算法原理：大數(shù)據(jù)處理的分治思想！
引言
MapReduce（分治算法的應(yīng)用） 是 Google 大數(shù)據(jù)處理的三駕馬車之一，另外兩個是 GFS 和 Bigtable。它在倒排索引、PageRank 計算、網(wǎng)頁分析等搜索引擎相關(guān)的技術(shù)中都有大量的應(yīng)用。
盡管開發(fā)一個MapReduce看起來很高深，感覺遙不可及。實際上，萬變不離其宗，它的本質(zhì)就是分治算法思想，分治算法。如何理解分治算法？為什么說 MapRedue 的本質(zhì)就是分治算法呢？
分治是一種被廣泛應(yīng)用的有效方法，它的基本思想是把最初的問題分解成若干子問題，然后，在逐個解決各個子問題的基礎(chǔ)上得到原始問題的解。所謂分治就是“分而治之”的意思。由于分解出的每個子問題總是要比最初的問題容易些，因而分治策略往往能夠降低原始問題的難度，或者提高解決問題的效率。例如，到圖書館查找某一本書，一般都是根據(jù)大的類別確定書應(yīng)該在文學(xué)類、自然科學(xué)類，還是在外語類，直奔相應(yīng)的樓層，再按照下一級的分類找到對應(yīng)的藏書室，如有必要，再按更細(xì)的分類找到對應(yīng)的書架，最終找到需要的書。又如，學(xué)校要評選出本年度的三好學(xué)生，便把任務(wù)分配到各個學(xué)院，學(xué)院接到任務(wù)再分配到年級、班級，班級、年級評選的結(jié)果在學(xué)院匯總后上報學(xué)校，學(xué)校再把各學(xué)院報來的名單綜合起來，從而完成整個評選工作。
根據(jù)如何由分解出的子問題求出原始問題的解，分治策略又可分為兩種情形：其一是原始問題的解只存在于分解出的某一個子問題中，則只需要在原始問題的一個劃分中求解即可，如前面的第一個例子；另一種情形則是原始問題的解需要由各個子問題的解再經(jīng)過綜合處理而得到，第二個例子就是這種類型。無論是哪一種情況，適當(dāng)運用分治策略往往可以較快地縮小問題求解的范圍，從而加快問題求解的速度。
分治策略運用于計算機(jī)算法時，往往會出現(xiàn)分解出來的子問題與原始問題類型相同的現(xiàn)象，而與原問題相比，各個子問題的“尺寸”變小了。這剛好符合“遞歸”的特征，因此計算機(jī)中的分治策略往往是與遞歸聯(lián)系在一起的。
全文如下：
本文從分治算法的思想出發(fā)，深度講解該算法的使用條件、基本解題步驟、及實現(xiàn)等幾個方面，結(jié)合了分治實戰(zhàn)，完整梳理算法內(nèi)容。
1. 算法思想
總體思想：
將要求解的較大規(guī)模的問題分割成k個更小規(guī)模的子問題。 對這k個子問題分別求解。如果子問題的規(guī)模仍然不夠小，則再劃分為k個子問題，如此遞歸的進(jìn)行下去，直到問題規(guī)模足夠小，很容易求出其解為止。 將求出的小規(guī)模的問題的解合并為一個更大規(guī)模的問題的解，自底向上逐步求出原來問題的解。
分治的設(shè)計思想是，將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
2. 適用條件
分治所能解決的問題一般具有以下幾個特征：
該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決； 該問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì) 利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解； 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子問題。
這條特征涉及到分治的效率，如果各子問題是不獨立的，則分治要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，此時雖然也可用分治，但一般用動態(tài)規(guī)劃較好。
3. 基本步驟
設(shè)計過程分為三個階段：
Divide：整個問題劃分為多個子問題 Conquer：求解各子問題(遞歸調(diào)用正設(shè)計的算法) Merge：合并子問題的解, 形成原始問題的解
偽代碼：
def divide_conquer(problem, paraml, param2,...)：
# 不斷切分的終止條件
if problem is None：
print_result
return
# 準(zhǔn)備數(shù)據(jù)
data=prepare_data(problem)
# 將大問題拆分為小問題
subproblems=split_problem(problem, data)
# 處理小問題，得到子結(jié)果
subresult1=self.divide_conquer(subproblems[0],p1,..…)
subresult2=self.divide_conquer(subproblems[1],p1,...)
subresult3=self.divide_conquer(subproblems[2],p1,.…)
# 對子結(jié)果進(jìn)行合并 得到最終結(jié)果
result=process_result(subresult1, subresult2, subresult3,...)
