糟糕，我學(xué)了假的微積分！
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2024-04-19 17:11
01 往事歷歷在目
大二那年，剛開(kāi)學(xué)沒(méi)多久我就度過(guò)了一個(gè)傷心的宿醉之夜，不是因?yàn)樾ｉT(mén)口最負(fù)盛名的烤冷面攤兒不見(jiàn)了，也不是因?yàn)槲业膼?ài)豆突然宣布談了對(duì)象，而是因?yàn)橐粋€(gè)假期過(guò)去，我把前一年學(xué)的微積分給忘！光！了！
翻開(kāi)這學(xué)期要學(xué)的《電路分析》《電磁學(xué)》《力學(xué)》，看著滿篇的微積分式子，我不禁黯然神傷，捧起酒桶……
這是為什么呢？一轉(zhuǎn)眼這么多年過(guò)去了，我有時(shí)還是忍不住琢磨：為什么微積分的保質(zhì)期在我的腦子里總是這么短？
這個(gè)謎團(tuán)終于在前些日子解開(kāi)了——我竟然學(xué)了假的微積分。
02 光會(huì)算題，你知道微分的靈魂嗎？
回憶一下自己學(xué)習(xí)高數(shù)的過(guò)程，我發(fā)現(xiàn)，我其實(shí)一直不太明白到底為什么要學(xué)微分。
學(xué)極限的時(shí)候，老師說(shuō)，當(dāng) x 趨近于 0 的時(shí)候，f(x)=ex 的極限是 1。我心想，這不就是e0=1 嗎？還整啥極限啊，趨近于的，詞兒還挺多。
學(xué)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，老師說(shuō)，一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以反映它在幾何上的變化趨勢(shì)。我心想，我不求導(dǎo)數(shù)，直接畫(huà)圖也能看出它的變化趨勢(shì)，為啥折騰這一遭？
學(xué)泰勒公式的時(shí)候，老師說(shuō)，有了泰勒展開(kāi)，我們可以求一個(gè)函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)的近似值。我心想，求啥近似值啊，直接求準(zhǔn)確值唄！
面對(duì)困惑的我，老師親切地問(wèn)：“孩砸，會(huì)算題了不？”
“還行，背背公式都能算對(duì)?！?/span>
“那不就得了嗎？”
“可是老師，我還是覺(jué)得學(xué)微分就是自找麻煩?！?/span>
老師笑了，她說(shuō)——
困擾我多年的問(wèn)題，最近終于有了答案——微分的靈魂在于近似和忽略。
從小到大，提起數(shù)學(xué)，我們總是下意識(shí)地想到精確和完美。我們總覺(jué)得數(shù)學(xué)是沒(méi)有商量余地的，直線就是直線，曲線就是曲線，是就是是，不是就是不是。但事實(shí)上，如果數(shù)學(xué)只容得下完美，那它就沒(méi)辦法成為實(shí)用的工具了。
比如，液晶顯示器的像素安排是需要數(shù)學(xué)計(jì)算的。但是，如果使用數(shù)學(xué)的人執(zhí)著于完美，他就會(huì)說(shuō)：“我為什么要算這種東西呢？不管像素怎么安排，顯示器上的畫(huà)面總歸是由小方塊拼成的，反正不是真正的平滑畫(huà)面?！?/span>
更小的方格組成與近似圓
液晶顯示器顯示的畫(huà)面實(shí)際上是鋸齒狀的。但是顯示器中鋸齒的精細(xì)度非常高，所以我們眼中看到的就是平滑的線了。
我們也可以這樣說(shuō)，圓形實(shí)際上是由無(wú)數(shù)精細(xì)小方格組成的鋸齒狀圖形，即圓是鋸齒狀圖形的“極限”。像這樣，“近似”在數(shù)學(xué)中是極好的用法。
如果執(zhí)著于完美再現(xiàn)平滑的線，那么就不會(huì)出現(xiàn)液晶顯示器吧。多虧了非完美主義的近似方法，才誕生了劃時(shí)代的技術(shù)。
事實(shí)上，近似和忽略是一門(mén)很重要、很了不起的學(xué)問(wèn)。
03 萬(wàn)物皆可盤(pán)，積分對(duì)象也不例外
微分的靈魂是忽略與近似，那積分的靈魂呢？當(dāng)然也是忽略與近似，因?yàn)槲⒎趾头e分是好基友?。?/span>
在上大學(xué)之前，我記住了很多種圖形的面積和體積公式。我理所當(dāng)然地用著它們，就像使用一個(gè)一直放在廚房里的碗，但我從來(lái)不知道這個(gè)碗是從哪來(lái)的。
也許哪位先人一拍腦袋就總結(jié)出了這些公式？我也不知道自己為什么有必要了解更多。
然而，事實(shí)上，很多面積和體積公式在誕生過(guò)程中就運(yùn)用了積分的思想。
面對(duì)圖形中那些不一樣的煙火，積分的思想就是：盤(pán)！萬(wàn)物皆可盤(pán)，積分對(duì)象也不例外。不管是什么東西，我們都要把它盤(pán)出規(guī)律，盤(pán)出標(biāo)準(zhǔn)，盤(pán)出智慧的光澤。
想算圓的面積嗎？盤(pán)它！
把圓展開(kāi)成扇形
圓面積
?
