「Python數(shù)據(jù)之道」導(dǎo)語本文內(nèi)容較長(zhǎng)，較為詳細(xì)的闡述了進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)的步驟，有些內(nèi)容可能暫時(shí)用不到或者看不懂，但不要緊，知道有這么一個(gè)概念，后續(xù)碰到的時(shí)候，繼續(xù)深入學(xué)習(xí)以及使用就可以。
一文弄懂時(shí)間序列預(yù)測(cè)的基本原理
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我們被隨處可見的模式所包圍，人們可以注意到四季與天氣的關(guān)系模式，以交通量計(jì)算的交通高峰期的模式，你的心跳或者是股票市場(chǎng)和某些產(chǎn)品的銷售周期。分析時(shí)間序列數(shù)據(jù)對(duì)于發(fā)現(xiàn)這些模式和預(yù)測(cè)未來非常有用。有幾種方法可以創(chuàng)建這類預(yù)測(cè)，在本文中，我將介紹最基本且最傳統(tǒng)的方法概念。所有代碼都是用 Python 編寫的，并且在 GitHub 上可以看到所有的信息。https://nbviewer.jupyter.org/github/leandrovrabelo/tsmodels/blob/master/notebooks/english/Basic Principles for Time Series Forecasting.ipynb那么讓我們開始談?wù)劮治?strong style="color: rgb(46, 46, 46);">時(shí)間序列的初始條件：
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平穩(wěn)序列
平穩(wěn)時(shí)間序列是指統(tǒng)計(jì)特性，如均值、方差和自相關(guān)系數(shù)，隨時(shí)間相對(duì)恒定的序列。因此，非平穩(wěn)序列是統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間變化的序列。在開始任何預(yù)測(cè)建模之前，都有必要驗(yàn)證這些統(tǒng)計(jì)屬性是否是常量，我將一一解釋下面的每個(gè)點(diǎn)：常數(shù)均值
常數(shù)方差
自相關(guān)
常數(shù)均值
一個(gè)平穩(wěn)序列在時(shí)間上具有一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的均值，這個(gè)值沒有減少或者增加的趨勢(shì)。圍繞常數(shù)均值的小的變化，使我們更容易推測(cè)未來。在某些情況下，相對(duì)于平均值的變量比較小，使用它可以很好地預(yù)測(cè)未來。下圖顯示了變量與該常數(shù)平均值相對(duì)于時(shí)間變化的關(guān)系:
在這種情況下，如果序列不是平穩(wěn)的，對(duì)未來的預(yù)測(cè)將是無效的，因?yàn)槠骄抵車淖兞繒?huì)顯著偏離，如下圖所示:
在上圖中，我們可以明顯看到上升的趨勢(shì)，均值正在逐漸上升。在這種情況下，如果使用均值進(jìn)行未來值的預(yù)測(cè)，誤差將非常大，因?yàn)轭A(yù)測(cè)價(jià)格會(huì)總是低于實(shí)際價(jià)格。常數(shù)方差
當(dāng)序列的方差為常數(shù)時(shí)，我們知道均值和標(biāo)準(zhǔn)差之間存在一種關(guān)系。當(dāng)方差不為常數(shù)時(shí)（如下圖所示），預(yù)測(cè)在某些時(shí)期可能會(huì)有較大的誤差，而這些時(shí)期是不可預(yù)測(cè)的?？梢灶A(yù)測(cè)到，隨著時(shí)間的推移直到未來，方差會(huì)保持不穩(wěn)定。
為了減小方差效應(yīng)，可以采用對(duì)數(shù)變換。在本例中，也可以使用指數(shù)變換，如 Box-Cox 方法，或者使用膨脹率調(diào)整。自相關(guān)序列
當(dāng)兩個(gè)變量在時(shí)間上的標(biāo)準(zhǔn)差有相似的變化時(shí)，你可以說這些變量是相關(guān)的。例如，體重會(huì)隨著心臟疾病而增加，體重越大，心臟問題的發(fā)生率就越大。在這種情況下，相關(guān)性是正的，圖形應(yīng)該是這樣的:
負(fù)相關(guān)的情況類似于這樣：對(duì)工作安全措施的投入越多，工作相關(guān)的事故數(shù)量就越少。下面是幾個(gè)相關(guān)級(jí)別的散點(diǎn)圖的例子:
當(dāng)談到自相關(guān)時(shí)，意思是某些先前時(shí)期與當(dāng)前時(shí)期存在相關(guān)性，這種相關(guān)性是滯后的。例如，在以小時(shí)為單位的測(cè)量值序列中，今天 12:00 的溫度與 24 小時(shí)前的 12:00 的溫度非常相似。如果你比較 24 小時(shí)內(nèi)的溫度變化，就會(huì)存在自相關(guān)，在本例中，我們將與第 24 小時(shí)前的時(shí)間存在自相關(guān)關(guān)系。自相關(guān)是使用單個(gè)變量創(chuàng)建預(yù)測(cè)的一種情況，因?yàn)槿绻麤]有相關(guān)性，就不能使用過去的值來預(yù)測(cè)未來；當(dāng)有多個(gè)變量時(shí)，則可以驗(yàn)證因變量和獨(dú)立變量的滯后之間是否存在相關(guān)性。如果一個(gè)序列不存在自相關(guān)關(guān)系，那么它就是隨機(jī)且不可預(yù)測(cè)的，做預(yù)測(cè)的最佳方法通常是使用前一天的值。我將在下面使用更詳細(xì)的圖表來解釋。從這里開始我將分析 Esalq 上的每周含水乙醇價(jià)格（這是巴西談判含水乙醇的價(jià)格參考），數(shù)據(jù)可以在這里(https://www.cepea.esalq.usp.br/br/indicador/etanol.aspx)下載。價(jià)格單位是巴西雷亞爾每立方米(BRL/m3)。在開始任何分析之前，要將數(shù)據(jù)劃分為訓(xùn)練集和測(cè)試集。劃分訓(xùn)練集和測(cè)試集數(shù)據(jù)
當(dāng)我們要?jiǎng)?chuàng)建時(shí)序預(yù)測(cè)模型時(shí)，將數(shù)據(jù)劃分為兩部分至關(guān)重要：訓(xùn)練集：這些數(shù)據(jù)將是定義模型系數(shù)/參數(shù)的主要依據(jù)；測(cè)試集：這些數(shù)據(jù)將被分離且對(duì)模型不可見，用于測(cè)試模型是否有效（通常將這些值與模型結(jié)果進(jìn)行比較，最后測(cè)量平均誤差）。測(cè)試集的大小通常約為總樣本的20%，盡管這個(gè)百分比取決于你擁有的樣本大小以及你希望提前多少時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)。理想情況下，測(cè)試集應(yīng)至少與所需預(yù)測(cè)的最大范圍相同。與其他如分類和回歸等不受時(shí)間影響的預(yù)測(cè)方法不同，在時(shí)間序列中，不可以將訓(xùn)練和測(cè)試數(shù)據(jù)從數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽樣取出，我們必須遵循序列的時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)，訓(xùn)練數(shù)據(jù)應(yīng)該始終是在測(cè)試數(shù)據(jù)之前。在本例中，我們有Esalq 含水乙醇的 856 周的價(jià)格數(shù)據(jù)，使用前 700 周的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后 156 周（3年，18%）的數(shù)據(jù)用作測(cè)試集：
從現(xiàn)在開始，我們只使用訓(xùn)練集來做研究，測(cè)試集僅用于驗(yàn)證我們的預(yù)測(cè)。每一個(gè)時(shí)間序列可以分為三個(gè)部分：趨勢(shì)、季節(jié)性和殘差，殘差是將前兩部分從序列中去除后剩下的部分，使用這種分割方法之后：
顯然，該序列具有上升趨勢(shì)，在每一年的年底到年初之間達(dá)到峰值，在4月和9月之間達(dá)到最低值（此時(shí)在巴西中南部開始甘蔗的壓榨）。我們?nèi)匀唤ㄗh使用統(tǒng)計(jì)測(cè)試來確認(rèn)序列是否是平穩(wěn)的，這里將使用兩個(gè)測(cè)試：Dickey-Fuller 測(cè)試和 KPSS 測(cè)試。首先，我們將使用 Dickey-Fuller 檢驗(yàn)，我將使用 5% 的基礎(chǔ) P 值，也就是說，如果 P 值低于 5% 這意味著這個(gè)序列在統(tǒng)計(jì)上是平穩(wěn)的。此外，還有模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，可以將檢驗(yàn)值與 1%、5%、10% 的臨界值進(jìn)行比較，如果統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)低于選定的某個(gè)臨界值，就認(rèn)為序列是平穩(wěn)的:
