丁鵬：多角度回顧因果推斷的模型方法
來(lái)源：集智俱樂(lè)部 本文約23000字，建議閱讀20+分鐘 本文整理自丁鵬老師的8篇短文，從多角度回顧了因果推斷的各種模型方法。
[ 導(dǎo)讀 ] 推斷因果關(guān)系，是人類思想史與科學(xué)史上的重要主題?，F(xiàn)代因果推斷的研究，始于約爾-辛普森悖論，經(jīng)由魯賓因果模型、隨機(jī)試驗(yàn)等改進(jìn)，到朱力亞·珀?duì)柕囊蚬锩?，如今因果科學(xué)與人工智能的結(jié)合正掀起熱潮。
目錄
1. 因果推斷簡(jiǎn)介之一：
從 Yule-Simpson’s Paradox 講起
在國(guó)內(nèi)的時(shí)候，向別人介紹自己是研究因果推斷（causal inference）的，多半的反應(yīng)是：什么？統(tǒng)計(jì)還能研究因果？這確實(shí)是一個(gè)問(wèn)題：統(tǒng)計(jì)研究因果，能、還是不能？直接給出回答，比較冒險(xiǎn)；如果有可能，我需要花一些篇幅來(lái)闡述這個(gè)問(wèn)題。
目前市面上能夠買到的相關(guān)教科書(shū)僅有 2011 年圖靈獎(jiǎng)得主 Judea Pearl 的 Causality: Models, Reasoning, and Inference。Harvard 的統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Donald Rubin 和 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家 Guido Imbens 合著的教科書(shū)歷時(shí)多年仍尚未完成；Harvard 的流行病學(xué)家 James Robins 和他的同事也在寫(xiě)一本因果推斷的教科書(shū)，本書(shū)目前只完成了第一部分，還未出版。我本人學(xué)習(xí)因果推斷是從 Judea Pearl 的教科書(shū)入手的，不過(guò)這本書(shū)晦澀難懂，實(shí)在不適合作為入門的教科書(shū)。Donald Rubin 對(duì) Judea Pearl 提出的因果圖模型（causal diagram）非常反對(duì)，他的教科書(shū)中杜絕使用因果圖模型。我本人雖然腦中習(xí)慣用圖模型進(jìn)行思考，但是還是更偏好 Donald Rubin 的風(fēng)格，因?yàn)檫@對(duì)于入門者，可能更容易。不過(guò)這一節(jié)，先從一個(gè)例子出發(fā)，不引進(jìn)新的統(tǒng)計(jì)符號(hào)和概念。
天才的高斯在研究天文學(xué)時(shí)，首次引進(jìn)了最大似然和最小二乘的思想，并且導(dǎo)出了正態(tài)分布（或稱高斯分布）。其中最大似然有些爭(zhēng)議，比如 Arthur Dempster 教授說(shuō)，其實(shí)高斯那里的似然，有貝葉斯或者信仰推斷（fiducial inference）的成分。高斯那里的 “統(tǒng)計(jì)” 是關(guān)于 “誤差” 的理論，因?yàn)樗芯康膶?duì)象是 “物理模型” 加“隨機(jī)誤差”。大約在 100 多年前，F(xiàn)rancis Galton 研究了父母身高和子女身高的 “關(guān)系”，提出了“（向均值）回歸” 的概念。眾所周知，他用的是線性回歸模型。此時(shí)的模型不再是嚴(yán)格意義的“物理模型”，而是“統(tǒng)計(jì)模型” — 用于刻畫(huà)變量之間的關(guān)系，而不一定是物理機(jī)制。之后，Karl Pearson 提出了“相關(guān)系數(shù)”（correlation coefficient）。
后世研究的統(tǒng)計(jì)，大多是關(guān)于 “相關(guān)關(guān)系” 的理論。但是關(guān)于 “因果關(guān)系” 的統(tǒng)計(jì)理論，非常稀少。據(jù) Judea Pearl 說(shuō)，Karl Pearson 明確的反對(duì)用統(tǒng)計(jì)研究因果關(guān)系；有意思的是，后來(lái)因果推斷為數(shù)不多的重要文章（如 Rosenbaum and Rubin 1983; Pearl 1995）都發(fā)表在由 Karl Pearson 創(chuàng)刊的 Biometrika 上。下面講到的悖論，可以說(shuō)是困擾統(tǒng)計(jì)的根本問(wèn)題，我學(xué)習(xí)因果推斷便是由此入門的。
