維度爆炸？Python實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮竟如此簡(jiǎn)單！

前言

在之前的文章中，我們已經(jīng)詳細(xì)介紹了主成分分析的原理，并用Python基于主成分分析的客戶信貸評(píng)級(jí)進(jìn)行實(shí)戰(zhàn)。

在那篇文章中我們指出的主成分分析常見(jiàn)的三個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景中，其中有一個(gè)是「數(shù)據(jù)描述」，以描述產(chǎn)品情況為例，比如著名的波士頓矩陣，子公司業(yè)務(wù)發(fā)展?fàn)顩r，區(qū)域投資潛力等，需要將多變量壓縮到少數(shù)幾個(gè)主成分進(jìn)行描述，壓縮到兩個(gè)主成分是最理想的，這樣便可在一張圖內(nèi)表現(xiàn)出來(lái)。

但這類分析一般做主成分分析是不充分的，能夠做到因子分析更好。但因子分析的知識(shí)點(diǎn)非常龐雜，所以本文將跳過(guò)原理，直接通過(guò)案例再次「實(shí)戰(zhàn)PCA分析」，用于主成分分析到因子分析的一個(gè)過(guò)渡，目標(biāo)有兩個(gè)：

• 能夠通過(guò)主成分分析結(jié)果來(lái)估計(jì)生成的主成分所表示的含義
• 借以引出因子分析的優(yōu)勢(shì)和學(xué)習(xí)的必要性是本文的目標(biāo)。

需求說(shuō)明

上司希望從事數(shù)據(jù)分析崗位的你僅用兩個(gè)短句就概括出以下數(shù)據(jù)集所反映出的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象用幾個(gè)長(zhǎng)句都不一定能夠很好的描述數(shù)據(jù)集的價(jià)值，更何況高度凝練的兩個(gè)短句，短短九個(gè)指標(biāo)就已經(jīng)十分讓人頭疼了，如果表格再寬一些呢，比如有二三十個(gè)變量？

Python實(shí)戰(zhàn)

本節(jié)我們將使用Python對(duì)上面的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析

數(shù)據(jù)探索

import?pandas?as?pd
import?numpy?as?np
import?matplotlib.pyplot?as?plt
plt.style.use('seaborn-whitegrid')

plt.rc('font',?**{'family':?'Microsoft?YaHei,?SimHei'})?
?#?設(shè)置中文字體的支持
plt.rcParams['axes.unicode_minus']?=?False
#?解決保存圖像是負(fù)號(hào)'-'顯示為方塊的問(wèn)題
sns.set(font='SimHei')??#?解決Seaborn中文顯示問(wèn)題

df?=?pd.read_csv('城市經(jīng)濟(jì).csv')
df

在做主成分分析前，都應(yīng)該進(jìn)行變量間相關(guān)性的探索，畢竟如果變量是獨(dú)立的，則不可壓縮。

plt.figure(figsize=(8,?6))
sns.heatmap(data=df.corr(),?annot=True)?#?annot=True:?顯示數(shù)字

發(fā)現(xiàn)變量間的相關(guān)性較高，有變量壓縮的必要性

PCA建模

數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

使用中心標(biāo)準(zhǔn)化，即將變量都轉(zhuǎn)化成z分?jǐn)?shù)的形式，避免量綱問(wèn)題對(duì)壓縮造成影響

from?sklearn.preprocessing?import?scale
data?=?df.drop(columns='area')?#?丟棄無(wú)用的類別變量
data?=?scale(data)

初步建模

需要說(shuō)明的是第一次的n_components參數(shù)最好設(shè)置得大一些(保留的主成份)，觀察explained_variance_ratio_取值變化，即每個(gè)主成分能夠解釋原始數(shù)據(jù)變異的百分比

from?sklearn.decomposition?import?PCA
pca?=?PCA(n_components=9)?#?直接與變量個(gè)數(shù)相同的主成分
pca.fit(data)

結(jié)果分析

累積解釋變異程度

#?累積解釋變異程度
plt.plot(np.cumsum(pca.explained_variance_ratio_),?linewidth=3)
plt.xlabel('成份數(shù)')
plt.ylabel('累積解釋方差');?plt.grid(True)

可以看出，當(dāng)取主成分?jǐn)?shù)為2時(shí)，累積解釋方差就已經(jīng)達(dá)到0.97有多(0.85 就已經(jīng)足夠)，說(shuō)明我們只需要取兩個(gè)主成分即可

重新建模

綜上可知兩個(gè)主成分就已經(jīng)足夠了

pca?=?PCA(n_components=2)?#?直接與變量個(gè)數(shù)相同的主成分
pca.fit(data)

pca.explained_variance_ratio_

new_data?=?pca.fit_transform(data)?#??fit_transform?表示將生成降維后的數(shù)據(jù)
#?查看規(guī)模差別
print("原始數(shù)據(jù)集規(guī)模:???",?data.shape)
print("降維后的數(shù)據(jù)集規(guī)模:",?new_data.shape)