在本例中，Dickey-Fuller 檢驗(yàn)結(jié)果表明序列不是平穩(wěn)的（ P 值 36%，臨界值 5% 小于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)）。現(xiàn)在我們要用 KPSS 檢驗(yàn)分析序列，與 Dickey-Fuller 檢驗(yàn)不同，KPSS 檢驗(yàn)已經(jīng)假設(shè)序列是平穩(wěn)的，只有當(dāng) P 值小于 5% 或統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)小于某個(gè)臨界值時(shí)，序列才不是平穩(wěn)的：
KPSS 檢驗(yàn)證實(shí)了 Dickey-Fuller 檢驗(yàn)的正確性，同時(shí)也表明該序列不是平穩(wěn)的，因?yàn)?P 值為 1%，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)高于任何臨界值。接下來，我將演示如何將序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)狀態(tài)。2
將序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)狀態(tài)
差分
差分法用來移除趨勢(shì)信號(hào)，也可以用來減少方差，它只是 T 周期的值與前一個(gè) T-1 周期值的差值。為了更容易理解，下面我們只用一小部分的乙醇價(jià)格，以便更好地可視化，可以看到從 2005 年 5 月開始價(jià)格上漲，直到 2006 年 5 月中旬，價(jià)格每周都在上漲，這就累積了一個(gè)上升的趨勢(shì)，這種情況下，屬于非平穩(wěn)序列。
當(dāng)進(jìn)行一階微分時(shí)（如下圖），我們?nèi)コ诵蛄械睦鄯e效應(yīng)，并且僅顯示了整個(gè)系列中時(shí)段 T 相對(duì)于時(shí)段 T-1 的變化，因此如果 3 天前的價(jià)格為 800 BRL 且已漲到 850.00 BRL，差價(jià)將是 50.00 BRL，如果今天的價(jià)格是 860.00 BRL，那么差價(jià)將是 - 10.00 BRL。
通常只需要一階微分就足夠?qū)⑿蛄修D(zhuǎn)換為平穩(wěn)狀態(tài)，但如果需要，可以應(yīng)用二階微分，在這種情況下，將對(duì)一階微分的值進(jìn)行求導(dǎo)（幾乎沒有二階以上微分的情況）。同樣的例子，要進(jìn)行二次微分，我們必須取 T 時(shí)刻減去 T-1 時(shí)刻的微分：2.9 BRL -5.5 BRL = - 2.6 BRL 等等。
我們來做一下 Dickey-Fuller 測(cè)試，看看這個(gè)序列是否會(huì)在一階微分后是平穩(wěn)的：
在這種情況下，我們確定該序列是平穩(wěn)的，P 值為零，并且當(dāng)我們比較統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的值時(shí)，它遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于臨界值。在下一個(gè)例子中，我們將嘗試調(diào)整通貨膨脹率將一個(gè)序列轉(zhuǎn)換到平穩(wěn)狀態(tài)。膨脹率調(diào)整
價(jià)格是相對(duì)于交易時(shí)間的，2002 年乙醇的價(jià)格是 680.00 BRL，如果現(xiàn)在產(chǎn)品的價(jià)格是這個(gè)價(jià)格，很多工廠肯定會(huì)倒閉，因?yàn)檫@個(gè)價(jià)格非常低。為了讓序列平穩(wěn)，我將基于當(dāng)前值使用巴西 IPCA 索引（巴西的 CPI 指數(shù)）調(diào)整整個(gè)序列，從訓(xùn)練區(qū)間的結(jié)尾（2016年4月）到研究的開始，數(shù)據(jù)的來源是 IBGE 網(wǎng)站。
現(xiàn)在我們來看序列如何能變平穩(wěn)以及是否變平穩(wěn)。
如圖所示，上升趨勢(shì)已經(jīng)消失，只剩下季節(jié)性振蕩， Dickey-Fuller 測(cè)試也證實(shí)了這個(gè)序列現(xiàn)在是穩(wěn)定的。如果好奇，可以參閱下面的圖表，其中調(diào)整后的價(jià)格與原始系列的通貨膨脹率相對(duì)應(yīng)。
