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前言

最小二乘法也稱最小平方法，是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。

感謝各友的鼓勵與支持??????，往期文章都在最后梳理出來了(●'?'●)

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線性函數(shù)模型

典型的一類函數(shù)模型是線性函數(shù)模型。最簡單的線性式是y=b0x+b1寫成矩陣形式為：

直接給出該式的參數(shù)解：

其中：

為x的算術(shù)平均值，也可解得如下形式：

最小二乘法原理

假設(shè)結(jié)果y與m個(gè)因素x[i]有關(guān)，且為線性關(guān)系，即：

y?=?k[0]?+?k[1]?*?x[1]?+?k[2]?*?x[2]?+?...?+?k[m]?*?x[m]

經(jīng)過測量，現(xiàn)有n組數(shù)據(jù)(n >= m)，求合適的k[i]，使得上述表達(dá)式與測量結(jié)果盡可能的相符。

最小二乘法的做法很簡單，讓所有殘差的平方和最小即可，設(shè)p[i]表示第i組測試數(shù)據(jù)，把k[i]看成未知數(shù)，最小化f：

f?=?(p[1]?-?y[1])?^?2?+?(p[2]?-?y[2])?^?2?+?...?+?(p[n]?-?y[n])?^?2

實(shí)例分析

這里舉個(gè)簡單例子說明最小二乘法的過程。現(xiàn)要用錢去買游戲幣，售幣處貼出公示如下：

10元 —— 11個(gè)游戲幣20元?——?23個(gè)游戲幣50元?——?58個(gè)游戲幣100元?——?123個(gè)游戲幣

顯然，付的錢數(shù)與得到的游戲幣存在某種線性關(guān)系，設(shè)有：y = ax + b，代入以上數(shù)據(jù)得：

 10a + b = 11 20a + b = 23 50a + b = 58100a + b = 123

構(gòu)造殘差函數(shù)

f = (10a + b - 11) ^ 2 + (20a + b - 23) ^ 2 + (50a + b - 58) ^ 2 + (100a + b - 123) ^ 2

分別對a, b求偏導(dǎo)，并令其等于0，才能使f取得最值。

20(10a + b - 11) + 40(20a + b - 23) + 100(50a + b - 58) + 200(100a + b - 123) = 0?2(10a?+?b?-?11)?+??2(20a?+?b?-?23)?+???2(50a?+?b?-?58)?+???2(100a?+?b?-?123)?=?0

解出結(jié)果：a = 1.2439, b = -2.2245，從而關(guān)系式為：y = 1.2439x - 2.2245。

有了該表達(dá)式，現(xiàn)在可以對未知點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測了，例如80塊錢，大約可以買97個(gè)游戲幣，而125元錢大約可以買153個(gè)。

python實(shí)現(xiàn)

import numpy as npfrom scipy.optimize import leastsq
def func(p, x):    k, b = p    return k * x + b
def error(p, x, y):    return func(p, x) - y
X = np.array([10, 20, 50, 100])Y = np.array([11, 23, 58, 123])P = (0, 0)
ret = leastsq(error, P, args=(X, Y))
k, b = ret[0]print(k, b)

運(yùn)行結(jié)果：

解出k=1.24388, b=-2.2245，與上面手算的一致。可以通過pyplot將數(shù)據(jù)以圖的形式直觀的展現(xiàn)出來。

import numpy as npfrom scipy.optimize import leastsqimport matplotlib.pyplot as plt
def func(p, x):    k, b = p    return k * x + b
def error(p, x, y):    return func(p, x) - y
X = np.array([10, 20, 50, 100])Y = np.array([11, 23, 58, 123])P = (0, 0)
ret = leastsq(error, P, args=(X, Y))
k, b = ret[0]print(k, b)

plt.figure()plt.scatter(X, Y, color='red')x = np.linspace(0, 200, 200)y = k * x + bplt.plot(x, y)plt.show()

運(yùn)行結(jié)果：

matlab實(shí)現(xiàn)例子

在matlab中，有現(xiàn)成的曲線擬合函數(shù)polyfit，其也是基于最小二乘原理實(shí)現(xiàn)的，具體用法為：

ans=polyfit(x,y,n). 其中x,y為待擬合點(diǎn)的坐標(biāo)向量，n為多項(xiàng)式的階數(shù)。

下面代碼是用polyfit函數(shù)來做曲線擬合：

clearclcx=[2,4,5,6,6.8,7.5,9,12,13.3,15];[~,k]=size(x);y=[-10,-6.9,-4.2,-2,0,2.1,3,5.2,6.4,4.5];for n=1:9    ANSS=polyfit(x,y,n);  %用polyfit擬合曲線    for i=1:n+1           %answer矩陣存儲每次求得的方程系數(shù)，按列存儲       answer(i,n)=ANSS(i);   end    x0=0:0.01:17;    y0=ANSS(1)*x0.^n    ; %根據(jù)求得的系數(shù)初始化并構(gòu)造多項(xiàng)式方程    for num=2:1:n+1             y0=y0+ANSS(num)*x0.^(n+1-num);    end    subplot(3,3,n)    plot(x,y,'*')    hold on    plot(x0,y0)endsuptitle('不同次數(shù)方程曲線擬合結(jié)果，從1到9階')

在分析時(shí)間與溫度關(guān)系時(shí)，也會用到最小二乘法對其進(jìn)行擬合。具體事例如下：

例如：對某日隔兩小時(shí)測一次氣溫。設(shè)時(shí)間為ti,氣溫為Ci，i = 0，2 ，4，…，24。數(shù)據(jù)如下：

                表2 溫度(Ci)隨時(shí)間(ti)變化關(guān)系-----------------------------------------------------------ti      0  2   4  6   8  10  12  14  16  18  20  22  24-----------------------------------------------------------ci      15  14  14  16  20  23  28  27  26  25  22  18  16-----------------------------------------------------------

x = [0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24]y = [15 14 14 16 20 23 26 27 26 25 22 18 16]plot(x,y,'o')grid onhold on
% 三階擬合  得到的 p = -0.0061    0.1474   -0.0246   13.7390是個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)% 即擬合的曲線y = -0.0061*x3 + 0.1474*x2 - 0.0246*x + 13.7390 （其中x3表示x的3次方，x2同理）p = polyfit(x,y,3)x1 = 0:0.01:24y1 = polyval(p,x1)plot(x1,y1,'r')axis([0 24 12 28])  % axis坐標(biāo)軸范圍設(shè)置xlabel('溫度（度）');ylabel('時(shí)間（點(diǎn)）');title('溫度變化圖','position',?[18,10])??