二叉樹

滿足以下兩個條件的樹就是二叉樹：

• 本身是有序樹（若將樹中每個結(jié)點(diǎn)的各子樹看成是從左到右有次序的(即不能互換），則稱該樹為有序樹(Ordered Tree)）。
• 樹中包含的各個節(jié)點(diǎn)的度不能超過 2，即只能是 0、1 或者 2。

簡單地理解，二叉樹（Binary tree）是每個節(jié)點(diǎn)最多只有兩個分支（即不存在分支度大于 2 的節(jié)點(diǎn)）的樹結(jié)構(gòu)。通常分支被稱作“左子樹”或“右子樹”。

二叉查找樹

要了解紅黑樹之前，免不了先看下二叉查找樹是什么。

維基百科上的定義：二叉查找樹（英語：Binary Search Tree），也稱為二叉搜索樹、有序二叉樹（ordered binary tree）或排序二叉樹（sorted binary tree），是指一棵空樹或者具有下列性質(zhì)的二叉樹。

若任意節(jié)點(diǎn)的左子樹不空，則左子樹上所有節(jié)點(diǎn)的值均小于它的根節(jié)點(diǎn)的值；若任意節(jié)點(diǎn)的右子樹不空，則右子樹上所有節(jié)點(diǎn)的值均大于或等于它的根節(jié)點(diǎn)的值；任意節(jié)點(diǎn)的左、右子樹也分別為二叉查找樹。

圖示理解：

上圖為查找值為29的節(jié)點(diǎn)，有以下步驟：

• 查看根節(jié)點(diǎn) 41。
• 因?yàn)?41>29，所以查看 41 的左孩子 20。
• 因?yàn)?20<29，所以查看 20 的右孩子 29，發(fā)現(xiàn)其正好是要查看的節(jié)點(diǎn)。

退化

二叉查找樹有個非常嚴(yán)重的問題，如果數(shù)據(jù)的插入是從大到小插入的，或者是從小到大插入的話，會導(dǎo)致二叉查找樹退化成單鏈表的形式，俗稱瘸子。

**左瘸子：**例如，插入數(shù)據(jù)依次為 {5,4,3,2,1}（從大到?。?，則如下圖所示：

**右瘸子：**例如，插入數(shù)據(jù)依次為{1,2,3,4,5}（從小到大），則如下圖所示：

為了解決該問題，出現(xiàn)了一些解決方法，即平衡，能夠使得樹趨向平衡，這種自平衡的樹叫做平衡樹。

平衡樹

平衡樹（Balance Tree，BT）指的是，任意節(jié)點(diǎn)的子樹的高度差都小于等于 1。

常見的符合平衡樹的有 AVL 樹（二叉平衡搜索樹），B 樹（多路平衡搜索樹，2-3 樹，2-3-4 樹中的一種），紅黑樹等。

AVL 樹

AVL 樹（由發(fā)明者 Adelson-Velsky 和 Landis 的首字母縮寫命名），是指任意節(jié)點(diǎn)的兩個子樹的高度差不超過 1 的平衡樹。又稱自平衡二叉搜索樹。

AVL 樹能解決上文二叉查找樹中的右瘸子問題，例如，插入數(shù)據(jù)依次為 {1,2,3,4,5}（從小到大），則如下圖所示：

AVL 樹會對不符合高度差的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，從而使得二叉樹趨向平衡

2-3 樹

2-3 樹，是指每個具有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)（內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，internal node）要么有兩個子節(jié)點(diǎn)和一個數(shù)據(jù)元素，要么有三個子節(jié)點(diǎn)和兩個數(shù)據(jù)元素的自平衡的樹，它的所有葉子節(jié)點(diǎn)都具有相同的高度。

簡單點(diǎn)講，2-3 樹的非葉子節(jié)點(diǎn)都具有兩個分叉或者三個分叉，所以，稱作 2 叉-3 叉樹更容易理解。

另外一種說法，具有兩個子節(jié)點(diǎn)和一個數(shù)據(jù)元素的節(jié)點(diǎn)又稱作 2 節(jié)點(diǎn)，具有三個子節(jié)點(diǎn)和兩個數(shù)據(jù)元素的節(jié)點(diǎn)又稱作 3 節(jié)點(diǎn)，所以，整顆樹叫做 2-3 樹。

