一文到底，全面理解支持向量機
如果你曾經(jīng)使用機器學(xué)習(xí)執(zhí)行分類任務(wù)，應(yīng)該會聽說支持向量機（SVM）。這個算法的歷史已經(jīng)有五十出頭，它們隨著時間不斷在進化，并適應(yīng)于各種其它問題比如回歸、離群值分析和排序等。在很多深度學(xué)習(xí)開發(fā)者的模型儲備中，SVM 都是他們的至愛。
我將更專注于培養(yǎng)直覺理解而不是嚴密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，這意味著我們會盡可能跳過數(shù)學(xué)細節(jié)而建立其工作方式的理論的直觀理解。
?分類問題
假設(shè)你們的大學(xué)開設(shè)了一項機器學(xué)習(xí)課程，課程的講師發(fā)現(xiàn)那些擅長數(shù)學(xué)或者統(tǒng)計學(xué)的學(xué)生往往表現(xiàn)的最好。課程結(jié)束之后，老師們記錄了注冊課程的學(xué)生的分數(shù)，他們對每一個學(xué)生根據(jù)其在機器學(xué)習(xí)課程上的表現(xiàn)加上了一個標簽：「好」或者「壞」。
現(xiàn)在，老師們想要確定數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)的得分與機器學(xué)習(xí)課程表現(xiàn)的關(guān)系?；蛟S，根據(jù)他們的統(tǒng)計結(jié)果，他們會在學(xué)生注冊課程時加上一個前提條件限制。
他們會怎么做呢？首先把他們的數(shù)據(jù)表示出來，我們可以畫一個二維圖，一個坐標軸表示數(shù)學(xué)成績，另一個表示統(tǒng)計學(xué)成績。每個學(xué)生的具體成績作為一個點在圖中表示。
點的顏色（綠色或者紅色）表示學(xué)生在機器學(xué)習(xí)課程中的表現(xiàn)：「好」或者「壞」。將圖畫出來的話應(yīng)該是這樣的：
當(dāng)一個學(xué)生要求注冊課程的時候，講師將會要求她提供數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)的成績。根據(jù)他們已有的數(shù)據(jù)，他們將對她在機器學(xué)習(xí)課程上的表現(xiàn)作出合理的猜測。我們真正想要的是一類以形式（math_score,stats_score）饋送到「分數(shù)元組」的算法。這個算法能告訴你一個學(xué)生在圖中是以一個紅點還是一個綠點表示（紅/綠可理解為類別或者標簽）。當(dāng)然，這個算法已經(jīng)以某種方式包含了訓(xùn)練數(shù)據(jù)的特征。
在這個案例中，一個好的算法將能尋找在紅色和綠色群集之間的分界線（即決策邊界），然后確定一個分數(shù)多元組將依賴于哪一側(cè)。我們選擇綠色方或者紅色方的其中一側(cè)作為他在這項課程中最可能的表現(xiàn)水平標簽。
這條線稱為決策邊界（因為它將不同標記的群集分離開來）或者分類器（我們用它來將點集分類）。圖中展示了這個問題中可能的兩個分類器。
好分類器和壞分類器
有一個很有趣的問題：以上兩條線都將紅色和綠色的點群集分離開來。有什么合理依據(jù)能讓我們選擇其中一個而舍棄另一個嗎？
要注意一個分類器的價值并不在于它能將訓(xùn)練數(shù)據(jù)分離的多好。我們最終是希望它能將尚未見過的數(shù)據(jù)分離（即測試數(shù)據(jù)）。因此我們需要選擇能捕捉訓(xùn)練數(shù)據(jù)的普遍模式的那條線，而這條線更可能在測試數(shù)據(jù)中表現(xiàn)的更好。
以上所示的第一條線看起來有些許偏差，其下半部分看起來過于接近紅點群集，其上半部分過于接近綠點群集。當(dāng)然它確實很完美的將訓(xùn)練數(shù)據(jù)分離開來，但是如果在測試數(shù)據(jù)中遇到了有一個點離群集稍遠的情況，它很有可能會將其加上錯誤的標記。
而第二的點就沒有這樣的問題。例如，下圖為兩個分類器分離方塊點群集的結(jié)果展示。
第二條線在正確分離訓(xùn)練數(shù)據(jù)的同時也盡可能的遠離兩個群集，即采取最大間隔的策略。處于兩個群集的正中間位置能降低犯錯的風(fēng)險，可以說，這給了每一個類的數(shù)據(jù)分布更多的浮動空間，因此它能更好的泛化到測試數(shù)據(jù)中。
