如何檢測兩組數(shù)據(jù)是否同分布？

一個(gè)模型中，很重要的技巧就是要確定訓(xùn)練集與測試集特征是否同分布，這也是機(jī)器學(xué)習(xí)的一個(gè)很重要的假設(shè)，但很多時(shí)候我們默認(rèn)這個(gè)道理，卻很難有方法來保證數(shù)據(jù)同分布。

T檢驗(yàn)（Binary）

T檢驗(yàn)是一種適合小樣本的統(tǒng)計(jì)分析方法，通過比較不同數(shù)據(jù)的均值，研究兩組數(shù)據(jù)是否存在差異。

我們參考《python科學(xué)計(jì)算第二版》：

https://link.zhihu.com/?target=https%3A//mp.weixin.qq.com/s/sv5QipNA6QPWgDC3R8DuAQ

單樣本t檢驗(yàn)

單樣本t檢驗(yàn)是樣本均值與總體均值的比較問題。其中總體服從正態(tài)分布，從正態(tài)總體中抽樣得到n個(gè)個(gè)體組成抽樣樣本，計(jì)算抽樣樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差，判斷總體均值與抽樣樣本均值是否相同。

from scipy.stats import ttest_1samp
import numpy as np

print("Null Hypothesis:μ=μ0=30，α=0.05")
ages = [25,36,15,40,28,31,32,30,29,28,27,33,35]
t = (np.mean(ages)-30)/(np.std(ages,ddof=1)/np.sqrt(len(ages)))

ttest,pval = ttest_1samp(ages,30)
print(t,ttest)
if pval < 0.05:
	print("Reject the Null Hypothesis.")
else:
	print("Accept the Null Hypothesis.")

配對樣本t檢驗(yàn)

配對樣本主要是同一實(shí)驗(yàn)前后效果的比較，或者同一樣品用兩種方法檢驗(yàn)結(jié)果的比較?？梢园雅鋵颖镜牟钭鳛樽兞?，差值的總體均數(shù)為0，服從正態(tài)分布。

from scipy.stats import ttest_rel
s1 = [620.16,866.50,641.22,812.91,738.96,899.38,760.78,694.95,749.92,793.94]
s2 = [958.47,838.42,788.90,815.20,783.17,910.92,758.49,870.80,826.26,805.48]
print("Null Hypothesis:mean(s1)=mean(s2)，α=0.05")
ttest,pval = ttest_rel(s1,s2)
if pval < 0.05:
	print("Reject the Null Hypothesis.")
else:
	print("Accept the Null Hypothesis.")

獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)

對于第三個(gè)問題獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，比較兩個(gè)樣本所代表的兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異。除了要求樣本來自正態(tài)分布，還要求兩個(gè)樣本的總體方差相等“方差齊性”。

from scipy.stats import ttest_ind,norm,f
import numpy as np
def ftest(s1,s2):
	'''F檢驗(yàn)樣本總體方差是否相等'''
	print("Null Hypothesis:var(s1)=var(s2)，α=0.05")
	F = np.var(s1)/np.var(s2)
	v1 = len(s1) - 1
	v2 = len(s2) - 1
	p_val = 1 - 2*abs(0.5-f.cdf(F,v1,v2))
	print(p_val)
	if p_val < 0.05:
		print("Reject the Null Hypothesis.")
		equal_var=False
	else:
		print("Accept the Null Hypothesis.")
	 	equal_var=True
	return equal_var
	 	
def ttest_ind_fun(s1,s2):
	'''t檢驗(yàn)獨(dú)立樣本所代表的兩個(gè)總體均值是否存在差異'''
	equal_var = ftest(s1,s2)
	print("Null Hypothesis:mean(s1)=mean(s2)，α=0.05")
	ttest,pval = ttest_ind(s1,s2,equal_var=equal_var)
	if pval < 0.05:
		print("Reject the Null Hypothesis.")
	else:
		print("Accept the Null Hypothesis.")
	return pval

np.random.seed(42)
s1 = norm.rvs(loc=1,scale=1.0,size=20)
s2 = norm.rvs(loc=1.5,scale=0.5,size=20)
s3 = norm.rvs(loc=1.5,scale=0.5,size=25)

ttest_ind_fun(s1,s2)
ttest_ind_fun(s2,s3)

KS檢驗(yàn)（Numerical）

KS檢驗(yàn)是一種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，其通過比較兩樣本的頻率分布、或者一個(gè)樣本的頻率分布與特定理論分布（如正態(tài)分布）之間的差異大小來推論兩個(gè)分布是否來自同一分布。

