(yīng)可能是直接求解損失函數(shù)最小值的公式/解析解（如最小二乘法），獲得最優(yōu)的模型參數(shù)。但是，通常機器學(xué)習(xí)模型的損失函數(shù)較復(fù)雜，很難直接求最優(yōu)解。幸運的是，我們還可以通過優(yōu)化算法（如遺傳算法、梯度下降算法、牛頓法等）有限次迭代優(yōu)化模型參數(shù)，以盡可能降低損失函數(shù)的值，得到較優(yōu)的參數(shù)值（數(shù)值解）。上述去搜索一組最\較優(yōu)參數(shù)解w所使用的算法，即是優(yōu)化算法。下圖優(yōu)化算法的總結(jié)：（圖與本文內(nèi)容較相符，摘自@teekee）

二、優(yōu)化算法盤點

最小二乘法

最小二乘法常用在機器學(xué)習(xí)回歸模型求解析解（對于復(fù)雜的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無法通過這方法求解），其幾何意義是高維空間中的一個向量在低維子空間的投影。

如下以一元線性回歸用最小二乘法求解為例。

其損失函數(shù)mse為：對損失函數(shù)求極小值，也就是一階導(dǎo)數(shù)為0。通過偏導(dǎo)可得關(guān)于參數(shù)a及偏置b的方程組：代入數(shù)值求解上述線性方程組，可以求解出a，b的參數(shù)值。也就是求解出上圖擬合的那條直線ax+b。

遺傳算法

注：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化算法以梯度下降類算法較為高效，也是主流的算法。而遺傳算法、貪心算法、模擬退火等優(yōu)化算法用的比較少。

遺傳算法（Genetic Algorithms，GA）是模擬自然界遺傳和生物進(jìn)化論而成的一種并行隨機搜索最優(yōu)化方法。與自然界中“優(yōu)勝略汰，適者生存”的生物進(jìn)化原理相似，遺傳算法就是在引入優(yōu)化參數(shù)形成的編碼串聯(lián)群體中，按照所選擇的適應(yīng)度函數(shù)并通過遺傳中的選擇、交叉和變異對個體進(jìn)行篩選，使適應(yīng)度好的個體被保留，適應(yīng)度差的個體被淘汰，新的群體既繼承了上一代的信息，又優(yōu)于上一代。這樣反復(fù)循環(huán)迭代，直至滿足條件。

梯度下降（GD）

梯度下降算法可以直觀理解成一個下山的方法，將損失函數(shù)J(w)比喻成一座山，我們的目標(biāo)是到達(dá)這座山的山腳（即求解出最優(yōu)模型參數(shù)w使得損失函數(shù)為最小值）。

下山要做的無非就是“往下坡的方向走，走一步算一步”，而在損失函數(shù)這座山上，每一位置的下坡的方向也就是它的負(fù)梯度方向（直白點，也就是山的斜向下的方向）。在每往下走到一個位置的時候，求解當(dāng)前位置的梯度，向這一步所在位置沿著最陡峭最易下山的位置再走一步。這樣一步步地走下去，一直走到覺得我們已經(jīng)到了山腳。當(dāng)然這樣走下去，有可能我們不是走到山腳（全局最優(yōu)，Global cost minimun），而是到了某一個的小山谷（局部最優(yōu)，Local cost minimun），這也后面梯度下降算法的可進(jìn)一步調(diào)優(yōu)的地方。對應(yīng)的算法步驟，直接截我之前的圖：梯度下降是一個大類，常見的梯度下降算法及優(yōu)缺點，如下圖：

隨機梯度下降（SGD）

對于深度學(xué)習(xí)而言“隨機梯度下降, SGD”，其實就是基于小批量（mini-batch）的隨機梯度下降，當(dāng)batchsize為1也就是在線學(xué)習(xí)優(yōu)化。