SVM 就是試圖尋找第二類決策邊界的算法。上文我們只是通過目測選擇更好的分類器，但實際上為了在一般案例中應(yīng)用，我們需要將其隱含原理定義地更加精確。以下將簡要說明 SVM 是如何工作的：
1. 尋找能準確分離訓(xùn)練數(shù)據(jù)的決策邊界；
2. 在所有這些決策邊界中選擇能最大化與最近鄰點的距離的決策邊界。
那些定義了這條決策邊界的最近鄰點被稱作支持向量。而決策邊界周圍的區(qū)域被定義為間隔。下圖展示了支持向量和對應(yīng)的第二條決策邊界：黑色邊界的點（有兩個）和間隔（陰影區(qū)域）。
支持向量機提供了一個方法在多個分類器中尋找能更準確分離測試數(shù)據(jù)的分類器。雖然上圖中的決策邊界和數(shù)據(jù)是處于二維空間的，但是必須注意 SVM 實際上能在任何維度的數(shù)據(jù)中工作，在這些維度中，它們尋找的是和二維空間決策邊界類似的結(jié)構(gòu)。
比如，在三維空間中它們尋找的是一個分離面（后面將簡要提到），在更高維空間中它們尋找的是一個分離超平面，即將二維決策邊界和三維分離面推廣到任意維度的結(jié)構(gòu)。一個可以被決策邊界（或者在普遍意義上，一個分離超平面）被稱作線性可分數(shù)據(jù)。分離超平面被稱作線性分類器。
容錯性和軟間隔分類器
我們在上一節(jié)看到的是一個線性可分數(shù)據(jù)的簡單例子，但現(xiàn)實中的數(shù)據(jù)通常是很凌亂的。你也很可能經(jīng)常遇到一些不能正確線性分類的例子。這里展示了一個這樣的例子：
很顯然，使用一個線性分類器通常都無法完美的將標簽分離，但我們也不想將其完全拋棄不用，畢竟除了幾個錯點它基本上能很好的解決問題。那么 SVM 會如何處理這個問題呢？SVM 允許你明確規(guī)定允許多少個錯點出現(xiàn)。你可以在 SVM 中設(shè)定一個參數(shù)「C」；從而你可以在兩種結(jié)果中權(quán)衡：
1. 擁有很寬的間隔；
2. 精確分離訓(xùn)練數(shù)據(jù)；
C 的值越大，意味著在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中允許的誤差越少。
必需強調(diào)一下這是一個權(quán)衡的過程。如果想要更好地分類訓(xùn)練數(shù)據(jù)，那么代價就是間隔會更寬。以下幾個圖展示了在不同的 C 值中分類器和間隔的變化（未顯示支持向量）。
注意決策邊界隨 C 值增大而傾斜的方式。在更大的 C 值中，它嘗試將右下角的紅點盡可能的分離出來。但也許我們并不希望在測試數(shù)據(jù)中也這么做。第一張圖中 C=0.01，看起來更好的抓住了普遍的趨勢，雖然跟更大的 C 值相比，它犧牲了精確性。
考慮到這是一個權(quán)衡方法，需要注意間隔如何隨著 C 值的增大而縮小。
在之前的例子中，間隔內(nèi)是不允許任何錯點的存在的。在這里我們看到，同時擁有好的分離邊界和沒有錯點的間隔是基本不可能的。由于現(xiàn)實世界中的數(shù)據(jù)幾乎不可能精確的分離，確定一個合適的 C 值很重要且很有實際意義。我們往往使用交叉驗證選擇合適的 C 值。
線性不可分數(shù)據(jù)
我們已經(jīng)介紹過支持向量機如何處理完美或者接近完美線性可分數(shù)據(jù)，那對于那些明確的非線性可分數(shù)據(jù)，SVM 又是怎么處理的呢？畢竟有很多現(xiàn)實世界的數(shù)據(jù)都是這一類型的。當(dāng)然，尋找一個分離超平面已經(jīng)行不通了，這反而突出了 SVMs 對這種任務(wù)有多擅長。
這里有一個關(guān)于線性不可分數(shù)據(jù)的例子（這是著名的異或問題變體），圖中展示了線性分類器 SVM 的結(jié)果：
這樣的結(jié)果并不怎么樣，在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中只能得到 75%?的準確率，這是使用決策邊界能得到的最好結(jié)果。此外，決策邊界和一些數(shù)據(jù)點過于接近，甚至將一些點分割開來。
