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本文轉(zhuǎn)自：深度學(xué)習(xí)這件小事

在求解一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，我們可以采用不同的優(yōu)化方法，而這些方法又可以從不同角度去理解。這篇文章我想講下如何從算子角度出發(fā)去理解許多已存在的優(yōu)化方法。有錯(cuò)誤的地方歡迎大家指出來(lái)。

我們考慮一個(gè)非線性映射的零點(diǎn)問(wèn)題，也就是求解一個(gè)

使得非線性映射

滿足

這個(gè)怎么和優(yōu)化問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)呢，大概是三個(gè)角度：

1. 對(duì)于無(wú)約束凸問(wèn)題，其最優(yōu)解等價(jià)于求解梯度等于零，這時(shí)的

就是其梯度。

2. 對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題，我們可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)約束的對(duì)偶問(wèn)題，這時(shí)的A就是對(duì)偶問(wèn)題的梯度

3. 仍然是約束優(yōu)化問(wèn)題，我們可以求解其KKT系統(tǒng)，這時(shí)的A就是由KKT條件組成的一個(gè)非線性方程組。

求解問(wèn)題（1）的方法就是穩(wěn)定點(diǎn)迭代，也就是找一個(gè)算子

，迭代去尋找解：

這個(gè)

要滿足一些條件。

1. 問(wèn)題（1）的解

是算子

的穩(wěn)定點(diǎn)，也就是滿足

2. 上述迭代可以收斂到穩(wěn)定點(diǎn)，或者收斂的速度怎么去分析，這需要

滿足一些性質(zhì)，比如nonexpansive，contractive，averaged operator等. 這些性質(zhì)是分析穩(wěn)定點(diǎn)迭代收斂性的關(guān)鍵。

開始我們講了問(wèn)題（1）怎么和優(yōu)化問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，接著我們講下穩(wěn)定點(diǎn)迭代怎么和優(yōu)化方法聯(lián)系起來(lái)。這里介紹了

的幾種情況，然后說(shuō)明其如何應(yīng)用到優(yōu)化問(wèn)題中去。關(guān)于收斂性的東西不講。

1.Forward operator：

1.1.考慮凸問(wèn)題

這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為

。令

，我們應(yīng)用forward operator去求解該方程

這就是梯度算法。

1.2.考慮線性約束問(wèn)題

因?yàn)槭羌s束問(wèn)題，所以不能用梯度等于0去求解，一個(gè)思路就是分析其對(duì)偶問(wèn)題。該問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題為

令

,這等價(jià)于求解

。那么forward operator 就是

關(guān)鍵在于次梯度怎么求，在我之前文章（鄧康康：原始對(duì)偶角度下的幾類優(yōu)化方法）中有提到過(guò)：

其中，

為拉格朗日函數(shù)。所以迭代（7）等價(jià)于

這就是dual descent method, 或者叫Uzawa method。

2. Backward operator：

這個(gè)算子也叫resolvent operator。首先推導(dǎo)下穩(wěn)定點(diǎn)迭代：

整合一下得到：

，而這就等價(jià)于找到一個(gè)

滿足

這就是proximal point iteration。接下來(lái)我們將該算子應(yīng)用到上面講到的A的三種情況。

2.1. 還是考慮問(wèn)題（3），我們運(yùn)用這個(gè)算子得到：

這等價(jià)于

整合一下我們知道

這就是臨近點(diǎn)算法。

2.2.接下來(lái)關(guān)注問(wèn)題（5）的對(duì)偶問(wèn)題

，令

。那么backward operator 就是

這等價(jià)于一下迭代過(guò)程：

其中

,這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程見（鄧康康：原始對(duì)偶角度下的幾類優(yōu)化方法），這就是增廣拉格朗日方法。

2.3. 仍然是考慮問(wèn)題（5），但這次我們考慮的是其KKT系統(tǒng)

首先問(wèn)題（5）kkt條件可以表示為：

我們令

，那么backward operator的穩(wěn)定點(diǎn)迭代為：

根據(jù)（9）式，我們知道上述迭代等價(jià)于尋找

使得滿足

從第二行得到：

從第一行得到：

把（13）中的

代到（14）得到：

這等價(jià)于

總結(jié)一下（13）和（16）得到最終迭代形式為：

這個(gè)方法叫做臨近增廣拉格朗日方法。

前面講的都是求解問(wèn)題

。接下來(lái)考慮兩個(gè)的情況，也就是：

我們用到的算子叫做分裂算子。

3.Forward backward splitting

這個(gè)算子很好理解，就是前面講到的兩個(gè)算子的組合。具體形式為：

考慮可分得優(yōu)化問(wèn)題：

其中

是一個(gè)光滑函數(shù)。這個(gè)問(wèn)題等價(jià)于找到

滿足

我們令

，這樣就可以運(yùn)用Forward backward算子：

有了前面兩節(jié)的討論，我們知道：

是一個(gè)梯度迭代，

是一個(gè)臨近點(diǎn)迭代。

所以結(jié)合起來(lái)得到：

這就是臨近梯度算法。

4.Douglas-Rachford splitting

為了簡(jiǎn)潔，我用

和

分別表示基于A,B的backwood operator。那么Douglas-Rachford splitting可以表示為：

考慮可分問(wèn)題:

他的對(duì)偶問(wèn)題是：

其中

我們令

,這樣就可以應(yīng)用Douglas-Rachford splitting：

拆分一下：

再引入一個(gè)新的變量

再引入

根據(jù)前面backward operator的推導(dǎo)，我們知道臨近點(diǎn)迭代等價(jià)于增廣拉格朗日方法，所以第一行就等價(jià)于：

將

代入第二行得到：

類似的第二行就等價(jià)于：

最后再看下第三行：

代入到(19)的

更新中：

現(xiàn)在我們把

的更新放在一起：

這就是ADMM算法。

5.Peaceman-Rachford splitting

這個(gè)算子的穩(wěn)定點(diǎn)迭代等價(jià)于對(duì)稱ADMM方法。也就是：

這個(gè)方法我第一次見是在何炳生老師（我老師的老師）的一個(gè)講座上，用變分不等式的框架去分析的，還舉了個(gè)挑擔(dān)子的例子，說(shuō)兩邊一樣重（對(duì)稱）才能跑得快，印象深刻。

總結(jié)

1. 這些算子怎么來(lái)的呢？用forward來(lái)舉例吧，我們本來(lái)要求

,這等價(jià)于

,然后令右邊的為

,左邊為新的迭代點(diǎn)

，這樣就得到了forward算子。其他的類似，都是這種思想去得到的，但也不能亂來(lái)。。你要滿足一些性質(zhì)，不然收斂不了的。

2. 可能有些人會(huì)困惑，為什么這些算子的穩(wěn)定點(diǎn)迭代剛好就對(duì)應(yīng)于一個(gè)已知的優(yōu)化方法呢，到底是算子先出來(lái)還是這些優(yōu)化方法先出來(lái)，在提出二者的時(shí)候，是獨(dú)立的還是參考了對(duì)方，我也困惑。。比如臨近點(diǎn)迭代應(yīng)用到對(duì)偶問(wèn)題為什么剛好就是增廣拉格朗日方法。。這純屬巧合嗎，如果是這樣，那數(shù)學(xué)太美了

3. 上面提到的都是一階算法，其實(shí)也可以用牛頓法去做，剛才說(shuō)到的很多問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求解

,進(jìn)而我們又可以去設(shè)計(jì)一個(gè)算子

,并且最優(yōu)解滿足

。那么我可以直接應(yīng)用牛頓法去求解這兩類非線性方程組。

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從算子角度理解優(yōu)化方法