所謂馬丁格爾（Martingale）策略是在某個(gè)賭盤(pán)里，當(dāng)每次「輸錢」時(shí)就以2 的倍數(shù)再增加賭金，直到贏錢為止。假設(shè)在一個(gè)公平賭大小的賭盤(pán)，開(kāi)大與開(kāi)小都是50% 的概率，所以在任何一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上，我們贏一次的概率是50%，連贏兩次的概率是25%，連贏三次的概率12.5%，連贏四次的概率6.25%，以此類推。同樣，連輸?shù)母怕室彩沁@樣的。于是，交易上，很多人嘗試馬丁格爾式的金字塔加倉(cāng)法來(lái)進(jìn)行交易。那么馬丁格爾策略是否可以增加交易者的收益？

在這篇博客中，我們將通過(guò)以下主題來(lái)關(guān)注馬丁格爾及其在交易策略中的應(yīng)用。掃描本文最下方二維碼獲取全部完整源碼、CSV數(shù)據(jù)文件和Jupyter Notebook 文件打包下載。

• 什么是馬丁格爾？
• 馬丁格爾是如何工作的？
• 馬丁格爾的條件期望值
• 馬丁格爾交易策略
• 什么是反馬丁格爾？
• Python中的馬丁格爾與反馬丁格爾交易策略

「什么是馬丁格爾？」

隨機(jī)變量是一個(gè)未知的值或一個(gè)函數(shù)，它在每個(gè)可能的試驗(yàn)中都取一個(gè)特定的值。它可以是離散的，也可以是連續(xù)的。下面我們考慮離散隨機(jī)變量來(lái)解釋馬丁格爾。

馬丁格爾是一個(gè)隨機(jī)變量M1, M2, M3...Mn的序列，其中

E[Mn+1|Mn] = Mn, n -> 0, 1, ..., n+1  (1)

而E [|Mn+1|] < ∞，

讀作Mn+1的期望值，因?yàn)镸n的值等于Mn，即期望值保持不變。

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量，不同的值x1、x2、x3，各自的概率為p1、p2和p3，其期望值的計(jì)算方法為：

E[M] = x1 * p1 + x2 * p2 + x3 * p3，更簡(jiǎn)單地說(shuō)，期望值與算術(shù)平均值相同。

注意：馬丁格爾總是針對(duì)一些信息集和一些概率測(cè)量來(lái)定義。如果信息集或與過(guò)程相關(guān)的概率發(fā)生變化，該過(guò)程可能不再是馬丁格爾了。

「馬丁格爾是如何工作的？」

考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的游戲，你拋出一枚公平的硬幣，如果結(jié)果是正面，你就贏得一美元，如果是反面，你就失去一美元。

在這個(gè)游戲中，正面或背面的概率總是一半。所以，贏的平均值等于1/2（1）+1/2（-1）=0，這意味著你不能通過(guò)玩若干輪游戲來(lái)系統(tǒng)地賺取任何額外的錢（盡管隨機(jī)收益或損失仍然是可能的）。

因此，上述情況滿足馬丁格爾屬性，即在任何特定回合中，無(wú)論前幾回合的結(jié)果如何，你的總收入預(yù)期都會(huì)保持不變。

「馬丁格爾中的條件期望值」

馬丁格爾定義中方程（1）左側(cè)的表達(dá)式被稱為 "條件期望"。條件期望值（也稱為條件平均數(shù)）是在一組先決條件發(fā)生后計(jì)算的平均數(shù)。

隨機(jī)變量X相對(duì)于變量Z的條件期望被定義為一個(gè)（新）隨機(jī)變量Y=E(X|Z)