現(xiàn)在輪到我最喜歡 SVM 的部分登場了。我們目前擁有：一項擅長尋找分離超平面的技術(shù)，以及無法線性分離的數(shù)據(jù)。那么怎么辦？
當(dāng)然是，將數(shù)據(jù)映射到另一個空間中使其線性可分然后尋找分離超平面！我會一步一步的詳細介紹這個想法。
仍然從上圖中的數(shù)據(jù)集為例，然后將其映射到三維空間中，其中新的坐標為：
下圖中展示了映射數(shù)據(jù)的表示，你發(fā)現(xiàn)了能塞進一個平面的地方了嗎？
讓我們開始在上面運行 SVM：
標簽分離很完美，接下來將平面映射回初始的二維空間中看看決策邊界是什么樣子：
在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中得到了 100%?的準確率，而且分離邊界并不會過于接近數(shù)據(jù)點，太棒了！初始空間中決策邊界的形狀依賴于映射函數(shù)的形式。在映射空間中，分離邊界通常是一個超平面。
要記住，映射數(shù)據(jù)的最主要的目的是為了使用 SVM 尋找分離超平面。
當(dāng)將分離超平面映射回初始空間時，分離邊界不再是一條線了，間隔和支持向量也變得不同。根據(jù)視覺直覺，它們在映射空間的形態(tài)是很好理解的。
看看它們在映射空間中的樣子，再看看在初始空間。3D 間隔（為了避免視覺混亂，沒有加上陰影）是分離超平面之間的區(qū)域。
在映射空間中有 4 個支持向量，這很合理，它們分布在兩個平面上以確定間隔。在初始空間中，它們依然在決策邊界上，但是看起來數(shù)量并不足以確定最大間隔。
讓我們回過頭分析一下：
1. 如何確定要將數(shù)據(jù)映射到什么樣的空間？
我之前已經(jīng)很明確的提過，在某個地方出現(xiàn)了根號 2！在這個例子中，我想展示一下向高維空間映射的過程，因此我選了一個很具體的映射。一般而言，這是很難確定的。不過，多虧了 over』s theorem，我們能確定的是通過將數(shù)據(jù)映射到高維空間確實更可能使數(shù)據(jù)線性可分。
2. 所以我要做的就是映射數(shù)據(jù)然后運行 SVM？
不是。為了使上述例子更好理解，我解釋的好像我們需要先將數(shù)據(jù)映射。如果你自行將數(shù)據(jù)映射，你要怎么表征無窮維空間呢？看起來 SVMs 很擅長這個，是時候看看算法的核函數(shù)了。
核函數(shù)
最終還是這個獨家秘方才使得 SVM 有了打標簽的能力。在這里我們需要討論一些數(shù)學(xué)。讓我們盤查一下目前我們所見過的：
1. 對于線性可分數(shù)據(jù)，SVM 工作地非常出色。
2. 對于近似線性可分數(shù)據(jù)，只要只用正確的 C 值，SVM 仍然可以工作地很好。
3. 對于線性不可分數(shù)據(jù)，可以將數(shù)據(jù)映射到另一個空間使數(shù)據(jù)變得完美或者幾乎完美線性可分，將問題回歸到了 1 或者 2。
首先 SVM 一個非常令人驚喜的方面是，其所有使用的數(shù)學(xué)機制，如精確的映射、甚至是空間的維度都沒有顯式表示出來。你可以根據(jù)數(shù)據(jù)點（以向量表示）的點積將所有的數(shù)學(xué)寫出來。例如 P 維的向量 i 和 j，第一個下標區(qū)分數(shù)據(jù)點，第二個下標表示維度：
點積的定義如下：
如果數(shù)據(jù)集中有 n 個點，SVM 只需要將所有點兩兩配對的點積以尋找分類器。僅此而已。當(dāng)我們需要將數(shù)據(jù)映射到高維空間的時候也是這樣，不需要向 SVM 提供準確的映射，而是提供映射空間中所有點兩兩配對的點積。
重提一下我們之前做過的映射，看看能不能找到相關(guān)的核函數(shù)。同時我們也會跟蹤映射的計算量，然后尋找點積，看看相比之下，核函數(shù)是怎么工作的。
對于任意一個點 i：
其對應(yīng)的映射點的坐標為：
我們需要進行以下操作以完成映射：
得到新坐標的第一個維度：1 次乘法
第二個維度：1 次乘法
第三個維度：2 次乘法
加起來總共是 1+1+2=4 次乘法，在新坐標中的點積是：
為了計算兩個點 i 和 j 的點積，我們需要先計算它們的映射。因此總共是 4+4=8 次乘法，然后點積的計算包含了 3 次乘法和 2 次加法。
乘法：8（映射）+3（點積）=11 次乘法