減小方差
對(duì)數(shù)變換
對(duì)數(shù)變換通常用于將指數(shù)增長(zhǎng)的序列轉(zhuǎn)換為具有更趨于線性增長(zhǎng)的序列，在本例中，我們將使用自然對(duì)數(shù)（Natural Logarithm，NL），其底數(shù)為 2.718 ，這種對(duì)數(shù)類型在經(jīng)濟(jì)模型中被廣泛使用。轉(zhuǎn)換成 NL 值的差值近似等于原始序列值的百分比變化，作為降低不同價(jià)格序列的方差的基礎(chǔ)是很有效的，如下例:如果我們有一個(gè)產(chǎn)品在 2000 年價(jià)格上漲，從 50.00 BRL 到 52.50 BRL，幾年后（2019年），價(jià)格已經(jīng)是 100.00 BRL，已經(jīng)上漲到 105.00 BRL，價(jià)格之間的絕對(duì)差分別是 2.50 BRL 和 5.00 BRL，但兩者的百分比差為 5% 。
當(dāng)我們對(duì)這些價(jià)格中使用 NL 時(shí)，我們得到：NL (52.50) - NL(50.00) = 3.96 - 3.912 = 0.048 或 4.8%，同樣地，在第二個(gè)價(jià)格序列中使用 LN 時(shí)，我們得到：NL (105) - NL(100) = 4.654-4.605 = 0.049 或 4.9% 。在這個(gè)例子中，我們可以通過把幾乎所有的東西都放到相同的基上來減少差異值。price1 = np.log(52.5) - np.log(50)
price2 = np.log(105) - np.log(100)
printf('The percentage variation of the first example is {round(price1*100,1)} and the second is {round(price2*100,1)}')
Box-Cox 變換（指數(shù)變換）
Box-Cox 轉(zhuǎn)換也是一種轉(zhuǎn)換序列的方法，lambda（λ）的值是用于轉(zhuǎn)換序列的參數(shù)。簡(jiǎn)而言之，這個(gè)函數(shù)是幾個(gè)指數(shù)變換函數(shù)的結(jié)合，我們需要找到轉(zhuǎn)換序列的 lambda 的最佳值，使其分布更接近正態(tài)高斯分布。使用此轉(zhuǎn)換的一個(gè)條件是序列只有正值，公式為：
接下來我將繪制原始序列及其分布圖，然后用 lambda 最佳值繪制新的轉(zhuǎn)換序列及其分布圖，為了找到 lambda 的值，我們將使用庫(kù) Scipy 的?boxcox?函數(shù)生成轉(zhuǎn)換的序列和理想 lambda 值：
下面是一個(gè)交互式圖表，在圖中可以更改 lambda 值和檢查更改：
此工具通常用于提高模型的性能，因?yàn)樗鼓Ｐ透呌谡龖B(tài)分布，記住在完成模型的預(yù)測(cè)后，必須根據(jù)以下公式反轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換到原始的基數(shù)：
尋找相關(guān)時(shí)滯
為了便于預(yù)測(cè)，具有單一變量的序列必須具有自相關(guān)性，即，當(dāng)前時(shí)段必須是能夠基于較早的時(shí)段（滯后）而解釋的。由于這個(gè)序列每周為一周期，1 年大約 52 周，我將使用 60 的滯后期的自相關(guān)函數(shù)來驗(yàn)證當(dāng)前周期與這些滯后的相關(guān)性。
通過對(duì)上述自相關(guān)圖的分析，似乎所有的滯后都可以用來為未來事件創(chuàng)建預(yù)測(cè)，因?yàn)樗鼈兊恼嚓P(guān)接近 1 ，而且都在置信區(qū)間之外，但這一特征屬于非平穩(wěn)序列。另一個(gè)非常重要的函數(shù)是部分自相關(guān)函數(shù)，其中消除了先前的滯后對(duì)當(dāng)前區(qū)間的影響，只保留了當(dāng)前區(qū)間滯后的影響來分析，例如：第四個(gè)滯后的偏自相關(guān)將消除第一、第二和第三個(gè)滯后的影響。
可以看到，幾乎沒有滯后對(duì)當(dāng)前周期有影響，但是正如前面所演示的，沒有微分的序列不是平穩(wěn)的，我們現(xiàn)在用一階微分的序列繪制這兩個(gè)函數(shù)來展示原理：