4. 時間復(fù)雜性分析
一般的，分治的時間復(fù)雜性可歸結(jié)為遞歸方程：
其中，a是子問題的個數(shù)，b是遞減的步長， ~表示遞減方式， D(n)是合成子問題的開銷。
??通常，遞歸元的遞減方式~有兩種：
1、減法，即n – b，的形式
2、除法，即n / b，的形式
5. 算法實現(xiàn)
如果用算法A處理一個計算問題，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)D是一個集合,其數(shù)據(jù)量比較大時,可以將D劃分為幾個子集D1,D2,…D，然后使用算法A分別處理這些子集,最后將k 個結(jié)果進(jìn)行綜合,從而得到原問題的解。這種方法稱為分治。
用遞歸函數(shù)框架描述分治：
Divide_and conquer (D) {
If (集合 D的數(shù)據(jù)量非常小，達(dá)到遞歸起點)
用非遞歸方法直接處理D, 得到解S;
else {
將D分解為子集D, D.*, Dk;
for (i =1;i <=k;i++ )
Si= Divide_ and_ conquer (D：) ;
綜合S,S2,...,Sk,得到解S;
}
分治的執(zhí)行步驟可以分為三個階段,即劃分?jǐn)?shù)據(jù)階段、遞歸處理階段和綜合合并階段。有些問題的劃分階段時間費用較多,有些問題則合并階段的時間費用較多。
6. 應(yīng)用與實例
分治算法的應(yīng)用主要可分為以下五種：
1）二分搜索算法
????問題：要求在一個n元已排序的數(shù)組A[n]中，搜索一個特定元素x。
2）合并排序算法
????問題：將一個n元數(shù)組A排序。
3）快速排序算法
????問題：將一個n元數(shù)組A排序。
4）搜索第k元
????問題：n元數(shù)組A中,尋找大小排第k位的元素。
5）最近點對
????問題：空間n個點中,尋找距離最近的點對。
而通過應(yīng)用舉例分析理解分治算法的原理其實并不難，但是要想靈活應(yīng)用并在編程中體現(xiàn)這種思想中卻并不容易。所以，這里這里用分治算法應(yīng)用在排序的時候的一個例子，加深對分治算法的理解。
相關(guān)概念：
? 有序度：表示一組數(shù)據(jù)的有序程度
? 逆序度：表示一組數(shù)據(jù)的無序程度
一般通過計算有序?qū)蛘吣嫘驅(qū)Φ膫€數(shù)，來表示數(shù)據(jù)的有序度或逆序度。
假設(shè)我們有 n 個數(shù)據(jù)，我們期望數(shù)據(jù)從小到大排列，那完全有序的數(shù)據(jù)的有序度就是 n(n-1)/2，逆序度等于 0；相反，倒序排列的數(shù)據(jù)的有序度就是 0，逆序度是 n(n-1)/2。
Q：如何編程求出一組數(shù)據(jù)的有序?qū)€數(shù)或者逆序?qū)€數(shù)呢？
因為有序?qū)€數(shù)和逆序?qū)€數(shù)的求解方式是類似的，所以這里可以只思考逆序?qū)Γǔ＝佑|的）個數(shù)的求解方法。
方法1：
拿數(shù)組里的每個數(shù)字跟它后面的數(shù)字比較，看有幾個比它小的。 把比它小的數(shù)字個數(shù)記作 k，通過這樣的方式，把每個數(shù)字都考察一遍之后，然后對每個數(shù)字對應(yīng)的 k 值求和 o 最后得到的總和就是逆序?qū)€數(shù)。 這樣操作的時間復(fù)雜度是O(n^2)（需要兩層循環(huán)過濾）。那有沒有更加高效的處理方法呢？這里嘗試套用分治的思想來求數(shù)組 A 的逆序?qū)€數(shù)。
方法2：
首先將數(shù)組分成前后兩半 A1 和 A2，分別計算 A1 和 A2 的逆序?qū)€數(shù) K1 和 K2 然后再計算 A1 與 A2 之間的逆序?qū)€數(shù) K3。那數(shù)組 A 的逆序?qū)€數(shù)就等于 K1+K2+K3。 注意使用分治算法其中一個要求是，子問題合并的代價不能太大，否則就起不了降低時間復(fù)雜度的效果了。 如何快速計算出兩個子問題 A1 與 A2 之間的逆序?qū)€數(shù)呢？這里就要借助歸并排序算法了。（這里先回顧一下歸并排序思想）**如何借助歸并排序算法來解決呢？歸并排序中有一個非常關(guān)鍵的操作，就是將兩個有序的小數(shù)組，合并成一個有序的數(shù)組。實際上，在這個合并的過程中，可以計算這兩個小數(shù)組的逆序?qū)€數(shù)了。每次合并操作，我們都計算逆序?qū)€數(shù)，把這些計算出來的逆序?qū)€數(shù)求和，就是這個數(shù)組的逆序?qū)€數(shù)了。
7. 分治實戰(zhàn)
案例1：169.多數(shù)元素
【題目描述】
給定一個大小為 n 的數(shù)組，找到其中的眾數(shù)。眾數(shù)是指在數(shù)組中出現(xiàn)次數(shù)大于 [n/2] 的元素。
你可以假設(shè)數(shù)組是非空的，并且給定的數(shù)組總是存在眾數(shù)。
示例 1：
輸入：[3,2,3]
輸出：3
示例 2：
輸入：[2,2,1,1,1,2,2]
輸出：2
【解題思路】
確定切分的終止條件
??直到所有的子問題都是長度為 1 的數(shù)組，停止切分。準(zhǔn)備數(shù)據(jù)，將大問題切分為小問題
??遞歸地將原數(shù)組二分為左區(qū)間與右區(qū)間，直到最終的數(shù)組只剩下一個元素，將其返回處理子問題得到子結(jié)果，并合并
