機(jī)器學(xué)習(xí)中常用的5種回歸損失函數(shù)

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機(jī)器學(xué)習(xí)中所有的算法都需要最大化或最小化一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)被稱為“目標(biāo)函數(shù)”。其中，我們一般把最小化的一類函數(shù)，稱為“損失函數(shù)”。它能根據(jù)預(yù)測結(jié)果，衡量出模型預(yù)測能力的好壞。

在實(shí)際應(yīng)用中，選取損失函數(shù)會受到諸多因素的制約，比如是否有異常值、機(jī)器學(xué)習(xí)算法的選擇、梯度下降的時(shí)間復(fù)雜度、求導(dǎo)的難易程度以及預(yù)測值的置信度等等。因此，不存在一種損失函數(shù)適用于處理所有類型的數(shù)據(jù)。這篇文章就講介紹不同種類的損失函數(shù)以及它們的作用。

損失函數(shù)大致可分為兩類：分類問題的損失函數(shù)和回歸問題的損失函數(shù)。在這篇文章中，我將著重介紹回歸損失。

本文出現(xiàn)的代碼和圖表我們都妥妥保存在這兒了：https://nbviewer.jupyter.org/github/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/05_Loss_Functions.ipynb

分類、回歸問題損失函數(shù)對比

均方誤差(MSE)是最常用的回歸損失函數(shù)，計(jì)算方法是求預(yù)測值與真實(shí)值之間距離的平方和，公式如圖。

下圖是MSE函數(shù)的圖像，其中目標(biāo)值是100，預(yù)測值的范圍從-10000到10000，Y軸代表的MSE取值范圍是從0到正無窮，并且在預(yù)測值為100處達(dá)到最小。

MSE損失（Y軸）-預(yù)測值（X軸）

平均絕對誤差（MAE）是另一種用于回歸模型的損失函數(shù)。MAE是目標(biāo)值和預(yù)測值之差的絕對值之和。其只衡量了預(yù)測值誤差的平均模長，而不考慮方向，取值范圍也是從0到正無窮（如果考慮方向，則是殘差/誤差的總和——平均偏差（MBE））。

MAE損失（Y軸）-預(yù)測值（X軸）

簡單來說，MSE計(jì)算簡便，但MAE對異常點(diǎn)有更好的魯棒性。下面就來介紹導(dǎo)致二者差異的原因。

訓(xùn)練一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)模型時(shí)，我們的目標(biāo)就是找到損失函數(shù)達(dá)到極小值的點(diǎn)。當(dāng)預(yù)測值等于真實(shí)值時(shí)，這兩種函數(shù)都能達(dá)到最小。

下面是這兩種損失函數(shù)的python代碼。你可以自己編寫函數(shù)，也可以使用sklearn內(nèi)置的函數(shù)。

<pre style="margin: 0px; padding: 0px; max-width: 100%;box-sizing: border-box !important; word-wrap: break-word !important; color: rgb(51, 51, 51); font-size: 17px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: 0.544000029563904px; line-height: 27.2000007629395px; orphans: auto; text-align: justify; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 1; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(255, 255, 255);">true: Array of true target variablepred: Array of predictionsdef mse(true, pred):return np.sum((true - pred)**2)def mae(true, pred):return np.sum(np.abs(true - pred))also available in sklearnfrom sklearn.metrics import mean_squared_errorfrom sklearn.metrics import mean_absolute_error</pre>

下面讓我們觀察MAE和RMSE（即MSE的平方根，同MAE在同一量級中）在兩個(gè)例子中的計(jì)算結(jié)果。第一個(gè)例子中，預(yù)測值和真實(shí)值很接近，而且誤差的方差也較小。第二個(gè)例子中，因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)異常點(diǎn)，而導(dǎo)致誤差非常大。

左圖：誤差比較接近 右圖：有一個(gè)誤差遠(yuǎn)大于其他誤差

從圖中可以知道什么？應(yīng)當(dāng)如何選擇損失函數(shù)？

MSE對誤差取了平方（令e=真實(shí)值-預(yù)測值），因此若e>1，則MSE會進(jìn)一步增大誤差。如果數(shù)據(jù)中存在異常點(diǎn)，那么e值就會很大，而e2則會遠(yuǎn)大于|e|。

直觀上可以這樣理解：如果我們最小化MSE來對所有的樣本點(diǎn)只給出一個(gè)預(yù)測值，那么這個(gè)值一定是所有目標(biāo)值的平均值。但如果是最小化MAE，那么這個(gè)值，則會是所有樣本點(diǎn)目標(biāo)值的中位數(shù)。眾所周知，對異常值而言，中位數(shù)比均值更加魯棒，因此MAE對于異常值也比MSE更穩(wěn)定。