自相關(guān)曲線變化顯著，表明該序列僅在第一個(gè)滯后期具有顯著相關(guān)，在第 26 個(gè)滯后(半年)左右具有負(fù)相關(guān)的季節(jié)效應(yīng)。為了做出預(yù)測(cè)，我們必須注意一個(gè)找到相關(guān)的滯后現(xiàn)象的非常重要的細(xì)節(jié)，重要的是這種關(guān)聯(lián)背后的原因，因?yàn)槿绻麤]有邏輯上的原因，就有可能是偶然的，當(dāng)包含更多的數(shù)據(jù)時(shí)，這種關(guān)聯(lián)就會(huì)消失。另一個(gè)重點(diǎn)是自相關(guān)和部分自相關(guān)圖對(duì)異常值非常敏感，因此分析時(shí)間序列本身并與兩個(gè)自相關(guān)圖進(jìn)行對(duì)比非常重要。在這個(gè)例子中，第一個(gè)滯后與當(dāng)前周期具有高度相關(guān)性，因?yàn)榍耙恢艿膬r(jià)格歷史上沒有顯著變化，在相同的情況下，第 26 個(gè)滯后呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，表明與當(dāng)前時(shí)期相反的趨勢(shì)，可能原因是一年內(nèi)不同時(shí)期供需不同。隨著膨脹率調(diào)整后的序列已經(jīng)趨于平穩(wěn)，我們將使用它來創(chuàng)建我們的預(yù)測(cè)，下圖是調(diào)整后序列的自相關(guān)和部分自相關(guān)圖：
我們將只使用前兩個(gè)滯后作為自回歸序列的預(yù)測(cè)因子。想要了解更多信息的話，杜克大學(xué)教授 Robert Nau 的網(wǎng)站是與此主題相關(guān)的最佳網(wǎng)站之一。（http://people.duke.edu/~rnau/411home.htm)
3?
模型評(píng)價(jià)指標(biāo)
為了分析預(yù)測(cè)值是否接近當(dāng)前值，必須對(duì)誤差進(jìn)行測(cè)量，此種情況下的誤差（或殘差）基本上是 Yreal-YpredYreal-Ypred （這個(gè)暫時(shí)不知道怎么翻譯， real 真實(shí)值， pred 預(yù)測(cè)值）。對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的錯(cuò)誤進(jìn)行評(píng)估以驗(yàn)證模型是否具有良好的確定性，然后通過檢查測(cè)試數(shù)據(jù)中的誤差（模型未“看到”的數(shù)據(jù)）來驗(yàn)證模型。當(dāng)將訓(xùn)練數(shù)據(jù)與測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比時(shí)，檢查誤差對(duì)于驗(yàn)證你的模型是否過擬合或欠擬合非常重要。以下是一些用于評(píng)估時(shí)間序列模型的關(guān)鍵指標(biāo)：平均預(yù)測(cè)誤差——偏差（bias）
它只是被評(píng)估序列的平均誤差，值可以是正的也可以是負(fù)的。該指標(biāo)表明，模型傾向于預(yù)測(cè)實(shí)際值以上（負(fù)誤差）還是實(shí)際值以下（正誤差），因此也可以說平均預(yù)測(cè)誤差是模型的偏差。MAE——平均絕對(duì)誤差
這個(gè)指標(biāo)與上面提到的預(yù)測(cè)的平均誤差非常相似，唯一的區(qū)別是將誤差的負(fù)值轉(zhuǎn)化為正值，然后計(jì)算平均值。這個(gè)指標(biāo)在時(shí)間序列中被廣泛使用，因?yàn)樵谝恍┣闆r下，負(fù)誤差可以抵消正誤差，使人誤以為模型是準(zhǔn)確的，而在用 MAE 的情況下不會(huì)發(fā)生，因?yàn)檫@個(gè)指標(biāo)顯示預(yù)測(cè)距離實(shí)際值有多遠(yuǎn)，不管數(shù)值大還是小，示例如下：a = np.array([1,2,3,4,5])
b = np.array([5,4,3,2,1])
error = a - b
MFE = error.mean()
MAE = np.abs(error).mean()
print(f'The error of each model value looks like this: {error}')
print(f'The MFE error was {MFE}, the MAE error was {MAE}')
與 MAE 和 MFE 不同，MSE 值是平方單位，而不是模型單位。RMSE——均方根誤差