加法：2 次（點積之間）
總數(shù)為 11+2=13 次計算，而以下這個核函數(shù)將給出相同的結(jié)果：
首先在初始空間中計算向量的點積，然后將結(jié)果進行平方。把式子展開然后看看是否正確：
確實是這樣。這個式子需要多少次計算呢？看看以上式子的第二步。在二維空間中計算點積只需要 2 次乘法和 1 次加法，平方運算是另一次乘法。因此，總計為：
乘法：2（初始空間的點積）+1（平方運算）=3 次乘法
加法：1（初始空間的點積）
總數(shù)為 3+1=4 次計算。只有之前計算量的 31%。
看起來使用核函數(shù)計算所需要的點積會更快。目前看來這似乎并不是什么重要的選擇：只不過是 4 次和 13 次的比較，但在輸入點處于高維度，而映射空間有更高的維度的情形中，大型數(shù)據(jù)集的計算所節(jié)省的計算量能大大加快訓(xùn)練的速度。因此使用核函數(shù)有相當(dāng)大的優(yōu)勢。
大部分 SVM 程序庫已經(jīng)經(jīng)過預(yù)包裝并包含了一些很受歡迎的核函數(shù)比如多項式，徑向基函數(shù)（RBF），以及 Sigmoid 函數(shù)。當(dāng)不使用映射的時候（比如文中第一個例子），我們就在初始空間中計算點積，我們之前提過，這叫做線性核函數(shù)（linear kernel）。很多核函數(shù)能提供額外的手段進一步調(diào)整數(shù)據(jù)。比如，多項式核函數(shù)：
該多項式允許選擇 c 和 d（多項式的自由度）的值。在上述 3D 映射的例子中，我使用的值為 c=0，d=2。但是核函數(shù)的優(yōu)點遠遠不止于此！
還記得我之前提到向無窮維空間映射的情況嗎？只需要知道正確的核函數(shù)就可以了。因此，我們并不需要將輸入數(shù)據(jù)映射，或者困惑無窮維空間的問題。
核函數(shù)就是為了計算當(dāng)數(shù)據(jù)確實被映射的時候，內(nèi)積的形式。RBF 核函數(shù)通常在一些具體的無窮維映射問題中應(yīng)用。在這里我們不討論數(shù)學(xué)細節(jié)，但會在文末提到一些參考文獻。
如何在空間維度為無窮的情況計算點積呢？如果你覺得困惑，回想一下無窮序列的加法是如何計算的，相似的道理。雖然在內(nèi)積中有無窮個項，但是能利用一些公式將它們的和算出來。
這解答了我們前一節(jié)中提到的問題?？偨Y(jié)一下：
我們通常不會為數(shù)據(jù)定義一個特定的映射，而是從幾個可用的核函數(shù)中選擇，在某些例子中需要做一些參數(shù)調(diào)整，最后選出最適合數(shù)據(jù)的核函數(shù)。
我們并不需要定義核函數(shù)或者自行將數(shù)據(jù)映射。
如果有可用的核函數(shù)，使用它將使計算更快。
RBF 核函數(shù)可將數(shù)據(jù)映射到無窮維空間中。
SVM?庫
你可以在很多 SVM 庫中進行選擇，并開始你的實驗：
libSVM
SVM—Light
SVMTorch
很多普適的機器學(xué)習(xí)庫比如 scikit-learn 也提供 SVM 模塊，通常在專用的 SVM 庫中封裝。我推薦使用經(jīng)驗證測試可行的 libSVM。
libSVM 通常是一個命令行工具，但下載包通常捆綁封裝了 Python、Java 和 MATLAB。只要將你的數(shù)據(jù)文件經(jīng) libSVM 格式化后（下載文件中 README 將解釋這一部分，以及其它可選項），就可以開始試驗了。
實際上，如果你想快速理解不同核函數(shù)和 c 值等如何影響決策邊界，試試登陸「Graphical Interface」的 home page。在上面標記幾類數(shù)據(jù)點，選擇 SVM 參數(shù)，然后運行就可以了。我很快去嘗試了一下：
我給 SVM 出了個難題，然后我嘗試了幾個不同的核函數(shù)：
網(wǎng)站界面并沒有展示分離邊界，但會顯示 SVM 判斷分類標簽的結(jié)果。正如你所見，線性核函數(shù)完全忽略了紅點，認為整個空間中只有黃點。而 RBF 核函數(shù)則完整的為紅點劃出了兩個圈！
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