Table 1 中，處理組和對(duì)照組中，男性的比例分別為多少？這對(duì)悖論的產(chǎn)生有什么樣的影響？反過(guò)來(lái)考慮處理的 “分配機(jī)制”（assignment mechanism），計(jì)算P(Treatment∣Male)和 P(Treatment∣Female)。 假如(X，Y，Z)服從三元正態(tài)分布，X和Y正相關(guān)，Y和Z正相關(guān)，那么X和Z是否正相關(guān)？（北京大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)系 09 年《應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析》期末第一題） 流行病學(xué)的教科書(shū)常常會(huì)講各種悖論，比如混雜偏倚 （confounding bias）和入院率偏倚（Berkson’s bias）等，本質(zhì)上是否與因果推斷有關(guān)？
計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的 “內(nèi)生性”（endogeneity）怎么定義？它和 Yule-Simpson 悖論有什么聯(lián)系？
2. 因果推斷簡(jiǎn)介之二：
Rubin Causal Model (RCM) 和隨機(jī)化試驗(yàn)
設(shè)
表示個(gè)體 i接受處理與否，處理取1，對(duì)照取0 (這部分的處理變量都討論二值的，多值的可以做相應(yīng)的推廣)；
表示個(gè)體 i的結(jié)果變量。另外記 
表示個(gè)體 i接受處理或者對(duì)照的潛在結(jié)果 (potential outcome)，那么 
表示個(gè)體 i 接受治療的個(gè)體因果作用。不幸的是，每個(gè)個(gè)體要么接受處理，要么接受對(duì)照，
中必然缺失一半，個(gè)體的因果作用是不可識(shí)別的。觀測(cè)的結(jié)果是 
。但是，在Z做隨機(jī)化的前提下，我們可以識(shí)別總體的平均因果作用 (Average Causal Effect; ACE）：
可以由觀測(cè)的數(shù)據(jù)估計(jì)出來(lái)。其中第一個(gè)等式用到了期望算子的線性性（非線性的算子導(dǎo)出的因果度量很難被識(shí)別！)；第二個(gè)式子用到了隨機(jī)化，即
表示獨(dú)立性。由此可見(jiàn)，隨機(jī)化試驗(yàn)對(duì)于平均因果作用的識(shí)別起著至關(guān)重要的作用。
需要非常強(qiáng)的假定，通常不具有可行性。“可識(shí)別性”（identifiability）在統(tǒng)計(jì)中是怎么定義的？ 醫(yī)學(xué)研究者通常認(rèn)為，隨機(jī)對(duì)照試驗(yàn)（randomized controlled experiment）是研究處理有效性的黃金標(biāo)準(zhǔn)，原因是什么呢？隨機(jī)化試驗(yàn)為什么能夠消除 Yule-Simpson 悖論？ 
在隨機(jī)化下是可識(shí)別的。另外一個(gè)和它“對(duì)偶”的量是 Ju and Geng (2010) 提出的分布因果作用（distributional causal effect: DCE）：
，在隨機(jī)化下也可以識(shí)別。即使完全隨機(jī)化， 
也不可識(shí)別。也就是說(shuō)，經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出的具有“經(jīng)濟(jì)學(xué)意義”的量，很難用觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)。這種現(xiàn)象在實(shí)際中常常發(fā)生：關(guān)心實(shí)際問(wèn)題的人向統(tǒng)計(jì)學(xué)家索取的太多，而他們提供的數(shù)據(jù)又很有限。
3. 因果推斷簡(jiǎn)介之三：
R. A. Fisher 和 J. Neyman 的分歧
R.A.Fisher
