荅劉伯宗問(wèn)朱子壺說(shuō)書(shū)

荅劉伯宗問(wèn)朱子壺說(shuō)書(shū)

投壸經(jīng)言壸頸修七寸，腹修五寸，口徑二寸半，容斗五升。鄭注：腹容斗五升，三分益一則為二斗，積三百二十四寸。以腹修五寸約之，所得求其圜周，得二尺七寸有竒，是為腹徑九寸有余也。按：鄭氏此說(shuō)，皆整數(shù)二斗之積也。肰以二斗之積四分去一，則與經(jīng)文斗五升合矣，故朱子欲去二斗，虛加之?dāng)?shù)是也。其實(shí)斗五升之積為二百四十三寸，以腹修五寸約之，五取一焉，得四十八寸六分即圜積也。圜積求徑三歸四，因開(kāi)方之，是為腹徑八寸，四?有竒。圓積求周十二，因開(kāi)方之，是為圜周二尺四寸一分，四?有竒。若鄭氏三分益一，以為二斗方積六十四寸八分既有虛加之?dāng)?shù)，則當(dāng)用圓田法。即以六十四寸八分者，開(kāi)方之徑，得八寸四?，竒三因于徑周，得二尺四寸一四，亦如前法。

朱子以積求徑之法，謂廣六十四寸八分，此六十四寸者自為正方，又取其八分者割裂而加于正方之外，則四靣各得二?五毫之?dāng)?shù)，徑為八寸五?，此則朱子不明筭法，而不自知其誤也。夫正方六十四寸，則一靣得八寸，試割二分加之，毎寸得二?五毫，四靣皆然，則八分者無(wú)余矣。而四角各缺方二?五毫，將何以補(bǔ)之哉。故開(kāi)方之術(shù)，中間正方謂之方法，正方之外割裂而加之者，謂之亷?。補(bǔ)之于角者，謂之隅法。有亷則必有隅。朱子所言有亷而無(wú)隅，零星補(bǔ)湊，愈宻而愈疏矣。是故六十四寸八分，開(kāi)方八寸四?，有竒而不可以為八寸五?也。今為圖如左，