然而MAE存在一個(gè)嚴(yán)重的問題（特別是對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）：更新的梯度始終相同，也就是說，即使對于很小的損失值，梯度也很大。這樣不利于模型的學(xué)習(xí)。為了解決這個(gè)缺陷，我們可以使用變化的學(xué)習(xí)率，在損失接近最小值時(shí)降低學(xué)習(xí)率。

而MSE在這種情況下的表現(xiàn)就很好，即便使用固定的學(xué)習(xí)率也可以有效收斂。MSE損失的梯度隨損失增大而增大，而損失趨于0時(shí)則會減小。這使得在訓(xùn)練結(jié)束時(shí)，使用MSE模型的結(jié)果會更精確。

根據(jù)不同情況選擇損失函數(shù)

如果異常點(diǎn)代表在商業(yè)中很重要的異常情況，并且需要被檢測出來，則應(yīng)選用MSE損失函數(shù)。相反，如果只把異常值當(dāng)作受損數(shù)據(jù)，則應(yīng)選用MAE損失函數(shù)。

這里L(fēng)1損失和L2損失只是MAE和MSE的別稱。總而言之，處理異常點(diǎn)時(shí)，L1損失函數(shù)更穩(wěn)定，但它的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，因此求解效率較低。L2損失函數(shù)對異常點(diǎn)更敏感，但通過令其導(dǎo)數(shù)為0，可以得到更穩(wěn)定的封閉解。

二者兼有的問題是：在某些情況下，上述兩種損失函數(shù)都不能滿足需求。例如，若數(shù)據(jù)中90%的樣本對應(yīng)的目標(biāo)值為150，剩下10%在0到30之間。那么使用MAE作為損失函數(shù)的模型可能會忽視10%的異常點(diǎn)，而對所有樣本的預(yù)測值都為150。

這是因?yàn)槟Ｐ蜁粗形粩?shù)來預(yù)測。而使用MSE的模型則會給出很多介于0到30的預(yù)測值，因?yàn)槟Ｐ蜁虍惓｜c(diǎn)偏移。上述兩種結(jié)果在許多商業(yè)場景中都是不可取的。

這些情況下應(yīng)該怎么辦呢？最簡單的辦法是對目標(biāo)變量進(jìn)行變換。而另一種辦法則是換一個(gè)損失函數(shù)，這就引出了下面要講的第三種損失函數(shù)，即Huber損失函數(shù)。

Huber損失，平滑的平均絕對誤差

Huber損失對數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn)沒有平方誤差損失那么敏感。它在0也可微分。本質(zhì)上，Huber損失是絕對誤差，只是在誤差很小時(shí)，就變?yōu)槠椒秸`差。誤差降到多小時(shí)變?yōu)槎握`差由超參數(shù)δ（delta）來控制。當(dāng)Huber損失在[0-δ,0+δ]之間時(shí)，等價(jià)為MSE，而在[-∞,δ]和[δ,+∞]時(shí)為MAE。

Huber損失（Y軸）與預(yù)測值（X軸）圖示。真值取0

這里超參數(shù)delta的選擇非常重要，因?yàn)檫@決定了你對與異常點(diǎn)的定義。當(dāng)殘差大于delta，應(yīng)當(dāng)采用L1（對較大的異常值不那么敏感）來最小化，而殘差小于超參數(shù)，則用L2來最小化。

使用MAE訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最大的一個(gè)問題就是不變的大梯度，這可能導(dǎo)致在使用梯度下降快要結(jié)束時(shí)，錯(cuò)過了最小點(diǎn)。而對于MSE，梯度會隨著損失的減小而減小，使結(jié)果更加精確。

在這種情況下，Huber損失就非常有用。它會由于梯度的減小而落在最小值附近。比起MSE，它對異常點(diǎn)更加魯棒。因此，Huber損失結(jié)合了MSE和MAE的優(yōu)點(diǎn)。但是，Huber損失的問題是我們可能需要不斷調(diào)整超參數(shù)delta。

Log-cosh是另一種應(yīng)用于回歸問題中的，且比L2更平滑的的損失函數(shù)。它的計(jì)算方式是預(yù)測誤差的雙曲余弦的對數(shù)。

Log-cosh損失（Y軸）與預(yù)測值（X軸）圖示。真值取0

優(yōu)點(diǎn)：對于較小的x，log(cosh(x))近似等于(x^2)/2，對于較大的x，近似等于abs(x)-log(2)。這意味著‘logcosh’基本類似于均方誤差，但不易受到異常點(diǎn)的影響。它具有Huber損失所有的優(yōu)點(diǎn)，但不同于Huber損失的是，Log-cosh二階處處可微。