坦白地說(shuō)，這個(gè)零假設(shè)是我見(jiàn)過(guò)的最奇怪的零假設(shè)，沒(méi)有之一?，F(xiàn)行的統(tǒng)計(jì)教科書(shū)中，講到假設(shè)檢驗(yàn)，零假設(shè)都是針對(duì)某些參數(shù)的，而 Fisher 的 sharp null 看起來(lái)卻像是針對(duì)隨機(jī)變量的。這里需要講明白的是，當(dāng)我們關(guān)心有限樣本 （finite sample）的因果作用時(shí)，每個(gè)個(gè)體的潛在結(jié)果 
都是固定的，觀測(cè)變量
結(jié)果向量為
為處理組中的總數(shù)。這里的“條件期望”并不是說(shuō) 
，計(jì)算此時(shí)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 
；如此重復(fù)多次n不大時(shí)，可以窮盡所有的置換，便可以模擬出統(tǒng)計(jì)量在零假設(shè)下的分布，計(jì)算出 p 值。
J. Neyman
在 sharp null下，Neyman 方法下構(gòu)造的 T 統(tǒng)計(jì)量，是否和 Fisher randomization test 構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量相同？分布是否相同？
Fisher randomization test 中的統(tǒng)計(jì)量可以有其他選擇，比如 Wilcoxon 秩和統(tǒng)計(jì)量等，推斷的方法類似。
當(dāng)Y是二值變量時(shí)，上面 Fisher 的方法就是教科書(shū)中的 Fisher exact test。在沒(méi)有學(xué)習(xí) potential outcome 這套語(yǔ)言之前，理解 Fisher exact test 是有些困難的。
證明
。假定n個(gè)個(gè)體是一個(gè)超總體（super-population）的隨機(jī)樣本，超總體的平均因果作用定義為
那么 Neyman 的方法得到估計(jì)量是超總體平均因果作用的無(wú)偏估計(jì)，且方差的表達(dá)式是精確的；而 sharp null 在超總體的情形下不太適合。
觀察性研究，可忽略性和傾向得分
成立，這保證了平均因果作用 
成立，因?yàn)橹挥性诮o定協(xié)變量X后，處理的分配機(jī)制才是完全隨機(jī)化的。比如，男性和女性中，接受處理的比例不同，但是這個(gè)比例是事先給定的。
成立，那么
就表示平均因果作用。線性模型比較容易實(shí)現(xiàn)，實(shí)際中人們比較傾向這種方法。但是他的問(wèn)題是：（1）假定個(gè)體因果作用是常數(shù)；（2）對(duì)于處理和對(duì)照組之間的不平衡（unbalance）沒(méi)有很好的檢測(cè)，常常在對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)外推（extrapolation）。
容易驗(yàn)證，在可忽略性下，它滿足性質(zhì) 
（在數(shù)據(jù)降維的文獻(xiàn)中，稱之為“充分降維”，sufficient dimension reduction） 和 
（給定傾向得分下的可忽略性）。根據(jù)前面的推導(dǎo)，顯然有 ACE=E[E(Y|e(X), Z=1)]-E[E(Y|e(X),Z=0)] 。此時(shí)，傾向得分是一維的，我們可以根據(jù)它分層 （Rosenbaum 和 Rubin 建議分成 5 層），得到平均因果作用的估計(jì)。連續(xù)版本的分層，就是下面的加權(quán)估計(jì)：
時(shí)， 第一個(gè)估計(jì)量是因果作用的相合估計(jì)；當(dāng) 時(shí)，第二個(gè)估計(jì)量是因果作用的相合估計(jì)。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的背景，我們應(yīng)該選擇哪個(gè)估計(jì)量呢？到此為止，回答這個(gè)問(wèn)題有些似是而非（選擇調(diào)整的估計(jì)量？），更進(jìn)一步的回答，請(qǐng)聽(tīng)下回分解：因果圖（causal diagram）。如果X是二值的變量（如性別），那么匹配或者傾向的分都導(dǎo)致如下的估計(jì)量: 
這個(gè)公式在流行病學(xué)中非?；?，即根據(jù)混雜變量進(jìn)行分層調(diào)整。在后面的介紹中將講到，這個(gè)公式被 Judea Pearl 稱為“后門準(zhǔn)則”（backdoor criterion）。 傾向得分的加權(quán)形式， 