長度為 1 的子數(shù)組中唯一的數(shù)顯然是眾數(shù)，直接返回即可。 如果它們的眾數(shù)相同，那么顯然這一段區(qū)間的眾數(shù)是它們相同的值。 如果他們的眾數(shù)不同，比較兩個眾數(shù)在整個區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的次數(shù)來決定該區(qū)間的眾數(shù)
【參考代碼】
class Solution(object)：
def majorityElement2(self, nums)：
"""
：type nums：List[int]
：rtype：int
"""
# 【不斷切分的終止條件】
if not nums：
return None
if len(nums) == 1：
return nums[0]
# 【準(zhǔn)備數(shù)據(jù)，并將大問題拆分為小問題】
left = self.majorityElement(nums[：len(nums)//2])
right = self.majorityElement(nums[len(nums)//2：])
# 【處理子問題，得到子結(jié)果】
# 【對子結(jié)果進(jìn)行合并 得到最終結(jié)果】
if left == right：
return left
if nums.count(left) > nums.count(right)：
return left
else：
return right
1）解法1（時間復(fù)雜度O（n）的解法）
遍歷nums，遇到與當(dāng)前值相同count加一，不同count減一，并且當(dāng)count減到0時，換當(dāng)前數(shù)字為當(dāng)前值，count置1
class Solution:
def majorityElement(self, nums) -> int:
cur = nums[0]
count = 0
for _ in nums:
if cur == _:
count += 1
else:
count -= 1
if count == 0:
cur = _
count = 1
return cur
2）解法2（哈希表）
統(tǒng)計頻次
class Solution:
def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:
numDict = {}
n = len(nums)
for i in nums:
numDict[i] = numDict.get(i, 0) + 1
for key in numDict.keys():
if numDict[key] > n/2:
return key
案例2：53.最大子序和
【題目描述】
給定一個整數(shù)數(shù)組 nums ，找到一個具有最大和的連續(xù)子數(shù)組（子數(shù)組最少包含一個元素），返回其最大和。
示例：
輸入：[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
輸出：6
解釋：連續(xù)子數(shù)組 [4,-1,2,1] 的和最大為6。
【解題思路】
確定切分的終止條件
??直到所有的子問題都是長度為 1 的數(shù)組，停止切分。準(zhǔn)備數(shù)據(jù)，將大問題切分為小問題
??遞歸地將原數(shù)組二分為左區(qū)間與右區(qū)間，直到最終的數(shù)組只剩下一個元素，將其返回處理子問題得到子結(jié)果，并合并
將數(shù)組切分為左右區(qū)間 對與左區(qū)間：從右到左計算左邊的最大子序和 對與右區(qū)間：從左到右計算右邊的最大子序和 由于左右區(qū)間計算累加和的方向不一致，因此，左右區(qū)間直接合并相加之后就是整個區(qū)間的和 最終返回左區(qū)間的元素、右區(qū)間的元素、以及整個區(qū)間(相對子問題)和的最大值
【參考代碼】
class Solution(object)：
def maxSubArray(self, nums)：
"""
：type nums：List[int]
：rtype：int
"""
# 【確定不斷切分的終止條件】
n = len(nums)
if n == 1：
return nums[0]
# 【準(zhǔn)備數(shù)據(jù)，并將大問題拆分為小的問題】
left = self.maxSubArray(nums[：len(nums)//2])
right = self.maxSubArray(nums[len(nums)//2：])
# 【處理小問題，得到子結(jié)果】
# 從右到左計算左邊的最大子序和
max_l = nums[len(nums)//2 -1] # max_l為該數(shù)組的最右邊的元素
tmp = 0 # tmp用來記錄連續(xù)子數(shù)組的和
for i in range( len(nums)//2-1 , -1 , -1 )：# 從右到左遍歷數(shù)組的元素
tmp += nums[i]
max_l = max(tmp ,max_l)
# 從左到右計算右邊的最大子序和
max_r = nums[len(nums)//2]
tmp = 0
for i in range(len(nums)//2,len(nums))：
tmp += nums[i]
max_r = max(tmp,max_r)
