首先我先說的是，霍夫變換是一個特征提取技術(shù)。其可用于隔離圖像中特定形狀的特征的技術(shù)，應(yīng)用在圖像分析、計算機視覺和數(shù)字圖像處理領(lǐng)域。目的是通過投票程序在特定類型的形狀內(nèi)找到對象的不完美實例。這個投票程序是在一個參數(shù)空間中進行的，在這個參數(shù)空間中，候選對象被當(dāng)作所謂的累加器空間中的局部最大值來獲得，所述累加器空間由用于計算霍夫變換的算法明確地構(gòu)建。此處我們主要介紹的是比較基本的霍夫變換在直線中的應(yīng)用，例如在圖像中檢測直線（線段），Hough變換的主要優(yōu)點是對于噪聲有良好的魯棒性。

正如我們上面所介紹的那樣，霍夫變換最簡單的是檢測直線。我們知道，直線的方程表示可以由斜率k和截距b表示（這種表示方法，稱為斜截式，也就是高中的時候?qū)W習(xí)到的一種常用形式），如下所示：

y=kx+b 

如果我們用參數(shù)空間表示則為(b,k),即,我們可以用斜率和截距就能表示一條直線。但這種形式會產(chǎn)生一個問題，那就是當(dāng)我們的直線斜率k為無限大的時候（即垂線），這會使得該直線無法使用斜截式來進行表示，此處我們需要使用到另一種直線的表現(xiàn)形式：黑塞法線式（或者簡稱為法線式）：

r=xcosθ+ysinθ

其中r是原點到直線上最近點的距離(其他人可能把這記錄為ρ，下面也可以把r看成參數(shù)ρ，兩者含義相同)，θ是x軸與連接原點和最近點直線之間的夾角。如下圖圖1所示。

從而我們可以將圖像的每一條直線與一對參數(shù)(r,θ)相關(guān)聯(lián)。由參數(shù)(r,θ)構(gòu)成的平面有時被稱為霍夫空間，用于表示二維直線所構(gòu)成的集合。

我們經(jīng)過Hough變換后，我們圓來笛卡爾坐標系中的一個點可以映射到Hough空間中去，如下圖圖2所示。

 （注：圖2表示的是原坐標系中，過該點的所有可能直線的集合在Hough空間中的表示。）

圖2顯示了經(jīng)過原笛卡爾坐標系中的定點（3,4），通過該點的所有可能直線的(r,θ)的關(guān)系。顯示了在極坐標對極徑極角平面繪出所有通過該定點的直線, 將得到一條正弦曲線。正弦曲線的形狀取決于，點到所定義原點的距離r。通常，r越大，正弦曲線的振幅越大，反之則會越小。

所以我們可以得到一個結(jié)論，給定平面中的單個點，那么通過該點的所有直線的集合對應(yīng)于(r,θ)平面中的正弦曲線，這對于該點是獨特的。一組兩個或更多點形成一條直線將產(chǎn)生在該線的(r,θ)處交叉的正弦曲線。因此，檢測共線點的問題可以轉(zhuǎn)化為找曲線相交點的問題。

例：

考慮下面三個點，這里顯示為黑點。（下圖為圖3）

（注：此處也展示了霍夫變換的幾個基本步驟：首先，對每個點均繪制不同角度的線條，這些線全部經(jīng)過各自的對應(yīng)點并顯示為實線。其次，對于每條實線，找到經(jīng)過原點的對應(yīng)垂線并顯示為虛線。然后找到虛線的長度和角度。這些值顯示在圖表下方的表格中。這對被轉(zhuǎn)換的三個點中的每一個都重復(fù)該過程。然后將結(jié)果繪制成圖，有時稱為霍夫空間圖，如下圖圖4所示）

圖4中曲線相交的點給出的距離和角度表示各個測試點相交的線。在圖4中，所示的線條在粉紅點相交; 這對應(yīng)于圖3中的實線粉紅線，其穿過三個點。

分析上下文，邊緣段的點（一個或多個）的坐標(xi,yi)在圖像中是已知的，并且因此作為參數(shù)線等式中的常量，而r與θ是未知變量是我們要尋找的。如果我們繪制由(r,θ)每個定義的可能值(xi,yi)，笛卡爾圖像空間中的點映射到霍夫參數(shù)空間中的曲線（正弦曲線）。這個點到曲線的變換是直線的霍夫變換。當(dāng)在霍夫參數(shù)空間中查看時，在笛卡爾圖像空間中共線的點變得很明顯，因為它們產(chǎn)生在相同(r,θ)點相交的曲線。