KS檢驗(yàn)與t-檢驗(yàn)之類的其他方法不同是KS檢驗(yàn)不需要知道數(shù)據(jù)的分布情況，可以算是一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法。當(dāng)然這樣方便的代價(jià)就是當(dāng)檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)分布符合特定的分布事，KS檢驗(yàn)的靈敏度沒有相應(yīng)的檢驗(yàn)來的高。在樣本量比較小的時(shí)候，KS檢驗(yàn)最為非參數(shù)檢驗(yàn)在分析兩組數(shù)據(jù)之間是否不同時(shí)相當(dāng)常用。

PS：t-檢驗(yàn)的假設(shè)是檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布，否則對于小樣本不滿足正態(tài)分布的數(shù)據(jù)用t-檢驗(yàn)就會(huì)造成較大的偏差，雖然對于大樣本不滿足正態(tài)分布的數(shù)據(jù)而言t-檢驗(yàn)還是相當(dāng)精確有效的手段。

判斷是否符合正態(tài)分布

KS函數(shù)說明文檔：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.kstest.html

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

data = [87,77,92,68,80,78,84,77,81,80,80,77,92,86,
       76,80,81,75,77,72,81,72,84,86,80,68,77,87,
       76,77,78,92,75,80,78]
# 樣本數(shù)據(jù)，35位健康男性在未進(jìn)食之前的血糖濃度

df = pd.DataFrame(data, columns =['value'])
e = df['value'].mean()  # 計(jì)算均值
std = df['value'].std()  # 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差
stats.kstest(df['value'], 'norm', (e, std))
# .kstest方法：KS檢驗(yàn)，參數(shù)分別是：待檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)方法（這里設(shè)置成norm正態(tài)分布），均值與標(biāo)準(zhǔn)差
# 結(jié)果返回兩個(gè)值：statistic → D值，pvalue → P值
# p值大于0.05，為正態(tài)分布

#KstestResult(statistic=0.1590180704824098, pvalue=0.3066297258358026)
# p值大于0.05，不拒絕原假設(shè)，因此上面的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。
#且一般情況下， stats.kstest(df[‘value’], ‘norm’, (u, std))一條語句就得到p值的結(jié)果。

#from scipy import stats
#stats.kstest(rvs, cdf, args=(),…)
#其中rvs可以是數(shù)組、生成數(shù)組的函數(shù)或者scipy.stats里面理論分布的名字
#cdf可以與rvs一致。若rvs和cdf同是數(shù)組，則是比較兩數(shù)組的分布是否一致；一個(gè)是數(shù)組，另一個(gè)是理論分布的名字，則是看樣本是否否和理論分布
#args是一個(gè)元組，當(dāng)rvs或者cds是理論分布時(shí)，這個(gè)參數(shù)用來存儲(chǔ)理論分布的參數(shù)，如正態(tài)分布的mean和std。

KL Divergence

KL 散度是一種衡量兩個(gè)概率分布的匹配程度的指標(biāo)，兩個(gè)分布差異越大，KL散度越大。注意如果要查看測試集特征是否與訓(xùn)練集相同，P代表訓(xùn)練集，Q代表測試集，這個(gè)公式對于P和Q并不是對稱的。

計(jì)算公式為:

對于離散分布 

對于連續(xù)分布

import numpy as np
import scipy.stats

# 隨機(jī)生成兩個(gè)離散型分布
x = [np.random.randint(1, 11) for i in range(10)]
print(x)
print(np.sum(x))
px = x / np.sum(x)
print(px)
y = [np.random.randint(1, 11) for i in range(10)]
print(y)
print(np.sum(y))
py = y / np.sum(y)
print(py)

# 利用scipy API進(jìn)行計(jì)算
# scipy計(jì)算函數(shù)可以處理非歸一化情況，因此這里使用
# scipy.stats.entropy(x, y)或scipy.stats.entropy(px, py)均可
KL = scipy.stats.entropy(x, y) 
print(KL)

# 實(shí)現(xiàn)
KL = 0.0
for i in range(10):
    KL += px[i] * np.log(px[i] / py[i])
    # print(str(px[i]) + ' ' + str(py[i]) + ' ' + str(px[i] * np.log(px[i] / py[i])))

print(KL)

機(jī)器學(xué)習(xí)模型檢測

用特征訓(xùn)練模型來分辨測試集與測試集，若模型效果好的話代表訓(xùn)練集和測試集存在較大差異，否則代表訓(xùn)練集和測試集分布比較相似。

具體做法是構(gòu)建一個(gè)二分類模型，對訓(xùn)練集打上0，測試集打上1，然后shuffle一下進(jìn)行訓(xùn)練，若分類效果好，代表訓(xùn)練集和測試集區(qū)分度很高，那么分布差異就較大。