尼斯阿蘭·貝克（菲爾茲獎(jiǎng)得主）

簡(jiǎn)介

在當(dāng)代，也有一位年輕人，人們說他“在數(shù)論中引起了自高斯以來最深刻的變化”。的薄薄的只有128頁的著作被認(rèn)為能與高斯的相媲美。1970年他走上了尼斯國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的主席臺(tái)，成為一名菲爾茲獎(jiǎng)的獲得者。他就是英國(guó)的阿蘭·貝克。

生平

貝克是在英國(guó)土生土長(zhǎng)的。童年時(shí)期生不逢時(shí)，正值第二次世界大戰(zhàn)時(shí)期，整個(gè)倫敦被希特勒的飛機(jī)炸得天昏地暗。戰(zhàn)后，貝克順利就學(xué)，在結(jié)束了中等教育之后，于1958年進(jìn)入大學(xué)。貝克先是在倫敦大學(xué)學(xué)院學(xué)習(xí)，1961年又到劍橋大學(xué)三一學(xué)院求學(xué)。英國(guó)的數(shù)論開山祖哈代雖然早已辭世，但倫敦、劍橋兩地的數(shù)論學(xué)派仍然號(hào)稱一世之雄：達(dá)文泡特先后坐鎮(zhèn)劍橋、倫敦；羅斯因丟番圖逼近的工作得到1958年菲爾茲獎(jiǎng)貝克對(duì)數(shù)論研究的興趣，可以肯定地說受到了這個(gè)學(xué)派的深刻影響，而貝克到劍橋，正是做了達(dá)文泡特的研究生。當(dāng)時(shí)五十多歲的達(dá)文泡特，是英國(guó)現(xiàn)代數(shù)論學(xué)派承前啟后的人物。他和世界上許多主要的數(shù)論工作者交往密切，又為英國(guó)培養(yǎng)了一代又一代的年輕數(shù)學(xué)家。但是在他的所有學(xué)生里，貝克跟隨他的方式多少有點(diǎn)奇怪：貝克大部分時(shí)間是自闖天地，只是不時(shí)把一些寫好的論文讓達(dá)文泡特過目。照其他的內(nèi)行人看來，貝克實(shí)際上受達(dá)文泡特的影響不大，對(duì)貝克影響很深的倒是馬勒——一個(gè)在納粹時(shí)期從德國(guó)流亡到英國(guó)的數(shù)論學(xué)家。但是達(dá)文泡特還是為有這么一個(gè)學(xué)生而高興。因?yàn)閺?962年起，特別是1966年以后，貝克像魔術(shù)師一樣把一個(gè)又一個(gè)重要成果拿了出來，使得“觀眾”目瞪口呆。截至1974年為止，他發(fā)表的重要論文已不下40篇，而人們還一點(diǎn)估計(jì)不出這個(gè)青年數(shù)學(xué)家還會(huì)再走多遠(yuǎn)。數(shù)論，是一個(gè)極其古老的分支。留至現(xiàn)代的一大批未解決的數(shù)論問題，至少都經(jīng)歷過無數(shù)學(xué)者幾百年的求索而不得其解，這些果子的堅(jiān)硬程度可想而知。數(shù)論的方法雖然越來越精巧，但要提出一些嶄新的思想?yún)s決非易事，這塊園地已被耕耘過無數(shù)遍了。但是貝克在這十年多一點(diǎn)的時(shí)間里，解決了數(shù)論中十幾個(gè)歷時(shí)已久的困難問題，范圍涉及超越數(shù)論、不定方程、代數(shù)數(shù)論。概括一下，他的貢獻(xiàn)是給出了一種“有效方法”?！坝行А笔鞘裁匆馑?？讓我們舉不定方程為例。一個(gè)方程如果未知數(shù)多于一個(gè)，而又只考察其整數(shù)解的話，這個(gè)方程就稱為不定方程，又稱丟番圖方程。對(duì)于這種方程，二千多年來人們雖然發(fā)展了許多精巧的方法，但所解決的問題卻仍然十分零散，很少有關(guān)于一類方程的統(tǒng)一解法。數(shù)學(xué)家們對(duì)于這樣一個(gè)一個(gè)地攻克堡壘的方式早已厭煩，很自然地會(huì)提出，會(huì)不會(huì)有一種普遍適用的方法，能在有限步運(yùn)算下決定一個(gè)不定方程是否有解？這就是著名的希爾伯特第十個(gè)問題?？梢哉f，20世紀(jì)的不定方程論其重點(diǎn)是尋求一般的解法。對(duì)于希爾伯特第十個(gè)問題，1970年前蘇聯(lián)的馬蒂雅斯維奇利用美國(guó)數(shù)學(xué)家羅賓遜、戴維斯和普特南的工作結(jié)果給出了否定的解決，就是說能夠用于一切不定方程的判定方法是不存在的。這個(gè)結(jié)果轟動(dòng)一時(shí)。雖然沒有一種方法可以適用于解一切不定方程，但就一類方程來講還是有一些一般的結(jié)果。事實(shí)上1909年，瑟厄就給出過一個(gè)最早也是最有名的一般性定理：“任何二元整系數(shù)不可分解齊次多項(xiàng)式f（x，y）構(gòu)成的方程f（x，y）=m，只有有限組解?！