「馬丁格爾交易策略」

馬丁格爾交易策略是在虧損的交易中加倍你的風(fēng)險(xiǎn)或投資規(guī)模。由于你的預(yù)期長(zhǎng)期回報(bào)仍然是相同的（價(jià)格下跌時(shí)虧損，價(jià)格上漲時(shí)收益），這種策略可以通過(guò)在價(jià)格下跌時(shí)買入點(diǎn)位，降低你的平均進(jìn)場(chǎng)價(jià)格來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此，即使在一系列虧損的交易之后，如果發(fā)生了盈利的交易，它就會(huì)挽回所有的損失，包括最初的交易金額，因?yàn)樗睦麧?rùn)是2^p=∑ 2^p-1+1。

馬丁格爾法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)之一是，由于交易者在每筆虧損的交易后將投資規(guī)模加倍，該策略有助于挽回?fù)p失并產(chǎn)生利潤(rùn)，提高凈收益。而主要的缺點(diǎn)是，你在增加投資規(guī)模時(shí)沒(méi)有止損限制。

注意：如果破產(chǎn)，你可能會(huì)損失你的全部資本，或者導(dǎo)致資本縮減，需要額外的資本，如果賠率在長(zhǎng)期內(nèi)沒(méi)有改善，你會(huì)不斷地輸。

「什么是反馬丁格爾？」

在反馬丁格爾策略中，當(dāng)價(jià)格向有利可圖的方向移動(dòng)時(shí)，投資規(guī)模增加一倍，當(dāng)出現(xiàn)損失時(shí)，投資規(guī)模減少一半。這樣做的目的是希望股票在趨勢(shì)中繼續(xù)上漲，這在勢(shì)頭驅(qū)動(dòng)的市場(chǎng)中是可行的。

反馬丁格爾策略的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。反馬丁格爾策略的主要優(yōu)點(diǎn)是在不利條件下風(fēng)險(xiǎn)最小，因?yàn)榻灰琢吭趽p失時(shí)不會(huì)增加。盡管有優(yōu)勢(shì)，但如果出現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間的虧損交易，反馬丁格爾也不會(huì)帶來(lái)利潤(rùn)。因此，進(jìn)場(chǎng)信號(hào)應(yīng)準(zhǔn)確計(jì)算，以避免損失覆蓋所獲利潤(rùn)。

在下一節(jié)，我們將在Python中建立馬丁格爾和反馬丁格爾策略。

「用 Python 實(shí)現(xiàn)馬丁格爾與反馬丁格爾交易策略」

我們使用了超過(guò)6個(gè)月的蘋(píng)果公司股票（AAPL）調(diào)整后的收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)。這個(gè)數(shù)據(jù)是從雅虎金融網(wǎng)站上提取的，并存儲(chǔ)在一個(gè)csv文件中。

「讀取股票數(shù)據(jù)」

已下載AAPL的2019年半年度（7月至12月）調(diào)整后的收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)如下：

# Import the libraries , !pip install "library" for first time installing
import numpy as np, pandas as pd
!pip install pyfolio 
import pyfolio as pf

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.style.use('seaborn-darkgrid')
plt.rcParams['figure.figsize'] = (10,7)

import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")

# Load AAPL stock csv data and store to a dataframe
df = pd.read_csv("AAPL.csv")  
df = df.rename(columns={'Adj_Close': 'price'})

# Convert Date into Datetime format
df['Date'] =  pd.to_datetime(df['Date'])
df.fillna(method='ffill', inplace=True)

# Set date as the index of the dataframe
df.set_index('Date',inplace=True)
df.head()

# Create a copy of two dataframes for the trading strategies
df_mg = df.copy()
df_anti_mg = df.copy()

「簡(jiǎn)單的馬丁格爾策略」

馬丁格爾交易策略是在虧損的交易中加倍你的交易量。

我們從AAPL的一只股票開(kāi)始，在虧損的交易中把交易量或數(shù)量翻倍。構(gòu)建策略時(shí)，將獲勝的交易視為比前一收盤(pán)價(jià)增加2%，將失敗的交易視為比前一收盤(pán)價(jià)減少2%。

