為什么沒人喜歡學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)
日期 ： 2021年09月26日
正文共 ：211字
這學(xué)期我一直在教一門課，微積分 II。對(duì)象是非數(shù)學(xué)物理專業(yè)的大學(xué)生，大多數(shù)來自于 business / liberal art / economics 等專業(yè)。難度大致相當(dāng)于國(guó)內(nèi)的高數(shù) B 或 C。所使用的教材是全美國(guó)都在廣泛使用的 Stewart Calculus。
我目前所在的這所大學(xué)位于美國(guó)中部，這里畢業(yè)的學(xué)生一般都會(huì)進(jìn)入白領(lǐng)階層，但是很難有機(jī)會(huì)成為美國(guó)最出色的精英。也就是說，他們基本上是美國(guó)中產(chǎn)階級(jí)的典型代表。
讓我開宗明義地說：為什么說科學(xué)在美國(guó)衰?。繌奈业恼n堂就能看得出來。一個(gè)典型的未來美國(guó)中產(chǎn)階級(jí)學(xué)生，在他的大學(xué)科學(xué)課程里基本上什么也學(xué)不到。等他成為社會(huì)的棟梁之后，如何可能了解科學(xué)和尊重科學(xué)？
這當(dāng)然可能是一管窺豹，因?yàn)槲耶吘箾]有旁聽過別的科學(xué)門類的大學(xué)課程。但是連微積分這種所有理科學(xué)科都會(huì)賴以為基礎(chǔ)的課程尚且如此，其余的情況似乎也可以想象。
為什么他們的微積分會(huì)學(xué)得這么糟糕呢？讓我來舉幾個(gè)例子。
我接手這門課程之后的第一部分內(nèi)容是積分技巧。大部分時(shí)間，學(xué)生們都在練習(xí)這樣的題目：
計(jì)算下述不定積分：
然后是微分方程。在介紹完基本定義之后，學(xué)生們?cè)诳荚嚴(yán)飼?huì)遇到的是這樣的題目：
試求解下列微分方程：
再然后是級(jí)數(shù)。雖然并不要求學(xué)生掌握 ε-δ 語言，但是他們要學(xué)習(xí)各種各樣的判斷級(jí)數(shù)是否收斂的定理。作業(yè)和考試都是這樣的：
判斷下列級(jí)數(shù)是否收斂：
我完全不能理解，一個(gè)非數(shù)學(xué)或物理專業(yè)的學(xué)生怎么可能從這樣的教育中獲得一絲一毫的教益？他怎么可能不發(fā)自內(nèi)心地痛恨這門課程，然后在考完試之后的一個(gè)小時(shí)之內(nèi)把所有內(nèi)容忘得精光？象三角代換這類積分技巧，不要說一個(gè)普通的心理學(xué)或者經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)的學(xué)生一輩子都用不到，就連我也一輩子都用不到。就算在極其罕見的情形下需要求解這類問題，也完全可以求助于 wolframalpha.com 或者類似的工具。在我看來，在二十一世紀(jì)還要求一個(gè)普通學(xué)生手算積分，就像是要求一個(gè)汽車駕校學(xué)員一定要從騎馬學(xué)起一樣。
實(shí)事求是地說，Stewart 這本教材并不壞，也盡力囊括了一些關(guān)于數(shù)學(xué)在別的領(lǐng)域中的應(yīng)用的內(nèi)容和大量頗有趣味的閱讀材料。但是問題在于，它仍然是一本基于數(shù)學(xué)家思維方式寫出來的教材，亦即在每一個(gè)課題上從最基本的定義和定理開始堆砌，直到超出教材所可能涵蓋的水平為止。例如，為什么學(xué)生需要學(xué)習(xí)變量分離的常微分方程的解法？因?yàn)檫@是最容易解的（也是這個(gè)水平的學(xué)生所唯一可能學(xué)會(huì)解法的）常微分方程。也就是說，學(xué)生學(xué)習(xí)這類方程（并且要做大量練習(xí)）不是因?yàn)樗鼘?duì)學(xué)生來說重要，而是因?yàn)樗窃跀?shù)學(xué)大廈里一個(gè)學(xué)生所能爬到的最高位置，如此而已。
可是一個(gè)學(xué)生為什么要去爬這座大廈呢？或者換句話說，數(shù)學(xué)家憑什么要求所有普通人都按照數(shù)學(xué)家的方式來學(xué)數(shù)學(xué)呢？它除了把學(xué)生摔得鼻青臉腫之外，沒有任何用處。每個(gè)學(xué)生都不得不學(xué)會(huì)七八種判別一個(gè)級(jí)數(shù)是否收斂的技巧，但是他甚至沒有機(jī)會(huì)得到一個(gè)簡(jiǎn)單問題的答案：「我為什么要學(xué)習(xí)級(jí)數(shù)？」——對(duì)數(shù)學(xué)家來說這個(gè)問題沒有意義，數(shù)學(xué)家反正總是需要級(jí)數(shù)的。
但是它對(duì)別人有意義。每次當(dāng)我走進(jìn)課堂，開始討論第一類反常積分和第二類反常積分或者絕對(duì)收斂和相對(duì)收斂的區(qū)別，我都忍不住設(shè)想臺(tái)下學(xué)生們的心情。他們會(huì)不會(huì)覺得我像是個(gè)傻瓜？反正我覺得自己很像。