笨梢钥闯觯捎冢╔，y）的限制較少，這個(gè)定理確實(shí)概括了一批不定方程的解的性狀。但是瑟厄和隨后的西格爾定理、羅斯定理都有一個(gè)致命的弱點(diǎn)，就是沒有辦法有效計(jì)算。貝克正是突破了這一點(diǎn)。比如說，對(duì)于瑟厄定理，貝克進(jìn)一步證明了這有限個(gè)解（x，y）都滿足max（|x|，|y|）f（x，y）的次數(shù)。而最重要的是，c是可以有效算出的。也就是說，對(duì)于二元方程，貝克肯定地解決了希爾伯特第十個(gè)問題。貝克的所有工作都是從超越數(shù)論開始的。其核心是一個(gè)線性型定理。什么是超越數(shù)？簡(jiǎn)單地說，一個(gè)實(shí)數(shù)如果不是代數(shù)方程的根就稱為超越數(shù)，反之，就稱為代數(shù)數(shù)。古希臘三大作圖難題之一“化圓為方”問題，正是由于證明了π的超越性而宣告不可用尺規(guī)完成。e，π，的超越性獲證是19世紀(jì)中超越數(shù)論的代表成就。本世紀(jì)30年代時(shí)，前蘇聯(lián)的蓋爾芳德和德國(guó)的施奈德各自獨(dú)立地解決了希爾伯特第七個(gè)問題的后一半：對(duì)于任意代數(shù)數(shù)a（≠0，1）和任意代數(shù)無理數(shù)β（≠0），aB是超越數(shù)。他倆建立的這座超越數(shù)論的豐碑，使得后來的30年里，沒有任何成果可以超出其右。人們意識(shí)到，老方法已經(jīng)用盡，得尋覓新路了。新路就是貝克走出來的。他在60年代里得出了一系列關(guān)于代數(shù)數(shù)對(duì)數(shù)的線性型的定理。我們可以看看其中典型的一個(gè)：a1，a2，…，an，（a≥l）是非0代數(shù)數(shù)，loga1，loga2，…，logan在有理數(shù)域上線性獨(dú)立，令β0，…，βn是不全為0的滿足一些條件的數(shù)，那么對(duì)任何k>n+1，有|β0+β1logal+β2loga2+……+βnlogan|>ce-（logH）h，其中c是可以有效計(jì)算的。定理敘述不甚艱深，證明卻極為困難，而用途也異常廣泛。應(yīng)用這一套定理和方法，貝克在數(shù)論的各個(gè)分支里取得了輝煌的成果，例如（1）不定方程方面。除前述之外，比較著名的有定出了y2=x3+k（k≠0）整數(shù)解的上界。（2）超越數(shù)論方面。證明了如果a1，a2，…，an是代數(shù)數(shù)（非0或1）；β0，β2，…，βn是線性獨(dú)立的代數(shù)無理數(shù)，則eβ0aβ11…aβnn是超越數(shù)。這就是使得蓋爾馮德的結(jié)果成為簡(jiǎn)單的特例。（3）二次數(shù)域方面。解決了高斯時(shí)代留下的一個(gè)老問題，肯定了類數(shù)為1的虛二次數(shù)域只有九個(gè)。任何一個(gè)數(shù)學(xué)家，只要解決了上述問題中的一個(gè)，20世紀(jì)的數(shù)學(xué)史就得提到他的名字。而貝克卻一下子做了十幾項(xiàng)這樣的工作。無怪乎1970年的菲爾茲獎(jiǎng)要授與他。他的老師逝世之前就知道了貝克將被提名，顯得特別高興?？上н_(dá)文泡特1969年就逝世了，沒有親眼見到貝克的獲獎(jiǎng)。貝克從1964年起就是劍橋三一學(xué)院的研究員。他使得這個(gè)古老大學(xué)的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)增添了生氣。1973年貝克成為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，1975年貝克得到了亞當(dāng)斯獎(jiǎng)，直接原因就是本文開頭時(shí)提到的那本薄薄的《超越數(shù)論》。

評(píng)價(jià)

《超越數(shù)論》總結(jié)了他自己十幾年的研究成果，但貝克本人認(rèn)為，這本書毋寧說是對(duì)于本世紀(jì)來這個(gè)分支發(fā)展情況的一個(gè)總匯。在序言里貝克寫了這么一段話，從中可以看出他的風(fēng)度與抱負(fù)：“盡管它（指超越數(shù)論）有悠久的歷史，但還是青春煥發(fā)。通過更深入的研究，許多課題必將取得進(jìn)展，同時(shí)還有一些著名問題仍待解決。作為例子，我們只要提一下e，π的代數(shù)獨(dú)立性和歐拉常數(shù)Y的超越性這幾個(gè)著名的猜想就行了。這些猜想中的任何一個(gè)如果獲得解決，都將標(biāo)志著巨大的進(jìn)展。如果這本書能對(duì)促進(jìn)未來的發(fā)展起到一點(diǎn)微小的作用，那么作者也就感到滿足了?！?/p>