本質(zhì)上是抽樣調(diào)查中的 Horvitz-Thompson 估計(jì)。在流行病學(xué)的文獻(xiàn)中，這樣的估計(jì)量常被稱為“逆概加權(quán)估計(jì)量”（inverse probability weighting estimator; IPWE）。 直觀上，為什么估計(jì)的傾向得分會(huì)更好？想想偏差和方差的權(quán)衡（bias-variance tradeoff）。
5. 因果推斷簡(jiǎn)介之五： 因果圖 (Causal Diagram)
一、 有向無(wú)環(huán)圖和 do 算子
。這里用 
表示連續(xù)變量的密度函數(shù)和離散變量的概率函數(shù)。有兩種觀點(diǎn)看待一個(gè) DAG：一是將其看成表示條件獨(dú)立性的模型；二是將其看成一個(gè)數(shù)據(jù)生成機(jī)制。當(dāng)然，本質(zhì)上這兩種觀點(diǎn)是一樣的。在第一種觀點(diǎn)下，給定 DAG 中某個(gè)節(jié)點(diǎn)的“父親”節(jié)點(diǎn)，它與其所有的非“后代”都獨(dú)立。根據(jù)全概公式和條件獨(dú)立性，DAG 中變量的聯(lián)合分布可以有如下的遞歸分解：
表示
的“父親”集合，即所有指向的節(jié)點(diǎn)集合。
Figure 1: An Example of Causal Diagram
可以有兩種分解
和
因此，我們從觀測(cè)變量的聯(lián)合分布，很難確定“原因”和“結(jié)果”。在下一節(jié)圖模型結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)中，我們會(huì)看到，只有在一些假定和特殊情形下，我們可以從觀測(cè)數(shù)據(jù)確定“原因”和“結(jié)果”。
（也可以記做
），表示如下的操作：將 
中指向 
的有向邊全部切斷，且將 的取值固定為常數(shù). 如此操作，得到的新的聯(lián)合分布可以記做
可以證明，干預(yù)后的聯(lián)合分布為
在絕大多數(shù)情況下是不同的。
的“原因”，“條件”和“干預(yù)
，對(duì)應(yīng)
的分布相同。但是在 Figure 2 (2) 中，有. 由于的“結(jié)果”，“條件”（或者“給定”）“結(jié)果”，“原因”的分布不再等于他的邊緣分布，但是人為的“干預(yù)”“結(jié)果，并不影響“原因的分布。
對(duì)于
的平均因果作用定義為“I must take the opportunity to acknowledge four colleagues who saw clarity shining through the do(x) operator before it gained popularity: Steffen Lauritzen, David Freedman, James Robins and Philip David. Phil showed special courage in pringting my paper in Biometrika, the journal founded by causality’s worst adversary – Karl Pearson.” (Pearl, 2000)
表示潛在結(jié)果。要想說(shuō)明兩個(gè)模型的等價(jià)性，可以將潛在結(jié)果嵌套在 DAG 所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)生成機(jī)制之中，所有的潛在結(jié)果都由這個(gè)非參數(shù)結(jié)構(gòu)方程模型產(chǎn)生：
表
除的父親節(jié)點(diǎn)。上面的方程表示：
的值強(qiáng)制z時(shí)，DAG 系統(tǒng)所產(chǎn)生
值。這個(gè)意義下，do 算子導(dǎo)出的結(jié)果，就是“潛在結(jié)果”。二、 d分離，前門準(zhǔn)則和后門準(zhǔn)則
是 DAG 中不相交的節(jié)點(diǎn)集合，
為一條連接
中某節(jié)點(diǎn)到
中某節(jié)點(diǎn)的路徑 （不管方向）。如果路徑
上某節(jié)點(diǎn)滿足如下的條件：在路徑 上，w點(diǎn)處為v 結(jié)構(gòu) （或稱沖撞點(diǎn)，collider），且W及其后代不在Z中； 在路徑 上，w點(diǎn)處不是v 結(jié)構(gòu)，且 w在 中,