想算甜甜圈的體積嗎？盤(pán)它！
旋轉(zhuǎn)圓板形成圓環(huán)體
被等分的甜甜圈
重新排列被8等分的甜甜圈
甜甜圈的體積
?
能算簡(jiǎn)單的，就能算復(fù)雜的，萬(wàn)變不離其宗嘛。想算地球的體積嗎？盤(pán)它！
地球不是球嗎？
用積分符號(hào)表示旋轉(zhuǎn)橢圓體的體積
地球和邊長(zhǎng)為 10 000 km 的立方體的體積大致相等
我必須要感嘆一下，如果上學(xué)的時(shí)候就知道這些，那我一定能成為班上最出色的盤(pán)……啊不，學(xué)生。
04 學(xué)了微積分不用來(lái)high，那將毫無(wú)意義
但這些都不是最重要的。我最大的發(fā)現(xiàn)是，只把微積分當(dāng)工具，你會(huì)錯(cuò)過(guò)很多快樂(lè)。放下那些枯燥的習(xí)題，帶著微積分的思想觀察生活，你會(huì)打開(kāi)新世界的大門(mén)！
比如，你可以計(jì)算什么樣的甜筒能裝下最多冰激凌。
你還可以目測(cè)女神的項(xiàng)鏈有多長(zhǎng)。
就連早餐切個(gè)雞蛋都與眾不同。
雞蛋切割器
哇，簡(jiǎn)直讓人大開(kāi)眼界！
那么問(wèn)題來(lái)了。這么多年過(guò)去了，我怎么就突然對(duì)微積分開(kāi)竅了呢？當(dāng)然是因?yàn)槲艺业搅诵率澜绲蔫€匙，也就是它??！
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日本最具人氣的“微積分入門(mén)”讀本，
僅用“閱讀”便可理解微積分原理。
《簡(jiǎn)單微積分》
作者：神永正博
譯者：李慧慧
微積分入門(mén)科普讀物，書(shū)中以微積分的“思考方法”為核心，以生活例子通俗講解了微積分的基本原理、公式推導(dǎo)以及實(shí)際應(yīng)用意義，解答了微積分初學(xué)者遭遇的常見(jiàn)困惑。本書(shū)講解循序漸進(jìn)、生動(dòng)親切，沒(méi)有煩瑣計(jì)算、干澀理論，是一本只需“輕松閱讀”便可以理解微積分原理的入門(mén)書(shū)。
上文中所有有趣的例子和知識(shí)點(diǎn)，都出自這本輕巧的小書(shū)。這本書(shū)里沒(méi)有難懂的定義，沒(méi)有晦澀的概念，更沒(méi)有大段大段的公式推導(dǎo)。作者神永教授似乎并不想把課堂上的微積分教給讀者，他只想讓大家像認(rèn)識(shí)一個(gè)朋友一樣，看到微積分最樸實(shí)可愛(ài)的一面。
但誰(shuí)又能說(shuō)課堂上的微積分才是最好的微積分呢？和知識(shí)做朋友不是最重要的嗎？
我們之所以覺(jué)得很多知識(shí)容易記住也容易忘記，說(shuō)到底還是因?yàn)闆](méi)有和它們成為朋友。成為朋友以后，知識(shí)當(dāng)然就舍不得離開(kāi)你了。
01
本書(shū)闡述了曼哈頓微積分的技巧，詳細(xì)講解了微積分基礎(chǔ)、極限、連續(xù)、微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)等內(nèi)容，旨在教會(huì)讀者如何思考問(wèn)題從而找到解題所需的知識(shí)點(diǎn)，著重訓(xùn)練大家自己解題的能力。
本書(shū)適用于大學(xué)低年級(jí)學(xué)生、高中高年級(jí)學(xué)生、想學(xué)習(xí)微積分的數(shù)學(xué)愛(ài)好者以及廣大數(shù)學(xué)教師。本書(shū)既可用作為教材、習(xí)題集，也可作為學(xué)習(xí)指南，同時(shí)還有利于教師備課。