# Create column for previous price
df_mg['prev_price'] = df_mg['price'].shift(1)

# Generate buy and sell signal for price increase and decrease respectively. And create consolidated 'signal' column by addition of both buy and sell signals
df_mg['long_signal'] = np.where(df_mg['price'] > 1.02*df_mg['prev_price'], 1, 0)
df_mg['short_signal'] = np.where(df_mg['price'] < .98*df_mg['prev_price'], -1, 0)
df_mg['signal'] = df_mg['short_signal'] + df_mg['long_signal']
df_mg.head()

# Initialise 'quantity' column 
df_mg['quantity'] = 0

# Start with 1 stock, long position
df_mg['signal'].iloc[0] = 1

# Strategy to double the trade volume or quantity on losing trades
for i in range(df_mg.shape[0]):
  if i == 0:
    df_mg['quantity'].iloc[0] = 1
  else:
    if df_mg['signal'].iloc[i] == 1:
      df_mg['quantity'].iloc[i] = df_mg['quantity'].iloc[i-1]
    if df_mg['signal'].iloc[i] == -1:
      df_mg['quantity'].iloc[i] = df_mg['quantity'].iloc[i-1]*2
    if df_mg['signal'].iloc[i] == 0:
      df_mg['quantity'].iloc[i] = df_mg['quantity'].iloc[i-1]
      
df_mg.head()

# Calculate returns
df_mg['returns'] = ((df_mg['price'] - df_mg['prev_price'])/ df_mg['price'])*df_mg['quantity']

# Cumulative strategy returns
df_mg['cumulative_returns'] = (df_mg.returns+1).cumprod()

# Plot cumulative returns
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(df_mg.cumulative_returns)
plt.grid()

# Define the label for the title of the figure
plt.title('Cumulative Returns for Martingale strategy', fontsize=16)

# Define the labels for x-axis and y-axis
plt.xlabel('Date', fontsize=14)
plt.ylabel('Cumulative Returns', fontsize=14)

# Define the tick size for x-axis and y-axis
plt.xticks(fontsize=12)
plt.yticks(fontsize=12)

plt.show()

# Plot position
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(df_mg.quantity)
plt.grid()

# Define the label for the title of the figure
plt.title('Position sizing', fontsize=16)

# Define the labels for x-axis and y-axis
plt.xlabel('Price', fontsize=14)
plt.ylabel('Quantity', fontsize=14)

# Define the tick size for x-axis and y-axis
plt.xticks(fontsize=12)
plt.yticks(fontsize=12)

plt.show()

注意：我們可以從上圖中注意到，交易量或數(shù)量以指數(shù)形式增加，累計(jì)收益也隨之增加。但在這種情況下，我們可能會(huì)耗盡資本來(lái)加倍倉(cāng)位，從而導(dǎo)致破產(chǎn)。

「簡(jiǎn)單的反馬丁格爾策略」

反馬丁格爾策略是在獲勝的交易中把交易量翻倍，在失敗的交易中把交易量減半。

與上述馬丁格爾策略類似，我們從AAPL的一只股票開(kāi)始，在獲勝的交易中把交易量或數(shù)量增加一倍，在失敗的交易中把交易量或數(shù)量減少一半。該策略的建立是考慮到盈利的交易是2%的增長(zhǎng)，而失敗的交易是在前一個(gè)收盤(pán)價(jià)的基礎(chǔ)上減少2%。

# This step before deciding trade size is same as the above martingale strategy
# Create column for previous price
df_anti_mg['prev_price'] = df_anti_mg['price'].shift(1)

# Generate buy and sell signal for price increase and decrease respectively. And create consolidated 'signal' column by addition of both buy and sell signals
df_anti_mg['long_signal'] = np.where(df_anti_mg['price'] > 1.02*df_anti_mg['prev_price'], 1, 0)
df_anti_mg['short_signal'] = np.where(df_anti_mg['price'] < .98*df_anti_mg['prev_price'], -1, 0)
df_anti_mg['signal'] = df_anti_mg['short_signal'] + df_anti_mg['long_signal']
df_anti_mg.head()