隨機梯度下降是在梯度下降算法效率上做了優(yōu)化，不使用全量樣本計算當(dāng)前的梯度，而是使用小批量（mini-batch）樣本來估計梯度，大大提高了效率。原因在于使用更多樣本來估計梯度的方法的收益是低于線性的，對于大多數(shù)優(yōu)化算法基于梯度下降，如果每一步中計算梯度的時間大大縮短，則它們會更快收斂。且訓(xùn)練集通常存在冗余，大量樣本都對梯度做出了非常相似的貢獻(xiàn)。此時基于小批量樣本估計梯度的策略也能夠計算正確的梯度，但是節(jié)省了大量時間。

對于mini-batch的batchsize的選擇是為了在內(nèi)存效率（時間）和內(nèi)存容量（空間）之間尋找最佳平衡。

• batchsize 不能太大。較大的batch可能會使得訓(xùn)練更快，但可能導(dǎo)致泛化能力下降。更大的batch size 只需要更少的迭代步數(shù)就可以使得訓(xùn)練誤差收斂，還可以利用大規(guī)模數(shù)據(jù)并行的優(yōu)勢。但是更大的batch size 計算的梯度估計更精確，它帶來更小的梯度噪聲。此時噪聲的力量太小，不足以將參數(shù)帶出一個尖銳極小值的吸引區(qū)域。這種情況需要提高學(xué)習(xí)率，減小batch size 提高梯度噪聲的貢獻(xiàn)。

• batchsize不能太小。小的batchsize可以提供類似正則化效果的梯度噪聲，有更好的泛化能力。但對于多核架構(gòu)來講，太小的batch并不會相應(yīng)地減少計算時間（考慮到多核之間的同步開銷）。另外太小batchsize，梯度估計值的方差非常大，因此需要非常小的學(xué)習(xí)速率以維持穩(wěn)定性。如果學(xué)習(xí)速率過大，則導(dǎo)致步長的變化劇烈。

還可以自適應(yīng)調(diào)節(jié)batchsize，參見《Small Batch or Large Batch? Peifeng Yin》

Momentum動量算法

Momentum算法在梯度下降中加入了物理中的動量的概念，模擬物體運動時候的慣性，即在更新的時候在一定程度上保留之前更新的方向，同時利用當(dāng)前batch的梯度對之前的梯度進(jìn)行微調(diào)，這樣一來，可以在一定程度上增加穩(wěn)定性，從而學(xué)習(xí)的更快，并且有一定的擺脫局部最優(yōu)的能力。

該算法引入了變量 v 作為參數(shù)在參數(shù)空間中持續(xù)移動的速度向量，速度一般可以設(shè)置為負(fù)梯度的指數(shù)衰減滑動平均值。對于一個給定需要最小化的代價函數(shù)，動量可以表達(dá)為：更新后的梯度 = 折損系數(shù)γ動量項+ 學(xué)習(xí)率?當(dāng)前的梯度。

其中 ? 為學(xué)習(xí)率，γ ∈ (0, 1] 為動量系數(shù)，v 是速度向量。一般來說，梯度下降算法下降的方向為局部最速的方向（數(shù)學(xué)上稱為最速下降法），它的下降方向在每一個下降點一定與對應(yīng)等高線的切線垂直，因此這也就導(dǎo)致了 GD 算法的鋸齒現(xiàn)象。加入動量法的梯度下降是令梯度直接指向最優(yōu)解的策略之一。

Nesterov

Nesterov動量是動量方法的變種，也稱作Nesterov Accelerated Gradient（NAG）。在預(yù)測參數(shù)下一次的位置之前，我們已有當(dāng)前的參數(shù)和動量項，先用(θ?γvt?1)下一次出現(xiàn)位置的預(yù)測值作為參數(shù)，雖然不準(zhǔn)確，但是大體方向是對的，之后用我們預(yù)測到的下一時刻的值來求偏導(dǎo)，讓優(yōu)化器高效的前進(jìn)并收斂。