所有葉子點(diǎn)都在樹的同一層，一樣高：

• 性質(zhì) 1：滿足二叉搜索樹的性質(zhì)。
• 性質(zhì) 2：節(jié)點(diǎn)可以存放一個或兩個元素。
• 性質(zhì) 3：每個節(jié)點(diǎn)有兩個或三個子節(jié)點(diǎn)。

創(chuàng)建 2-3 樹的規(guī)則

插入操作如下：

向 2-節(jié)點(diǎn)中插入元素：

向一顆只含有一個 3-節(jié)點(diǎn)的樹中插入元素：

2-3-4 樹

含義如下：

• **2 節(jié)點(diǎn)：**包含兩個子節(jié)點(diǎn)和一個數(shù)據(jù)元素。
• **3 節(jié)點(diǎn)：**包含三個子節(jié)點(diǎn)和一個數(shù)據(jù)元素。
• **4 節(jié)點(diǎn)：**包含四個子節(jié)點(diǎn)和一個數(shù)據(jù)元素。

2-3-4 樹，它的每個非葉子節(jié)點(diǎn)，要么是 2 節(jié)點(diǎn)，要么是 3 節(jié)點(diǎn)，要么是 4 節(jié)點(diǎn)，且可以自平衡，所以稱作 2-3-4 樹。

規(guī)則如下：

• **規(guī)則 1：**加入新節(jié)點(diǎn)時，不會往空的位置添加節(jié)點(diǎn)，而是添加到最后一個葉子節(jié)點(diǎn)上。
• **規(guī)則 2：**四節(jié)點(diǎn)可以被分解三個 2-節(jié)點(diǎn)組成的樹，并且分解后新樹的根節(jié)點(diǎn)需要向上和父節(jié)點(diǎn)融合。

插入操作

原本的 2-3-4 樹，如下圖：

對于上圖的 2-3-4 樹，插入一個節(jié)點(diǎn) 17，由于規(guī)則 1，節(jié)點(diǎn) 17 不會加入節(jié)點(diǎn) [16,18,20] 的子樹，而是與該節(jié)點(diǎn)融合。

由于規(guī)則 2，節(jié)點(diǎn) [16,17,18,20] 是一個 4 節(jié)點(diǎn)，將該節(jié)點(diǎn)進(jìn)行拆解成新的樹，將 18 作為子樹的根節(jié)點(diǎn)進(jìn)行拆分。

此時樹暫時失去了平衡，我們需要將拆分后的子樹的根節(jié)點(diǎn)向上進(jìn)行融合。

同理可得，由于規(guī)則 2，節(jié)點(diǎn) [6,10,14,18] 是一個 4 節(jié)點(diǎn)，將該節(jié)點(diǎn)進(jìn)行拆解成新的樹，將 14 作為子樹的根節(jié)點(diǎn)進(jìn)行拆分，完成了 2-3-4 樹的構(gòu)建。

總結(jié)了下插入節(jié)點(diǎn)的過程，無非也就為了符合兩條規(guī)則，那么，2-3 樹，2-3-4 樹都有了，那是不是也有 2-3-4-5 樹，2-3-4-5--...-n 樹的存在呢？

事實(shí)上是有的，世人把這一類樹稱為一個名字：B 樹。

B 樹

B 樹，表示的是一類樹，它允許一個節(jié)點(diǎn)可以有多于兩個子節(jié)點(diǎn)，同時，也是自平衡的，葉子節(jié)點(diǎn)的高度都是相同的。

所以，為了更好地區(qū)分一顆 B 樹到底屬于哪一類樹，我們給它一個新的屬性：度（Degree）：一個節(jié)點(diǎn)能有多少箭頭指向其他節(jié)點(diǎn)。

具有度為 3 的 B 樹，表示一個節(jié)點(diǎn)最多有三個子節(jié)點(diǎn)，也就是 2-3 樹的定義。具有度為 4 的 B 樹，表示一個節(jié)點(diǎn)最多有四個子節(jié)點(diǎn)，也就是 2-3-4 樹的定義。

圖為 4 的 B 樹的示例圖：

紅黑樹

R-B Tree，全稱是 Red-Black Tree，又稱為“紅黑樹”，它一種特殊的二叉查找樹。

紅黑樹的每個節(jié)點(diǎn)上都有存儲位表示節(jié)點(diǎn)的顏色，可以是紅（Red）或黑（Black）。

如何理解紅黑樹

一個經(jīng)典的紅黑樹，如下圖所示（省略了葉子節(jié)點(diǎn)都是黑色的 NIL 節(jié)點(diǎn)）：

如第二張圖所示，將該紅黑樹與上文講到的 2-3-4 樹對比，是否發(fā)現(xiàn)，紅黑樹就是一個 2-3-4 樹：

• 每個節(jié)點(diǎn)或者是黑色，或者是紅色。

• 根節(jié)點(diǎn)是黑色。

• 每個葉子節(jié)點(diǎn)（NIL）是黑色。注意：這里葉子節(jié)點(diǎn)，是指為空（NIL 或NULL）的葉子節(jié)點(diǎn)！

