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之前太菜了，SimSiam最精彩的理論解釋沒完全看懂，元旦重新讀了一遍，太牛逼了，我原本以為SimSiam就是BYOL的一個(gè)簡化版本，實(shí)則是孿生網(wǎng)絡(luò)表征學(xué)習(xí)的頂級(jí)理論解釋，剖析出帶stop-gradient孿生網(wǎng)絡(luò)表征學(xué)習(xí)的本質(zhì)是EM算法。

為了講清楚SimSiam和EM算法以及k-means算法有什么內(nèi)在聯(lián)系，本文先簡單闡述一下EM算法和k-means算法的思想，然后從EM算法出發(fā)推導(dǎo)出SimSiam的優(yōu)化目標(biāo)，并且通過推導(dǎo)結(jié)果解釋predictor和momentum encoder(EMA)的作用。

EM

EM算法的全稱是Expectation-Maximization，是機(jī)器學(xué)習(xí)中最為經(jīng)典的算法之一。EM算法可以認(rèn)為是一種算法思想，其實(shí)很多機(jī)器學(xué)習(xí)算法中都用到了EM思想，比如非常經(jīng)典的k-means聚類算法，等下也會(huì)講到k-means是如何應(yīng)用EM的。

EM算法可以認(rèn)為是極大似然估計(jì)的拓展，極大似然估計(jì)只估計(jì)一個(gè)變量，而EM算法需要同時(shí)估計(jì)兩個(gè)變量。學(xué)過概率統(tǒng)計(jì)的都知道，直接估計(jì)兩個(gè)變量是很困難的問題，所以EM算法實(shí)際上是為了解決多個(gè)變量估計(jì)困難提出來的算法思想，通過一個(gè)迭代的方式，先固定其中一個(gè)變量，估計(jì)另一個(gè)變量，然后交替迭代更新，循環(huán)往復(fù)直至收斂。一個(gè)迭代有兩個(gè)步驟(分別估計(jì)兩個(gè)變量)，先E步，然后M步(M步其實(shí)就是極大似然估計(jì))。

有關(guān)EM算法的詳細(xì)解釋可以看文章鏈接：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/36331115

k-means

一個(gè)最直觀了解 EM 算法思路的是 k-means 算法(一個(gè)變量是如何得到聚類中心，另一個(gè)變量是如何劃分?jǐn)?shù)據(jù))。在 k-means 聚類時(shí)，每個(gè)聚類簇的中心是隱含數(shù)據(jù)。我們會(huì)假設(shè) K 個(gè)初始化中心(初始化中心隨機(jī)得到，后續(xù)迭代中心通過聚類平均進(jìn)行更新)，即 EM 算法的 E 步；然后計(jì)算得到每個(gè)樣本最近的中心，并把樣本聚類到最近的這個(gè)中心，即 EM 算法的 M 步。重復(fù)這個(gè) E 步和 M 步，直到中心不再變化為止，這樣就完成了 k-means 聚類。

SimSiam

圖片來源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/367290573

SimSiam也可以用EM算法解釋。SimSiam實(shí)際上隱式的包含了兩個(gè)變量，并且同時(shí)解決了兩個(gè)潛在的子問題。實(shí)際上stop-gradient操作引入了其中一個(gè)變量。

我們可以把SimSiam的損失函數(shù)定義成以下形式(這里先不考慮SimSiam的predictor)：

? $\mathcal { L } ( \theta , \eta ) = \mathbb { E } _ { x , \mathcal { T } } \left[ \left\| \mathcal { F } _ { \theta } ( \mathcal { T } ( x ) ) - \eta _ { x } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right]$ ?

其中? $\mathcal { T }$ ?表示前面的數(shù)據(jù)增強(qiáng)函數(shù)，? $\mathcal { F } _ { \theta }$ ?表示Encoder加Projector的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。期望E是關(guān)于圖像x和數(shù)據(jù)增強(qiáng)? $\mathcal { T }$ ?的分布(也就是所有圖片和數(shù)據(jù)增強(qiáng)的損失期望之和)。為了方便分析，用L2余弦相似度的等價(jià)形式MSE來表示相似度。? $\eta _ { x }$ ?表示圖片x的表征(也就是上圖下面分支的輸出)。那么優(yōu)化目標(biāo)就可以定義成：

? $\min _ { \theta , \eta } \mathcal { L } ( \theta , \eta )$ ?

