傅里葉變換的意義是什么？
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關(guān)于傅立葉變換，無論是書本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述，但是大都讓人很難理解太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列。
要理解傅立葉變換，確實需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換是怎么變換的，當(dāng)然，也需要一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，最基本的是級數(shù)變換，其中傅立葉級數(shù)變換是傅立葉變換的基礎(chǔ)公式。
傅立葉變換的提出
讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier（1768-1830），F(xiàn)ourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學(xué)學(xué)會上發(fā)表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當(dāng)時具有爭議性的決斷：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。
當(dāng)時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813）和拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace，1749-1827），當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間里，拉格朗日堅持認(rèn)為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。
法國科學(xué)學(xué)會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年，這個論文才被發(fā)表出來。
誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。
為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。
傅立葉變換分類
根據(jù)原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：
非周期性連續(xù)信號：傅立葉變換 (Fourier Transform)
周期性連續(xù)信號：傅立葉級數(shù) (Fourier Series)
非周期性離散信號：離散時域傅立葉變換 (Discrete Time Fourier Transform)
周期性離散信號：離散傅立葉變換 (Discrete Fourier Transform)
這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負(fù)無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。
因為正余弦波被定義成從負(fù)無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離解信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換的方法。
還有，也可以把信號用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號就變成了周期性離散信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進(jìn)行變換。這里我們要學(xué)的是離散信號，對于連續(xù)信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數(shù)值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。
但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計算機來說是不可能實現(xiàn)的。所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換 (DFT) 才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理，對于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。
每種傅立葉變換都分成實數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對于實數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識，不過，如果理解了實數(shù)離散傅立葉變換 (real DFT)，再去理解復(fù)數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來理解實數(shù)傅立葉變換，在后面我們會先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。
還有，這里我們所要說的變換 (transform) 雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的，對于離散數(shù)字信號處理 (DSP)，有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。
傅立葉變換的物理意義
傅立葉變換是線性算子，若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子；
傅立葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；
正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線性時不變的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；
離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取；
著名的卷積定理指出 —— 傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出（其算法稱為快速傅立葉變換算法 (FFT)）。
圖像傅立葉變換的物理意義
圖像經(jīng)過二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：若變換矩陣Fn原點設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn 的原點設(shè)在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數(shù)矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。
變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）。
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