進(jìn)一步，如果 Z阻斷了X到 Y的所有路徑，那么稱 z d 分離 X和Y，記為
Z中節(jié)點(diǎn)不能是的后代； Z阻斷了之間所有指向 
的路徑（這樣的路徑可以稱為后門路徑）；
后門準(zhǔn)則。進(jìn)一步，Z相對(duì)于變量的有序滿足后門準(zhǔn)則，其中 
是中的任意節(jié)點(diǎn)；那么稱變量的集Z相對(duì)于節(jié)點(diǎn)集合的有序?qū)?/span>
滿足后門準(zhǔn)則。滿足后門準(zhǔn)則，那X和Y的因果作用是可以識(shí)別的，且為了理解因果圖的概念，下面的簡(jiǎn)短證明是很有必要的。Z切斷了所有 X到Y(jié) 的直接路徑； X到Z 沒(méi)有后門路徑； 所有 Z到Y(jié) 的后門路徑都被X 阻斷。
X和Y的因果作用可識(shí)別，為
。
之間的后門路徑被 
或者
阻斷，而前門路徑被
阻斷。上面的兩個(gè)準(zhǔn)則表明，要識(shí)別從 
的因果作用，我們不需要觀測(cè)到所有的變量，只需要觀測(cè)到切斷后門路徑或者前門路徑的變量即可。三、 回到 Yule-Simpson’s Paradox
之間形成了一個(gè)V結(jié)構(gòu)：雖然 T和U之間是獨(dú)立的，但是給定 X之后，T和U不再獨(dú)立。四、 討論
現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題，是否能用一個(gè)有向無(wú)環(huán)圖表示？大多數(shù)生物學(xué)家看到 DAG 的反應(yīng)是“能不能用圖表示反饋？”的確，DAG 作為一種簡(jiǎn)化的模型，在復(fù)雜系統(tǒng)中可能不完全適用。要想將 DAG 推廣到動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)，或者時(shí)間序列中，還有待研究。 Pearl 引入的 do 算子，是他在因果推斷領(lǐng)域最主要的貢獻(xiàn)。所謂 “do”，就是“干預(yù)”，Pearl 認(rèn)為干預(yù)就是從系統(tǒng)之外人為的控制某些變量。但是，這依賴于一個(gè)假定：干預(yù)某些變量并不會(huì)引起 DAG 中其他結(jié)構(gòu)的變化。這個(gè)假定常常會(huì)受到質(zhì)疑，但是質(zhì)疑歸質(zhì)疑，Pearl 的這個(gè)假定雖然看似很強(qiáng)，但根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)卻不可檢驗(yàn)。這種質(zhì)疑并不是 Pearl 的理論獨(dú)有的缺陷，這事實(shí)上是一切研究的缺陷。比如，我們用完全隨機(jī)化試驗(yàn)來(lái)研究處理的作用，我們要想將實(shí)驗(yàn)推廣到觀察性的數(shù)據(jù)或者更大的人群中去，也必須用到一些不可驗(yàn)證的假定。 很多人看了 Pearl 的理論后就嘲笑他：難道我們可以在 DAG 中干預(yù)“性別”？確實(shí)，離開(kāi)了實(shí)際的背景，干預(yù)性別似乎是不太合理的。那這個(gè)時(shí)候，根據(jù) Pearl 的 do算子得到的因果作用意味著什么呢？可以從幾個(gè)方面回答這個(gè)問(wèn)題。 很多問(wèn)題，我們不能談?wù)摗案深A(yù)性別”，也不能談?wù)摗靶詣e”的“因果作用”。“性別”的特性是“協(xié)變量”（covariate），對(duì)于這類變量（如身高、膚色等），談?wù)撘蚬饔貌缓线m，因?yàn)槲覀儾荒芟胂蟪鲆粋€(gè)可能的“實(shí)驗(yàn)”，干預(yù)這些變量。 上面的回答基于“實(shí)驗(yàn)學(xué)派”（experimentalists’）的觀點(diǎn)，認(rèn)為不可干預(yù)，就沒(méi)有“因果”。但是，如果認(rèn)為只要有數(shù)據(jù)的生成機(jī)制，就有因果關(guān)系，那么算出性別的因果作用也不奇怪。（計(jì)量經(jīng)就學(xué)一直有爭(zhēng)議，以 Joshua Angrist、Guido Imbens 等為首的“實(shí)驗(yàn)派”，和以 James Heckman 為首的“結(jié)構(gòu)方程模型”派，有過(guò)很激烈的討論。） 有些問(wèn)題中性別的因果作用是良好定義的。