這個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的形式就類似于EM和k-means算法。其中變量? $\theta$ ?和聚類中心類似，是encoder和projector的可學(xué)習(xí)參數(shù)；變量? $\eta$ ?和采樣點(diǎn)x的分配向量類似，是圖片x的表征。那么SimSiam可以和k-means算法一樣，通過一個(gè)EM迭代算法來解決，固定住一個(gè)變量，估計(jì)另一個(gè)變量。形式上可以寫成以下兩個(gè)子問題：

? $\begin{aligned} \theta ^ { t } & \leftarrow \arg \min _ { \theta } \mathcal { L } \left( \theta , \eta ^ { t - 1 } \right) \\ \eta ^ { t } & \leftarrow \arg \min _ { \eta } \mathcal { L } \left( \theta ^ { t } , \eta \right) \end{aligned}$ ?

其中t表示迭代輪次，? $\leftarrow$ ?表示賦值。

可以通過SGD來求解? $\theta ^ { t }$ ?，從這個(gè)求解式子可知，stop-gradient是必須的操作，試想一下，如果沒有stop-gradient，那么? $\eta ^ { t - 1 }$ ?就不是一個(gè)常數(shù)，也就是第一個(gè)子問題有兩個(gè)變量，無法求解。

求解完? $\theta ^ { t }$ ?之后，第二個(gè)子問題就只剩下一個(gè)變量? $\eta$ ?。將? $\theta ^ { t }$ ?代入損失函數(shù)中，第二個(gè)子問題就變成了：

? $\begin{aligned}\eta ^ { t } & \leftarrow \arg \min _ { \eta } \mathbb { E } _ { \mathcal { T } } \left[ \left\| \mathcal { F } _ { \theta ^ { t } } ( \mathcal { T } ( x ) ) - \eta _ { x } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right] \end{aligned}$ ?

通過期望公式可得：

? $\eta _ { x } ^ { t } \leftarrow \mathbb { E } _ { \mathcal { T } } \left[ \mathcal { F } _ { \theta ^ { t } } ( \mathcal { T } ( x ) ) \right]$ ?

這個(gè)式子表示第t個(gè)迭代輪次的圖片x表征由該圖片所有數(shù)據(jù)增強(qiáng)期望計(jì)算得到。

One-step alternation

上述兩個(gè)子問題的一次step可以近似為SimSiam。

1. 首先，可以用一次采樣的數(shù)據(jù)增強(qiáng)? $\mathcal { T } ^ { \prime }$ ?來對(duì)第二個(gè)子問題進(jìn)行近似(一次數(shù)據(jù)增強(qiáng)的期望等于本身)：

? $\eta _ { x } ^ { t } \leftarrow \mathcal { F } _ { \theta ^ { t } } \left( \mathcal { T } ^ { \prime } ( x ) \right)$ ?

然后把上式代入第一個(gè)子問題中：

? $\theta ^ { t + 1 } \leftarrow \arg \min _ { \theta } \mathbb { E } _ { x , \mathcal { T } } \left[ \left\| \mathcal { F } _ { \theta } ( \mathcal { T } ( x ) ) - \mathcal { F } _ { \theta ^ { t } } \left( \mathcal { T } ^ { \prime } ( x ) \right) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right]$ ?

其中? $\theta ^ { t }$ ?是子問題中的一個(gè)常數(shù)，? $\mathcal { T } ^ { \prime }$ ?和? $\mathcal { T }$ ?表示兩個(gè)不同的數(shù)據(jù)增強(qiáng)，于是上式就變成了一個(gè)孿生網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

2. 如果上式用一個(gè)SGD來降低loss，那么就可以得到接近SimSiam的算法(這里沒有考慮SimSiam的predictor，等下解釋predictor的作用)：一個(gè)使用stop-gradient的孿生網(wǎng)絡(luò)。

Multi-step alternation

如果把上面一次step拓展到多次step，就可以得到多次step的SimSiam。

多次step的SimSiam可以設(shè)計(jì)成將t作為迭代的外循環(huán)次數(shù)，第一個(gè)子問題設(shè)計(jì)成一次迭代k個(gè)step SGD(k個(gè)step SGD的所有? $\eta _ { x }$ ?表征預(yù)先計(jì)算緩存到內(nèi)存中)。

上述實(shí)驗(yàn)中n-step表示SimSiam一次迭代的step數(shù)，1-epoch表示一個(gè)epoch中一次迭代總的step數(shù)?？梢园l(fā)現(xiàn)，適當(dāng)?shù)脑黾覵imSiam的一次迭代的step數(shù)，可以提升精度(可以認(rèn)為在一次迭代中變相的增加數(shù)據(jù)量，從k-means的角度考慮聚類效果會(huì)更好)。

Predictor

上述推導(dǎo)為了簡便起見，省略了predictor h，如果增加一個(gè)predictor h，第二個(gè)子問題就變成了：

? $\eta _ { x } ^ { t } \leftarrow \mathbb { E } _ { z } \left[ \left\| h \left( z _ { 1 } \right) - z _ { 2 } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right]$ ?