這個(gè)指標(biāo)只是 MSE 的平方根，使誤差返回到模型的度量單位（BRL/m3），因?yàn)樗鼘?duì)時(shí)間序列在平方過程中產(chǎn)生的較大誤差更為敏感而非常有用。MAPE——平均絕對(duì)百分誤差
這是另一個(gè)可用的有趣的指標(biāo)，它通常在管理報(bào)告中使用，因?yàn)檎`差是以百分比度量的，所以產(chǎn)品 X 的錯(cuò)誤可以與產(chǎn)品 Y 的誤差進(jìn)行比較。該指標(biāo)的計(jì)算取誤差的絕對(duì)值除以當(dāng)前價(jià)格，然后計(jì)算平均值：
我們來創(chuàng)建一個(gè)函數(shù)，用幾個(gè)評(píng)估指標(biāo)來評(píng)估訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)的誤差:#Libraries to create the function:
from math import sqrt
from sklearn.metrics import mean_squared_error,mean_absolute_error, mean_absolute_error
def check_error(orig, pred, name_col='', index_name=''):
bias = np.mean(orig - pred)
mse = mean_squared_error(orig, pred)
rmse = sqrt(mean_squared_error(orig, pred))
mae = mean_absolute_error(orig, pred)
mape = np.mean(np.abs((orig - pred) / orig)) * 100
error_group = [bias, mse, rmse, mae, mape]
serie = pd.DataFrame(error_group, index=['BIAS','MSE','RMSE','MAE', 'MAPE'], columns=[name_col])
serie.index.name = index_name
return serie
殘差與預(yù)測(cè)值（散點(diǎn)圖）：分析這個(gè)圖是非常重要的，因?yàn)樵谶@個(gè)圖中我們可以檢查模式，它可以告訴我們是否需要對(duì)模型進(jìn)行一些修改，理想的情況是誤差沿著預(yù)測(cè)序列線性分布。https://en.wikipedia.org/wiki/Q–Q_plot總的來說這是一個(gè)顯示了殘差在理論上應(yīng)該如何分布的圖形，遵循高斯分布，而不是實(shí)際情況。如果沒有置信區(qū)間的值，或者說模型不包含信息。我們需要?jiǎng)?chuàng)建另一個(gè)函數(shù)來繪制這些圖：def plot_error(data, figsize=(18,8)):
# Creating the column error
data['Error'] = data.iloc[:,0] -data.iloc[:,1]
plt.figure(figsize=figsize)
ax1 = plt.subplot2grid((2,2), (0,0))
ax2 = plt.subplot2grid((2,2), (0,1))
ax3 = plt.subplot2grid((2,2), (1,0))
ax4 = plt.subplot2grid((2,2), (1,1))
#Plotting actual and predicted values
ax1.plot(data.iloc[:,0:2])
ax1.legend(['Real','Pred'])
ax1.set_title('Real Value vs Prediction')
# Error vs Predicted value
ax2.scatter(data.iloc[:,1], data.iloc[:,2])
ax2.set_xlabel('Predicted Values')
ax2.set_ylabel('Residual')
ax2.set_title('Residual vs Predicted Values')
## Residual QQ Plot
sm.graphics.qqplot(data.iloc[:,2], line='r', ax=ax3)
# Autocorrelation Plot of residual
plot_acf(data.iloc[:,2], lags=60, zero=False, ax=ax4)
plt.tight_layout()
plt.show()