在平滑的凸函數(shù)的優(yōu)化中，對比批量梯度下降，NAG 的收斂速度超出 1/k 到 1/(k^2)

Adagrad

Adagrad 亦稱為自適應(yīng)梯度（adaptive gradient），允許學(xué)習(xí)率基于參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，而不需要在學(xué)習(xí)過程中人為調(diào)整學(xué)習(xí)率。Adagrad 根據(jù)不常用的參數(shù)進(jìn)行較大幅度的學(xué)習(xí)率更新，根據(jù)常用的參數(shù)進(jìn)行較小幅度的學(xué)習(xí)率更新。然而 Adagrad 的最大問題在于，在某些情況，學(xué)習(xí)率變得太小，學(xué)習(xí)率單調(diào)下降使得網(wǎng)絡(luò)停止學(xué)習(xí)過程。

其中是梯度平方的積累量s，在進(jìn)行參數(shù)更新時，學(xué)習(xí)速率要除以這個積累量的平方根，其中加上一個很小值是ε為了防止除0的出現(xiàn)。由于s 是逐漸增加的，那么學(xué)習(xí)速率是相對較快地衰減的。

RMSProp

RMSProp 算是對Adagrad算法的改進(jìn)，主要是解決學(xué)習(xí)速率過快衰減的問題，它不是像AdaGrad算法那樣暴力直接的累加平方梯度，而是加了一個衰減系數(shù)γ 來控制歷史信息的獲取多少。

Adam

Adam 算法為兩種隨機梯度下降的優(yōu)點集合：

• 適應(yīng)性梯度算法（AdaGrad）為每一個參數(shù)保留一個學(xué)習(xí)率以提升在稀疏梯度（即自然語言和計算機視覺問題）上的性能。
• 均方根傳播（RMSProp）基于權(quán)重梯度最近量級的均值為每一個參數(shù)適應(yīng)性地保留學(xué)習(xí)率。這意味著算法在非穩(wěn)態(tài)和在線問題上有很有優(yōu)秀的性能。

Adam 算法同時獲得了 AdaGrad 和 RMSProp 算法的優(yōu)點，像RMSprop 一樣存儲了過去梯度的平方 v的指數(shù)衰減平均值 ，也像 momentum 一樣保持了過去梯度 m 的指數(shù)衰減平均值：

如果 m 和 v被初始化為 0 向量，那它們就會向 0 偏置，所以做了偏差校正放大它們：

梯度更新能夠從梯度均值及梯度平方兩個角度進(jìn)行自適應(yīng)地調(diào)節(jié)，而不是直接由當(dāng)前梯度決定。

牛頓法

牛頓法和梯度下降法相比，兩者都是迭代求解，不過梯度下降法是梯度求解（一階優(yōu)化），而牛頓法是用二階的海森矩陣的逆矩陣求解。相對而言，使用牛頓法收斂更快（迭代更少次數(shù)），但是每次迭代的時間比梯度下降法長（計算開銷更大，實際常用擬牛頓法替代）。

通俗來講，梯度下降法每次只從你當(dāng)前所處位置選一個坡度最大的方向走一步，牛頓法在選擇方向時，不僅會考慮坡度是否夠大，還會考慮你走了一步之后，后面坡度是否會變得更大。所以，可以說牛頓法比梯度下降法看得更遠(yuǎn)一點，能更快地走到最底部。但是，牛頓法對初始值有一定要求，在非凸優(yōu)化問題中（如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練），牛頓法很容易陷入鞍點（牛頓法步長會越來越小），而梯度下降法則更容易逃離鞍點（因此在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中一般使用梯度下降法，高維空間的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中存在大量鞍點）。

綜上， 對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化，常用梯度下降等較為高效的方法。梯度下降算法類有SGD、Momentum、Adam等算法可選。對于大多數(shù)任務(wù)而言，通常可以直接先試下Adam，然后可以繼續(xù)在具體任務(wù)上驗證不同優(yōu)化器效果。

（End）

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