我們通過將霍夫參數(shù)空間量化為有限間隔或累加器單元來實現(xiàn)變換。隨著算法的運行，每個算法都把(xi,yi)轉(zhuǎn)換為一個離散化的 (r,θ)曲線，并且沿著這條曲線的累加器單元被遞增。累加器陣列中產(chǎn)生的峰值表示圖像中存在相應(yīng)的直線的相應(yīng)證明。

此時需要注意的是，現(xiàn)在我們考慮的是直線的霍夫變換。累加器陣列的維度是二維的（也就是r和θ)。

那么對于圖像來說，(x,y)處的每個像素及其鄰域，霍夫變換算法被用于確定該像素是否有足夠的直線證據(jù)。如果是，它將計算該線的參數(shù) (r,θ)，然后查找參數(shù)落入的累加器箱，并增加該箱的值（投票值）。通過查找具有最高值的箱，通常通過查找累加器空間中的局部最大值，可以提取最可能的線，并且讀出它們的（近似的）幾何定義。

找到這些峰值的最簡單方法是通過應(yīng)用某種形式的閾值，但其他技術(shù)可能在不同情況下產(chǎn)生更好的結(jié)果。由于返回的行不包含任何長度信息，因此通常有必要在下一步中查找圖像的哪些部分與哪些行匹配。此外，由于邊緣檢測步驟中存在缺陷誤差，通常會在累加器空間中出現(xiàn)錯誤，這可能使得找到合適的峰值以及適當(dāng)?shù)木€條變得非常重要。

線性霍夫變換的最終結(jié)果是類似于累加器的二維陣列（矩陣），該矩陣的一個維度是量化角度θ，另一個維度是量化距離r。矩陣的每個元素的值等于位于由量化參數(shù) (r,θ)表示的線上的點或像素的總和。所以具有最高值的元素表示輸入圖像中代表最多的直線。我們也可以把累計器單元的結(jié)果認為是投票值。換句話說，將每個交點看成一次投票，也就是說A(r,θ)=A(r,θ)+1，所有點都如此進行計算后，可以設(shè)置一個閾值，投票大于這個閾值的可以認為是找到的直線。

而當(dāng)我們需要去進行圓檢測的時候，我們累加器是三維累加器，在圓檢測的情況下，我們可以知道的是其對應(yīng)的參數(shù)方程為：

(x?a)2+(y?b)2=r2

其中a和b是圓心的坐標并且是r半徑。在這種情況下，算法的計算復(fù)雜度開始增加，因為我們現(xiàn)在在參數(shù)空間和三維累加器中有三個坐標。（通常，累加器陣列的計算和大小隨著參數(shù)數(shù)量的增加而多項式增加，因此，基本霍夫技術(shù)僅適用于簡單曲線。）

它的算法步驟如下：
1.首先創(chuàng)建累加器空間，由每個像素單元格構(gòu)成。最初每個單元格都設(shè)置為0。

2.然后對于每個圖像中的邊緣點(i,j)，按照圓方程(i?a)2+(j?b)2=r2將那些可能是一個圓中心的單元格值進行累加。這些單元格在等式中由字母a表示。

3.然后在前面的步驟中由每個可能找到的值a，區(qū)找到滿足等式的所有可能值b。

霍夫變換在很多地方都有著應(yīng)用，如果是在OpenCV（Python）下想要使用霍夫變換，只需要使用函數(shù)cv2.HoughLinesP函數(shù)，需要注意的是該函數(shù)并不是標準的霍夫變換，其為：概率霍夫變換，它只分析點的子集并估計這些點都屬于一條直線的概率，這是標準霍夫變換的優(yōu)化版本。該函數(shù)計算代價少，執(zhí)行更快，但準確度有一定程度的下降。

cv2.HoughLinesP函數(shù)的語法如下：

其參數(shù)分別解釋如下：

霍夫變換在自動駕駛中也有所應(yīng)用，可以如下面一個簡單例子所示，其實現(xiàn)的是對我們畫面中的道路直線進行的檢測：

該代碼對我們在frames這個文件夾下的圖片進行直線檢測（文件夾下的圖片在源于行車記錄儀所拍下的行車記錄的部分采樣），運行結(jié)果如下圖所示。

本文到此為止，謝謝大家！