可以看到9個(gè)變量壓縮成兩個(gè)主成分！

主成分中各變量的權(quán)重分析

先看兩個(gè)主成分與 9 個(gè)變量的系數(shù)關(guān)系

results?=?pd.DataFrame(pca.components_).T
results.columns?=?['pca_1',?'pca_2']
results.index?=?df.drop(columns='area').columns
results

可以明顯看出：

• 主成分1幾乎不受data的第二個(gè)自變量人均GDP的影響，0.034，其他自變量對(duì)其影響程度都差不多。
• 主成分2受data的第二個(gè)自變量人均GDP影響最大，達(dá)到了0.94

結(jié)果描述

通過(guò)上面的PCA建模，我們把9個(gè)自變量壓縮成了2 主成分，每個(gè)主成分受哪些變量的影響也有了了解。雖然得到的主成分都沒(méi)有什么意義，但我們是否可以通過(guò)變量們對(duì)主成分的影響程度來(lái)為生成的兩個(gè)主成分命名呢？

第一個(gè)主成分在表達(dá)經(jīng)濟(jì)總量的指標(biāo)上的權(quán)重相當(dāng)，可考慮命名為經(jīng)濟(jì)總量水平；而第二個(gè)主成分只在人均GDP上權(quán)重很高，可暫時(shí)考慮命名為人均水平

注意：這里的給主成分命名(包括后續(xù)有關(guān)因子分析的推文)都是對(duì)降維后的數(shù)據(jù)進(jìn)行的，而不是生成的主成分，這樣才有比較和描述的價(jià)值。每個(gè)自變量在生成的主成分上的權(quán)重只是給這個(gè)主成分的命名提供參考，真正的命名操作是對(duì)壓縮后的數(shù)據(jù)進(jìn)行。

new_data?=?pca.fit_transform(data)?#??fit_transform?表示將生成降維后的數(shù)據(jù)
results?=?df.join(pd.DataFrame(new_data,??#?new_data?是降維后的數(shù)據(jù)
????????????columns=['經(jīng)濟(jì)總量水平',?'人均水平']))?#?與原來(lái)的數(shù)據(jù)拼接
results

繪制波士頓矩陣，這里的散點(diǎn)圖的點(diǎn)標(biāo)注代碼是前人的優(yōu)秀輪子，直接拿來(lái)用即可。

plt.figure(figsize=(10,?8))
#?基礎(chǔ)散點(diǎn)圖
x,?y?=?results['經(jīng)濟(jì)總量水平'],?results['人均水平']
label?=?results['area']
plt.scatter(x,?y)
plt.xlabel('經(jīng)濟(jì)總量水平');?plt.ylabel('人均水平')

#?對(duì)散點(diǎn)圖中的每一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行文字標(biāo)注
?##?固定代碼，無(wú)需深究，拿來(lái)即用
?##?給點(diǎn)標(biāo)注是需要將?x?和?y?以及標(biāo)簽如上段代碼那樣單獨(dú)拆開
for?a,b,l?in?zip(x,y,label):
????plt.text(a,?b+0.1,?'%s.'?%?l,?ha='center',?va='bottom',?fontsize=14)

#?添加兩條豎線
plt.vlines(x=results['經(jīng)濟(jì)總量水平'].mean(),?
???????????ymin=-1.5,?ymax=3,?colors='red')
plt.hlines(y=results['人均水平'].mean(),?
???????????xmin=-4,?xmax=6,?colors='red')

最終從上圖可以看出：

• 廣西，河北，福建三地的人均水平和經(jīng)濟(jì)總量水平都偏低
• 上海的人均經(jīng)濟(jì)水平很高，但經(jīng)濟(jì)總量水平缺只是略優(yōu)于均值
• 廣東的人均經(jīng)濟(jì)水平稍次于均值，但經(jīng)濟(jì)總量水平很高
• ......

小結(jié)

本文再次講解了基于主成分分析的樣本特征描述，并使用Python示范了完整的流程。其中，也對(duì)由多個(gè)自變量生成的主成分的命名描述操作中需要注意的點(diǎn)作了比較詳細(xì)的說(shuō)明。其實(shí)PCA并不能非常好的滿足維度分析的需求，能夠做到「因子分析」最好，它是主成分方法的拓展，作為維度分析的手段，因子分析也是構(gòu)造合理的聚類模型和穩(wěn)健的分類模型的必然步驟。所以我們因子分析案例再見(jiàn)~

今天的文章就到這里，如果你喜歡本系列請(qǐng)點(diǎn)亮在看給作者一點(diǎn)鼓勵(lì)~

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