為什么需要二階導(dǎo)數(shù)？許多機(jī)器學(xué)習(xí)模型如XGBoost，就是采用牛頓法來尋找最優(yōu)點(diǎn)。而牛頓法就需要求解二階導(dǎo)數(shù)（Hessian）。因此對于諸如XGBoost這類機(jī)器學(xué)習(xí)框架，損失函數(shù)的二階可微是很有必要的。

XgBoost中使用的目標(biāo)函數(shù)。注意對一階和二階導(dǎo)數(shù)的依賴性

但Log-cosh損失也并非完美，其仍存在某些問題。比如誤差很大的話，一階梯度和Hessian會變成定值，這就導(dǎo)致XGBoost出現(xiàn)缺少分裂點(diǎn)的情況。

Huber和Log-cosh損失函數(shù)的Python代碼：

在大多數(shù)現(xiàn)實(shí)世界預(yù)測問題中，我們通常希望了解預(yù)測中的不確定性。清楚預(yù)測的范圍而非僅是估計(jì)點(diǎn)，對許多商業(yè)問題的決策很有幫助。

當(dāng)我們更關(guān)注區(qū)間預(yù)測而不僅是點(diǎn)預(yù)測時(shí)，分位數(shù)損失函數(shù)就很有用。使用最小二乘回歸進(jìn)行區(qū)間預(yù)測，基于的假設(shè)是殘差（y-y_hat）是獨(dú)立變量，且方差保持不變。

一旦違背了這條假設(shè)，那么線性回歸模型就不成立。但是我們也不能因此就認(rèn)為使用非線性函數(shù)或基于樹的模型更好，而放棄將線性回歸模型作為基線方法。這時(shí)，分位數(shù)損失和分位數(shù)回歸就派上用場了，因?yàn)榧幢銓τ诰哂凶兓讲罨蚍钦龖B(tài)分布的殘差，基于分位數(shù)損失的回歸也能給出合理的預(yù)測區(qū)間。

下面讓我們看一個(gè)實(shí)際的例子，以便更好地理解基于分位數(shù)損失的回歸是如何對異方差數(shù)據(jù)起作用的。

****分位數(shù)回歸與最小二乘回歸****

左：b/wX1和Y為線性關(guān)系。具有恒定的殘差方差。

右：b/wX2和Y為線性關(guān)系，但Y的方差隨著X2增加。（異方差）

橙線表示兩種情況下OLS的估值

分位數(shù)回歸。虛線表示基于0.05和0.95分位數(shù)損失函數(shù)的回歸

附上圖中所示分位數(shù)回歸的代碼：

https://github.com/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/09_Quantile_Regression.ipynb

****理解分位數(shù)損失函數(shù)****

如何選取合適的分位值取決于我們對正誤差和反誤差的重視程度。損失函數(shù)通過分位值（γ）對高估和低估給予不同的懲罰。例如，當(dāng)分位數(shù)損失函數(shù)γ=0.25時(shí)，對高估的懲罰更大，使得預(yù)測值略低于中值。

γ是所需的分位數(shù)，其值介于0和1之間。

分位數(shù)損失（Y軸）與預(yù)測值（X軸）圖示。Y的真值為0

這個(gè)損失函數(shù)也可以在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或基于樹的模型中計(jì)算預(yù)測區(qū)間。以下是用Sklearn實(shí)現(xiàn)梯度提升樹回歸模型的示例。

使用分位數(shù)損失（梯度提升回歸器）預(yù)測區(qū)間

上圖表明：在sklearn庫的梯度提升回歸中使用分位數(shù)損失可以得到90％的預(yù)測區(qū)間。其中上限為γ=0.95，下限為γ=0.05。

為了證明上述所有損失函數(shù)的特點(diǎn)，讓我們來一起看一個(gè)對比研究。首先，我們建立了一個(gè)從sinc（x）函數(shù)中采樣得到的數(shù)據(jù)集，并引入了兩項(xiàng)人為噪聲：高斯噪聲分量ε?N（0，σ2）和脈沖噪聲分量ξ?Bern（p）。

加入脈沖噪聲是為了說明模型的魯棒效果。以下是使用不同損失函數(shù)擬合GBM回歸器的結(jié)果。

連續(xù)損失函數(shù)：

仿真對比的一些觀察結(jié)果：

• MAE損失模型的預(yù)測結(jié)果受脈沖噪聲的影響較小，而MSE損失函數(shù)的預(yù)測結(jié)果受此影響略有偏移。

• Huber損失模型預(yù)測結(jié)果對所選超參數(shù)不敏感。

• 分位數(shù)損失模型在合適的置信水平下能給出很好的估計(jì)。

最后，讓我們將所有損失函數(shù)都放進(jìn)一張圖，我們就得到了下面這張漂亮的圖片！它們的區(qū)別是不是一目了然了呢~

好消息！
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