# Intialise 'quantity' column 
df_anti_mg['quantity'] = 0

# Start with $10,000 cash long position
cash = 10000
df_anti_mg['signal'].iloc[0] = 1

# Strategy to double the trade volume or quantity on losing trades
for i in range(df_anti_mg.shape[0]):
  if i == 0:
    df_anti_mg['quantity'].iloc[0] = 1
  else:
    if df_anti_mg['signal'].iloc[i] == 1:
      df_anti_mg['quantity'].iloc[i] = df_anti_mg['quantity'].iloc[i-1]*2
    if df_anti_mg['signal'].iloc[i] == -1:
      df_anti_mg['quantity'].iloc[i] = df_anti_mg['quantity'].iloc[i-1]/2
    if df_anti_mg['signal'].iloc[i] == 0:
      df_anti_mg['quantity'].iloc[i] = df_anti_mg['quantity'].iloc[i-1]

df_anti_mg.head()

# Calculate returns
df_anti_mg['returns'] = ((df_anti_mg['price'] - df_anti_mg['prev_price'])/ df_anti_mg['prev_price'])*df_anti_mg['quantity']

# Cumulative strategy returns
df_anti_mg['cumulative_returns'] = (df_anti_mg.returns+1).cumprod()

# Plot cumulative returns
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(df_anti_mg.cumulative_returns)
plt.grid()

# Define the label for the title of the figure
plt.title('Cumulative Returns for Anti-Martingale strategy', fontsize=16)

# Define the labels for x-axis and y-axis
plt.xlabel('Date', fontsize=14)
plt.ylabel('Cumulative Returns', fontsize=14)

# Define the tick size for x-axis and y-axis
plt.xticks(fontsize=12)
plt.yticks(fontsize=12)

plt.show()

# Plot position
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(df_anti_mg.quantity)
plt.grid()

# Define the label for the title of the figure
plt.title('Position sizing', fontsize=16)

# Define the labels for x-axis and y-axis
plt.xlabel('Date', fontsize=14)
plt.ylabel('Quantity', fontsize=14)

# Define the tick size for x-axis and y-axis
plt.xticks(fontsize=12)
plt.yticks(fontsize=12)

plt.show()

標(biāo)準(zhǔn)馬丁格爾在長(zhǎng)期內(nèi)會(huì)導(dǎo)致高度可變的結(jié)果，因?yàn)樗赡軙?huì)遇到指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的損失。而反馬丁格爾的回報(bào)分布明顯更平坦，方差更小，因?yàn)樗鼫p少了損失的風(fēng)險(xiǎn)，而增加了利潤(rùn)的風(fēng)險(xiǎn)。考慮到這一點(diǎn)，我們看到大多數(shù)成功的交易者傾向于遵循反馬丁格爾策略，因?yàn)榕c馬丁格爾策略相比，他們被認(rèn)為在連勝期間增加投資規(guī)模的風(fēng)險(xiǎn)較小。

「總結(jié)」

在這篇文章中，我們首先通過(guò)條件期望值的概念了解了馬丁格爾的直觀含義。接下來(lái)，我們學(xué)習(xí)了馬丁格爾策略的類型。在馬丁格爾交易策略下，交易規(guī)?；驍?shù)量在虧損的交易中翻倍，通過(guò)后面的盈利交易來(lái)彌補(bǔ)虧損并產(chǎn)生利潤(rùn)。在反馬丁格爾交易策略中，交易規(guī)模或數(shù)量在虧損的交易中減半，在盈利的交易中翻倍。我們還了解了可能適合這兩種策略的市場(chǎng)條件。最后，我們用Python實(shí)現(xiàn)了馬丁格爾和反馬丁格爾交易策略。

E N D

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