我常常碰到有人認(rèn)真地問：「數(shù)學(xué)到底有什么用處？」這問題其實(shí)一點(diǎn)都不難回答，我可以隨口舉出無數(shù)個(gè)例子來說明為什么社會(huì)的每個(gè)角落都須臾不可缺少最現(xiàn)代的數(shù)學(xué)工具，但是我明白為什么別人會(huì)問這個(gè)問題。因?yàn)閷?duì)于他們來說，數(shù)學(xué)就是他們?cè)诖髮W(xué)里學(xué)過的這些習(xí)題。而這些習(xí)題對(duì) 99% 的大學(xué)生來說確實(shí)一點(diǎn)用都沒有，甚至連「鍛煉邏輯思維能力」這種最虛幻的用處也談不上。
如果是我來編寫大學(xué)數(shù)學(xué)教材，我會(huì)爭(zhēng)取讓每一個(gè)在大學(xué)里讀過數(shù)學(xué)課的人都能回答這樣的問題：為什么人們能精確預(yù)測(cè)幾十年后的日食，卻沒法精確預(yù)測(cè)明天的天氣；為什么人們可以通過 https 安全地瀏覽網(wǎng)頁(yè)而不會(huì)被監(jiān)聽；為什么全球變暖的速度超過一個(gè)界限就變得不可逆了；為什么把文本文件壓縮成 zip 體積會(huì)減少很多，而 mp3 文件壓縮成 zip 大小卻幾乎不變；民生統(tǒng)計(jì)指標(biāo)到底應(yīng)該采用平均數(shù)還是中位數(shù)；當(dāng)人們說兩種樂器聲音的音高相同而音色不同的時(shí)候到底是什么意思??這不是什么「趣味數(shù)學(xué)」，這就是數(shù)學(xué)?；A(chǔ)、重要、深刻、美的數(shù)學(xué)。
在我的設(shè)想里，這才是大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育所應(yīng)該達(dá)成的任務(wù)。不是培養(yǎng)一個(gè)非數(shù)學(xué)專業(yè)的現(xiàn)代人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專業(yè)素質(zhì)（這是無論如何也不可能成功的），而是讓一個(gè)人能夠在非專業(yè)的前提下最大程度地掌握真正有用的現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)，了解數(shù)學(xué)家們的工作怎樣在各個(gè)層面上和社會(huì)產(chǎn)生互動(dòng)，以及社會(huì)在這個(gè)領(lǐng)域的投資得到了怎樣的回報(bào)。別的科學(xué)門類的基礎(chǔ)教育也應(yīng)當(dāng)是這樣。
更重要的是，任何一個(gè)接受過大學(xué)科學(xué)教育的人，無論他的職業(yè)是什么，他都應(yīng)當(dāng)能夠明確理解下面這些事：為什么歷史上一次又一次有過處于少數(shù)地位的業(yè)余科學(xué)家在不被重視的情況下做出重大貢獻(xiàn)的事例，今天的科學(xué)界仍然在整體上排斥業(yè)余研究者的參與，并且反對(duì)社會(huì)資源被用來鼓勵(lì)業(yè)余研究；既然科學(xué)結(jié)論有可能并且也在事實(shí)上曾經(jīng)反復(fù)被推翻，連牛頓力學(xué)都會(huì)被愛因斯坦相對(duì)論所取代而相對(duì)論也可以繼續(xù)被修正，當(dāng)代科學(xué)家做出的科學(xué)斷言到底在什么意義上值得相信（或者是不是根本就不值得相信）；科學(xué)問題是不是和政治問題一樣，并不存在所謂正確的答案，而每種立場(chǎng)其實(shí)都有其存在的意義和價(jià)值；當(dāng)一個(gè)科學(xué)上的專業(yè)問題同時(shí)又具有政治上的巨大影響力的時(shí)候（比如全球變暖、干細(xì)胞研究或者轉(zhuǎn)基因作物推廣），不具有專業(yè)背景的公眾到底應(yīng)該具有怎樣的發(fā)言權(quán)。讓每個(gè)現(xiàn)代人在大學(xué)教育中聽到科學(xué)家對(duì)這些問題的回答，應(yīng)當(dāng)是大學(xué)科學(xué)教育不可回避的任務(wù)。
毫無疑問，現(xiàn)狀并不是這樣。
我并沒有在中國(guó)大學(xué)里教數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的經(jīng)歷，但是就我的了解而言，情況和美國(guó)差不多。我不止一次聽到別人向我描述高數(shù)課給他們帶來的痛苦，我能想象也能理解這種痛苦。這不是中國(guó)或者美國(guó)的問題，而是普遍存在于時(shí)代的問題。
在科學(xué)的威力史無前例地席卷全社會(huì)的今天，科學(xué)和社會(huì)的關(guān)系也史無前例地疏遠(yuǎn)。這實(shí)在是太危險(xiǎn)了。
— THE END —