比如，我們可以人工的修改應(yīng)聘者簡(jiǎn)歷上的名字（隨機(jī)的使用男性和女性名字），便可以研究性別對(duì)于求職的影響，是否存在性別歧視等等（已有研究使用過(guò)這種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)）。 一個(gè)更為嚴(yán)重的問(wèn)題是，實(shí)際工作中，我們很難得到一個(gè)完整的 DAG，用于闡述變量之間的因果關(guān)系或者數(shù)據(jù)生成機(jī)制，使得 DAG 的應(yīng)用受到的巨大的阻礙。不過(guò)，從觀測(cè)數(shù)據(jù)學(xué)習(xí) DAG 的結(jié)構(gòu)，確實(shí)是一個(gè)很有趣且重要的問(wèn)題，這留待下回分解。
在何種意義下，后門準(zhǔn)則的條件，等價(jià)于可忽略性，即
?在第一節(jié)的 Yule-Simpson’s Paradox 中，我們最終選擇調(diào)整的估計(jì)量，還是不調(diào)整的估計(jì)量？
工具變量（instrumental variable）
（隨機(jī)化）Zi⊥{Di(1),Di(0),Yi(1),Yi(0)}
CACE 的一個(gè)矩估計(jì)便是
CACE.IV(Y, D, Z)$CACE[1] 0.07914375$se.CACE[,1][1,] 0.02273439$p.value[,1][1,] 0.0004991073$prob.complier[1] 0.2925123$se.complier[1] 0.004871619
五、R code
## function for complier average causal effectCACE.IV <- function(outcome, treatment, instrument) {Y <- outcomeD <- treatmentZ <- instrumentN <- length(Y)Y1 <- Y[Z == 1]Y0 <- Y[Z == 0]D1 <- D[Z == 1]D0 <- D[Z == 0]mean.Y1 <- mean(Y1)mean.Y0 <- mean(Y0)mean.D1 <- mean(D1)mean.D0 <- mean(D0)prob.complier <- mean.D1 - mean.D0var.complier <- var(D1) / length(D1) + var(D0) / length(D0)se.complier <- var.complier^0.5CACE <- (mean.Y1 - mean.Y0) / (mean.D1 - mean.D0)## COVpi1 <- mean(Z)pi0 <- 1 - pi1Omega <- c(var(Y1) / pi1, cov(Y1, D1) / pi1, 0, 0,cov(Y1, D1) / pi1, var(D1) / pi1, 0, 0,0, 0, var(Y0) / pi0, cov(Y0, D0) / pi0,0, 0, cov(Y0, D0) / pi0, var(D0) / pi0)Omega <- matrix(Omega, byrow = TRUE, nrow = 4)## GradientGrad <- c(1, -CACE, -1, CACE) / (mean.D1 - mean.D0)COV.CACE <- t(Grad) %*% Omega %*% Grad / Nse.CACE <- COV.CACE^0.5p.value <- 2 * pnorm(abs(CACE / se.CACE), 0, 1, lower.tail = FALSE)## resultsres <- list(CACE = CACE,se.CACE = se.CACE,p.value = p.value,prob.complier = prob.complier,se.complier = se.complier)return(res)}
第一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)家，采取了一種很簡(jiǎn)單的方法。如圖所示，橫軸表示 1963 年 6 月入學(xué)前的體重X，縱軸表示 1964 年 6 月前放假的體重Y。個(gè)體上來(lái)看，男女入學(xué)前和入學(xué)后一年體重都會(huì)有些變化，男女學(xué)生體重的散點(diǎn)圖分別用綠色和紅色標(biāo)出。從男女學(xué)生生平均體重來(lái)看，男生入學(xué)前后一年平均體重均是 150 磅（圖中右上角的黑點(diǎn)），女生入學(xué)前后一年平均體重均為 130 磅（圖中左下角的黑點(diǎn)）。圖中的虛線是對(duì)角線Y=X，兩個(gè)黑點(diǎn)均位于對(duì)角線上。因此，第一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)家的結(jié)論是食堂對(duì)于男女學(xué)生體重都沒(méi)有影響，因此對(duì)男女學(xué)生體重的作用相同。