02
《微積分溯源：偉大思想的歷程》
作者：戴維·M. 布雷蘇
譯者：陳見(jiàn)柯 林開(kāi)亮 葉盧慶
從古希臘、古埃及、古印度、中國(guó)和歐洲等地的微積分思想，到牛頓、萊布尼茨、伯努利兄弟、黎曼等偉大數(shù)學(xué)家的輝煌成就，看一看微積分這座“數(shù)學(xué)寶藏”是如何被塑造成今天的模樣的。
03
《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》
作者：鄧納姆
譯者：李伯民 汪軍 張懷勇
本書(shū)榮獲“第七屆文津圖書(shū)獎(jiǎng)推薦書(shū)目”。
這不是一本數(shù)學(xué)家的傳記，而是一座展示微積分宏偉畫(huà)卷的陳列室。書(shū)中的每一個(gè)結(jié)果，從牛頓的正弦函數(shù)的推導(dǎo)，到伽瑪函數(shù)的表示，再到貝爾的分類定理，無(wú)一不處于各個(gè)時(shí)代的研究前沿，至今還閃爍著耀眼奪目的光芒。
04
《微分方程與三角測(cè)量》
作者：林群
中國(guó)科學(xué)院院士林群，用一個(gè)例子講透微分方程在測(cè)量樹(shù)高、山高的思維轉(zhuǎn)換中，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的自由與魅力。
本書(shū)使用中學(xué)生熟悉的三角測(cè)量知識(shí)，通過(guò)測(cè)量樹(shù)高、山高的實(shí)際例子，直觀地推導(dǎo)出了微積分的基本定理“牛頓-萊布尼茨公式”，并逐步講解了微分方程的基本特征，從初等三角學(xué)的角度呈現(xiàn)了微分方程的意義。
05
《微積分入門(mén)（修訂版）》
作者：[日]小平邦彥
譯者：裴東河
菲爾茲獎(jiǎng)、沃爾夫獎(jiǎng)、日本文化勛章得主日本數(shù)學(xué)大家小平邦彥微積分名著。
本書(shū)為日本數(shù)學(xué)家小平邦彥晚年創(chuàng)作的經(jīng)典微積分著作，有別于一般的微積分教科書(shū)，本書(shū)突出“嚴(yán)密”與“直觀”的結(jié)合，重視數(shù)學(xué)中的“和諧”與“美感”，講解新穎別致、自成體系，論證清晰詳盡、環(huán)環(huán)相扣，行文深入淺出、流暢易讀，從原理、思想到方法、應(yīng)用，處處體現(xiàn)了小平邦彥的深厚功力與廣闊視野。
06
《程序員數(shù)學(xué) 用Python學(xué)透線性代數(shù)和微積分》
作者：保羅·奧蘭德（Paul Orland）
譯者：百度KFive
代碼和數(shù)學(xué)是相知相惜的好伙伴，它們基于共同的理性思維，數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)可以自然地在編寫(xiě)代碼的過(guò)程中展開(kāi)。
500余幅圖片，本書(shū)以圖文結(jié)合的方式幫助你用Python代碼解決程序設(shè)計(jì)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。
300余個(gè)練習(xí)，通過(guò)邊學(xué)邊練，你會(huì)發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)和微積分的重要概念躍然紙上、印在腦中。