與實(shí)際值相比，誤差往往會(huì)增加。許多人還使用這種方法作為?基線（baseline），試圖用更復(fù)雜的模型來改進(jìn)。下面我們將使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)來進(jìn)行模擬：
QQ 圖顯示了有一些比理論上要大些（包括正負(fù)值）的殘差，這些是所謂的異常值，但在第一，第六和第七個(gè)滯后中仍然存在明顯的自相關(guān)，這可以用于改進(jìn)模型。同樣地，我們現(xiàn)在將在測(cè)試數(shù)據(jù)中進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)序列的第一個(gè)值將是訓(xùn)練數(shù)據(jù)的最后一個(gè)值，然后這些值將按照測(cè)試的當(dāng)前值逐步更新，依此類推：
RMSE 和 MAE 的誤差與訓(xùn)練數(shù)據(jù)相似，QQ 圖與殘差更符合理論值，可能是由于與訓(xùn)練數(shù)據(jù)相比樣本值較少。在對(duì)比殘差與預(yù)測(cè)值的圖表中，我們注意到當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)，誤差絕對(duì)值有增加的趨勢(shì)，可能用對(duì)數(shù)調(diào)整會(huì)減少誤差的擴(kuò)大并完成殘差相關(guān)圖，表明由于第一個(gè)滯后有很強(qiáng)的相關(guān)性，因此仍有改進(jìn)的空間，可能添加基于第一個(gè)滯后的回歸來改進(jìn)預(yù)測(cè)。下一個(gè)模型是簡(jiǎn)單平均值：簡(jiǎn)單平均
另一種預(yù)測(cè)方法是使用序列平均值，通常當(dāng)數(shù)值在平均值附近振蕩時(shí)，具有常數(shù)的方差，沒有上升或下降趨勢(shì)時(shí)，這種預(yù)測(cè)形式是好的，但是也能使用更好的方法，其中可以使用季節(jié)模式進(jìn)行預(yù)測(cè)。此模型使用數(shù)據(jù)首端直到分析的前一個(gè)時(shí)期的平均值，并且按天擴(kuò)展到數(shù)據(jù)結(jié)束，最后，趨勢(shì)是一條直線，我們現(xiàn)在將此模型與第一個(gè)模型的誤差進(jìn)行比較：
在測(cè)試數(shù)據(jù)中，我將繼續(xù)使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)一開始的均值，并展開添加到測(cè)試數(shù)據(jù)上：
簡(jiǎn)單均值模型無法捕獲序列的相關(guān)信息，如真實(shí)值和預(yù)測(cè)值圖中所示，也可以在相關(guān)性和殘差和預(yù)測(cè)圖中看到。簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均：
滑動(dòng)平均是針對(duì)給定周期（例如 5 天）計(jì)算的平均值，它是滑動(dòng)的并始終使用此特定時(shí)段進(jìn)行計(jì)算，在這種情況下，我們將始終使用過去 5 天的平均值來預(yù)測(cè)下一天的值。
誤差低于簡(jiǎn)單平均，但仍高于簡(jiǎn)單模型，以下是測(cè)試模型:
與訓(xùn)練數(shù)據(jù)相似，滑動(dòng)平均模型優(yōu)于簡(jiǎn)單平均模型，但尚未比簡(jiǎn)單模型基礎(chǔ)有所增益。預(yù)測(cè)具有 2 個(gè)時(shí)滯的自相關(guān)性，并且相對(duì)于預(yù)測(cè)值有很大的方差誤差。指數(shù)滑動(dòng)平均:
上述簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均模型具有同等地處理最后 X 個(gè)觀測(cè)值并完全忽略所有先前觀測(cè)值的特性。直觀地說，過去的數(shù)據(jù)應(yīng)該逐漸打折，例如，理論上最近的觀測(cè)結(jié)果應(yīng)該比第二近的更重要，而第二近的觀測(cè)應(yīng)該比第三近的數(shù)據(jù)更重要，等等， 指數(shù)滑動(dòng)平均（Exponential Moving Average，EMM）模型就是這樣做的。由于?α（alpha）是一個(gè)常數(shù)，其值介于 0 和 1 之間，因此我們將使用以下公式計(jì)算預(yù)測(cè)值：
如果預(yù)測(cè)的第一個(gè)值是相應(yīng)的當(dāng)前值，其他值將更新為實(shí)際值與前一個(gè)時(shí)段的預(yù)測(cè)之差的 α 倍。當(dāng)α為零時(shí)，我們根據(jù)第一個(gè)預(yù)測(cè)值得到一個(gè)常數(shù)，當(dāng) α 為 1 時(shí)，我們有一個(gè)簡(jiǎn)單方法的模型，因?yàn)榻Y(jié)果是前一個(gè)實(shí)際周期的值。