• 如果一個節(jié)點(diǎn)是紅色的，則它的子節(jié)點(diǎn)必須是黑色的。由于紅黑樹的每個節(jié)點(diǎn)都是由 2-3-4 樹轉(zhuǎn)化而來的，從而紅色節(jié)點(diǎn)不能連續(xù)兩個出現(xiàn)，不然會出現(xiàn) 4 節(jié)點(diǎn)的情況，導(dǎo)致違反了規(guī)則 2。

  而且紅黑樹的每一個黑節(jié)點(diǎn)都是 3 節(jié)點(diǎn)中的最中間的那個值，或者是 2 節(jié)點(diǎn)中其中一個值。

• 從一個節(jié)點(diǎn)到該節(jié)點(diǎn)的子孫節(jié)點(diǎn)的所有路徑上包含相同數(shù)目的黑節(jié)點(diǎn)。

**原因：**紅黑樹這些黑色節(jié)點(diǎn)在 2-3-4 樹中代表的是由 1 節(jié)點(diǎn)的一個 2-3-4 樹，而 2-3-4 樹是同一個子樹的深度是相同的，平衡的，所以從一個節(jié)點(diǎn)到該節(jié)點(diǎn)的子孫節(jié)點(diǎn)的所有路徑上包含相同數(shù)目的黑節(jié)點(diǎn)。

如下圖所示，藍(lán)色代表是黑色節(jié)點(diǎn)：

注意如下幾點(diǎn)：

• 特性（3）中的葉子節(jié)點(diǎn)，是只為空（NIL 或 null）的節(jié)點(diǎn)。
• 特性（5），確保沒有一條路徑會比其他路徑長出倆倍。因而，紅黑樹是相對是接近平衡的二叉樹。
• 紅黑樹雖然本質(zhì)上是一棵二叉查找樹，但它在二叉查找樹的基礎(chǔ)上增加了著色和相關(guān)的性質(zhì)使得紅黑樹相對平衡，從而保證了紅黑樹的查找、插入、刪除的時間復(fù)雜度最壞為 O(log n)。

由上面的例子所示，我們只要把紅黑樹當(dāng)做是 2-3-4 樹來處理，并且對應(yīng)的顏色進(jìn)行改變或者進(jìn)行左旋右旋的操作，即可達(dá)到使得紅黑樹平衡的目標(biāo)。

如何保持紅黑樹的結(jié)構(gòu)

當(dāng)我們插入一個新的節(jié)點(diǎn)的時候，如何保證紅黑樹的結(jié)構(gòu)依然能夠符合上面的五個特性呢？

樹的旋轉(zhuǎn)分為左旋和右旋，下面借助圖來介紹一下左旋和右旋這兩種操作。

①左旋

原本的狀態(tài)：

過程圖：

結(jié)束圖：

如上圖所示，當(dāng)在某個目標(biāo)結(jié)點(diǎn) E 上，做左旋操作時，我們假設(shè)它的右孩子 S 不是 NIL。

左旋以 S 到 E 之間的鏈為“支軸”進(jìn)行，它使 S 成為該子樹的新根，而 S 的左孩子則成為 E 的右孩子。

②右旋

原先狀態(tài)圖：

過程圖：

結(jié)束圖：

同左旋類似，當(dāng)在某個目標(biāo)結(jié)點(diǎn) S 上，做右旋操作時，我們假設(shè)它的右孩子 S 不是 NIL。

左旋以 S 到 E 之間的鏈為“支軸”進(jìn)行，它使 S 成為該子樹的新根，而 S 的左孩子則成為 E 的右孩子。

應(yīng)用

紅黑樹的應(yīng)用比較廣泛，主要是用它來存儲有序的數(shù)據(jù)，它的時間復(fù)雜度是 O(logn)，效率非常之高。

例如，Java 集合中的 TreeSet 和 TreeMap，C++ STL 中的 set、map，以及 Linux 虛擬內(nèi)存的管理，都是通過紅黑樹去實(shí)現(xiàn)的。