注：橫軸表示 1963 年 6 月入學(xué)前的體重X，縱軸表示 1964 年 6 月前放假的體重Y；虛線是對(duì)角線Y=X；男女學(xué)生體重的散點(diǎn)圖分別用綠色和紅色標(biāo)出。圖中數(shù)據(jù)生成機(jī)制如下：男學(xué)生(X,Y)~二元正態(tài)分布，均值(150,150)，協(xié)方差矩陣;女學(xué)生(X,Y)~二元正態(tài)分布，均值(130,130)，協(xié)方差矩陣
。生成這幅圖的 R 代碼可以在這里下載：Rcodehttps://uploads.cosx.org/2013/09/Rcode2.txt。由于樣本量 3000，樣本均值非常接近理論均值，因此落在了對(duì)角線上。)
吸煙是否導(dǎo)致肺癌？Fisher versus Cornfield
一、Cornfield 條件或者 Cornfield 不等式
（圖注：J Cornfield）
… if cigarette smokers have 9 times the risk of nonsmokers for developing lung cancer, and this is not because cigarette smoke is a causal agent, but only because cigarette smokers produce hormone X, then the proportion of hormone-X producers among cigarette smokers must be at least 9 times greater than nonsmokers. If the relative prevalence of hormone-X-producers is considerably less than ninefold, then hormone-X cannot account for the magnitude of the apparent effect.
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Cornfield 最早的論文發(fā)表于 1959 年；由于它的重要性，這篇文章又在 2009 年重印了一次（50 周年紀(jì)念）。于是參考文獻(xiàn)有兩篇，它們是一樣的；不過(guò)后者多了很多名人的討論。
Cornfield J et al. Smoking and lung cancer: recent evidence and a discussion of some questions. JNCI 1959;22:173-203.
Cornfield J et al. Smoking and lung cancer: recent evidence and a discussion of some questions. Int J Epidemiol 2009;38:1175-91.（本文邀請(qǐng)了 David R Cox 和 Joel B Greenhouse 等人討論。）
最近 Ding and VanderWeele 重新回訪了這個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，給出了更加廣泛的結(jié)果。Ding, Peng and Vanderweele, Tyler J. (2014). Generalized Cornfield conditions for the risk difference, Biometrika, 101:4, 971-977. https://doi.org/10.1093/biomet/asu030
編輯：于騰凱
校對(duì)：林亦霖
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