EMM 預(yù)測(cè)中的平均數(shù)據(jù)周期為 1 /α。例如，當(dāng) α= 0.5 時(shí)，滯后相當(dāng)于 2 個(gè)周期; 當(dāng) α= 0.2 時(shí)，滯后是 5 個(gè)周期; 當(dāng) α= 0.1 時(shí)，滯后是 10 個(gè)周期，依此類推。在這個(gè)模型中，我們將任意選用 α 值為 0.5 ，而你可以通過網(wǎng)格搜索算法查找在訓(xùn)練集和驗(yàn)證集中都中減少了錯(cuò)誤的 α，數(shù)據(jù)大概應(yīng)是這樣：
這個(gè)模型的誤差與滑動(dòng)平均的誤差相似，但是我們需要在測(cè)試集對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證：
在驗(yàn)證數(shù)據(jù)中，目前為止的誤差在我們已經(jīng)訓(xùn)練過的模型中排名第二，而殘差圖的特征與 5 天滑動(dòng)平均模型的特征非常相似。自回歸
自回歸模型基本上是一個(gè)具有顯著相關(guān)滯后的線性回歸，首先要繪制自相關(guān)圖和部分自相關(guān)圖來驗(yàn)證是否存在相關(guān)關(guān)系。下面是訓(xùn)練序列的自相關(guān)圖和部分自相關(guān)圖，顯示了自回歸模型的特征為具有 2 個(gè)時(shí)滯的顯著相關(guān)性:
接下來我們將根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)創(chuàng)建模型，得到模型的系數(shù)后，將其乘以測(cè)試數(shù)據(jù)將要執(zhí)行的值:
這個(gè)模型與我們所訓(xùn)練的其他模型相比，誤差最小，現(xiàn)在我們用它的系數(shù)對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行逐步預(yù)測(cè):
注意，在測(cè)試數(shù)據(jù)中，誤差不會(huì)保持穩(wěn)定，甚至?xí)群?jiǎn)單模型更差，可以看到圖中的預(yù)測(cè)值幾乎總是低于當(dāng)前值，偏差測(cè)量顯示實(shí)際值比預(yù)測(cè)值高 50.19 BRL， 也許在訓(xùn)練模型中調(diào)整一些參數(shù)，這種差異會(huì)減小。要改進(jìn)這些模型，你可以應(yīng)用多個(gè)轉(zhuǎn)換，例如本文中介紹的轉(zhuǎn)換，也可以添加外部變量作為預(yù)測(cè)源，但是，這已然超出本文內(nèi)容了。
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結(jié)束語
每個(gè)時(shí)間序列模型都有自己的特點(diǎn)，應(yīng)該分別單獨(dú)分析，這樣我們就可以提取盡可能多的信息來做出好的預(yù)測(cè)，減少未來的不確定性。檢驗(yàn)平穩(wěn)度、轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)、在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中建立模型、驗(yàn)證測(cè)試數(shù)據(jù)、檢驗(yàn)殘差是建立良好時(shí)間序列預(yù)測(cè)的關(guān)鍵步驟。也可以看看本文原作者的有關(guān)ARIMA模型的文章。https://www.kaggle.com/leandrovrabelo/climate-change-forecast-sarima-model
原文來源：https://towardsdatascience.com/basic-principles-to-create-a-time-series-forecast-6ae002d177a4
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李潔，北京師范大學(xué)香港浸會(huì)大學(xué)聯(lián)合學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)系助教，香港科技大學(xué)電信學(xué)碩士。
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