# 【對子結(jié)果進(jìn)行合并 得到最終結(jié)果】
# 返回三個中的最大值
return max(left,right,max_l+ max_r)
1）解法1（暴力求解）
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
tmp = nums[0]
max_ = tmp
n = len(nums)
for i in range(1,n):
# 當(dāng)當(dāng)前序列加上此時的元素的值大于tmp的值，說明最大序列和可能出現(xiàn)在后續(xù)序列中，記錄此時的最大值
if tmp + nums[i]>nums[i]:
max_ = max(max_, tmp+nums[i])
tmp = tmp + nums[i]
else:
#當(dāng)tmp(當(dāng)前和)小于下一個元素時，當(dāng)前最長序列到此為止。以該元素為起點繼續(xù)找最大子序列,
# 并記錄此時的最大值
max_ = max(max_, tmp, tmp+nums[i], nums[i])
tmp = nums[i]
return max_
2）解法2（分治法）
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
tmp = nums[0]
max_ = tmp
n = len(nums)
for i in range(1,n):
# 當(dāng)當(dāng)前序列加上此時的元素的值大于tmp的值，說明最大序列和可能出現(xiàn)在后續(xù)序列中，記錄此時的最大值
if tmp + nums[i]>nums[i]:
max_ = max(max_, tmp+nums[i])
tmp = tmp + nums[i]
else:
#當(dāng)tmp(當(dāng)前和)小于下一個元素時，當(dāng)前最長序列到此為止。以該元素為起點繼續(xù)找最大子序列,
# 并記錄此時的最大值
max_ = max(max_, tmp, tmp+nums[i], nums[i])
tmp = nums[i]
return max_
3）解法3（動態(tài)規(guī)劃）
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
dp=[0]*(len(nums))
dp[0]=nums[0]
for i in range(1,len(nums)):
if dp[i-1]<=0:
dp[i]=nums[i]
else:
dp[i]=dp[i-1]+nums[i]
return max(dp)
案例3：50.Pow(x, n)
【題目描述】
實現(xiàn) pow(x, n) ，即計算 x 的 n 次冪函數(shù)。
示例 1：
輸入：2.00000, 10
輸出：1024.00000
示例 2：
輸入：2.10000, 3
輸出：9.26100
示例 3：
輸入：2.00000, -2
輸出：0.25000
解釋：2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25
【說明】
100.0 < x < 100.0 n 是 32 位有符號整數(shù)，其數(shù)值范圍是 [?2^{31}, 2^{31} ? 1] 。
【解題思路】
確定切分的終止條件
??對n不斷除以2，并更新n，直到為0，終止切分準(zhǔn)備數(shù)據(jù)，將大問題切分為小問題
??對n不斷除以2，更新處理子問題得到子結(jié)果，并合并
x與自身相乘更新x 如果n%2 ==1 將p乘以x之后賦值給p(初始值為1)，返回p
最終返回p
【參考代碼】
class Solution(object)：
def myPow(self, x, n)：
"""
：type x：float
：type n：int
：rtype：float
"""
# 處理n為負(fù)的情況
if n < 0 ：
x = 1/x
n = -n
# 【確定不斷切分的終止條件】
if n == 0 ：
return 1
# 【準(zhǔn)備數(shù)據(jù)，并將大問題拆分為小的問題】
if n%2 ==1：
# 【處理小問題，得到子結(jié)果】
p = x * self.myPow(x,n-1)# 【對子結(jié)果進(jìn)行合并 得到最終結(jié)果】
return p
return self.myPow(x*x,n/2)
1）解法1（二分法）
class Solution:
def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
if x == 0.0: return 0.0
res = 1
if n < 0: x, n = 1 / x, -n
while n:
if n & 1: res *= x
x *= x
n >>= 1
return res
2）解法2（優(yōu)化遞歸）
class Solution(object):
def myPow(self, x, n):
"""
:type x: float
:type n: int
:rtype: float
"""
if n == 0:
return 1
if n < 0:
x = 1 / x
n = -n
if n % 2:
return x * self.myPow(x, n - 1)
return self.myPow(x * x, n / 2)
參考資料
編程實踐（LeetCode 分類練習(xí)） 力扣(LeetCode)平臺