通過期望公式可得：

? $h \left( z _ { 1 } \right) = \mathbb { E } _ { z } \left[ z _ { 2 } \right] = \mathbb { E } _ { \mathcal { T } } [ f ( \mathcal { T } ( x ) ) ]$ ?

前面的一次step近似推導(dǎo)可以省略掉期望E，但是由于predictor h的存在，可以不進(jìn)行一次step近似，predictor h可以彌補(bǔ)? $z _ { 1 }$ ?和期望E的gap。實(shí)際上，直接計(jì)算出數(shù)據(jù)增強(qiáng)? $\mathcal { T }$ ?的期望E是不現(xiàn)實(shí)的，但是可能直接通過predictor h來預(yù)測(cè)出期望E(因?yàn)槎鄠€(gè)epoch中數(shù)據(jù)增強(qiáng)? $\mathcal { T }$ ?的采樣是一個(gè)隱式分布，可以通過學(xué)習(xí)的方式記住)。

Symmetrization

上述推導(dǎo)沒有考慮對(duì)稱計(jì)算loss的情況，實(shí)際上，對(duì)稱loss相當(dāng)于一次SGD密集采樣數(shù)據(jù)增強(qiáng)? $\mathcal { T }$ ?，也就是優(yōu)化效率高一倍。

上述實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這個(gè)結(jié)論，對(duì)稱loss優(yōu)化效率大大提高，非對(duì)稱loss即使使用兩倍訓(xùn)練時(shí)間，效果也不如單倍對(duì)稱loss，猜測(cè)因?yàn)閷?duì)稱loss下數(shù)據(jù)量更多，從k-means的角度考慮聚類效果會(huì)更好。

EMA

SimSiam進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)predictor h用來預(yù)測(cè)期望E不是必須的，還有其他的替代方案。SimSiam又做了一個(gè)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，去掉predictor h的SimSiam其實(shí)就是上面推導(dǎo)的一次step近似，使用momentum encoder(EMA)來得到? $\eta _ { x }$ ?，EMA相當(dāng)于提供了更多數(shù)據(jù)增強(qiáng)? $\mathcal { T }$ ?的views的近似期望E，在沒有predictor h的時(shí)取得55.0%的精度；但是如果同時(shí)沒有EMA和predictor，精度迅速掉到0.1%。這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)側(cè)面證實(shí)了EMA和predictor都能起到預(yù)測(cè)期望E的作用。

并且EMA和predictor的實(shí)驗(yàn)同時(shí)說明了SimSiam和BYOL沒有負(fù)樣本對(duì)也能work的原因，因?yàn)镾imSiam雖然沒有EMA但是有predictor，BYOL既有predictor也有EMA。

總結(jié)

SimSiam的理論解釋意味著所有帶stop-gradient的孿生網(wǎng)絡(luò)表征學(xué)習(xí)都可以用EM算法解釋。stop-gradient起到至關(guān)重要的作用，并且需要一個(gè)預(yù)測(cè)期望E的方法進(jìn)行輔助使用。但是SimSiam仍然無法解釋模型坍塌現(xiàn)象，SimSiam以及它的變體不坍塌現(xiàn)象仍然是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性的觀察，模型坍塌仍然需要后續(xù)的工作進(jìn)一步討論。

看懂了SimSiam對(duì)孿生網(wǎng)絡(luò)表征學(xué)習(xí)的解釋，再看其他應(yīng)用孿生網(wǎng)絡(luò)的算法就清爽了許多，SimSiam值一個(gè)best paper(雖然只拿了2021 CVPR Best Paper Honorable Mention)。

Reference

[1] Exploring Simple Siamese Representation Learning

[2]?https://zhuanlan.zhihu.com/p/36331115

[3]?https://zhuanlan.zhihu.com/p/367290573


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【深度學(xué)習(xí)】SimSiam：孿生網(wǎng)絡(luò)表征學(xué)習(xí)的頂級(jí)理論解釋

EM

k-means

SimSiam

總結(jié)