1什么是熵？

首先，本文指的熵是指信息熵。想要明白熵的確切含義，先讓我們了解一下信息論的一些基礎(chǔ)知識。在這個數(shù)字時代，信息由位（即比特，由 0 和 1）組成。在通信時，有些位是有用的，有些是冗余的，有些是錯誤，依此類推。當(dāng)我們傳達(dá)信息時，我們希望向收件人發(fā)送盡可能多的有用信息。

在 Claude Shannon 的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》（1948）中，他指出，傳輸 1 比特的信息意味著將接收者的不確定性降低 2 倍。

讓我們來看看他說的意思。例如，考慮一個天氣狀況隨機的地方，每天可能有 50% 的機率是晴天或陰雨。

現(xiàn)在，如果氣象站告訴你明天要下雨，那么他們將不確定性降低了 2 倍。起初，有兩種可能，但在收到氣象站的信息后，就只有一種可能了。在這里，氣象站向我們發(fā)送了一點點有用的信息，無論他們?nèi)绾尉幋a這些信息，這都是事實。

即使發(fā)送的信息是多雨（Rainy），并且每個字符占用一個字節(jié)，消息總的大小也相當(dāng)于 40 比特，但是它們?nèi)匀恢粋鬟_(dá)了 1 比特的有用信息。

假設(shè)天氣有 8 種可能的狀態(tài)，所有可能性都相同。

現(xiàn)在，當(dāng)氣象站為你提供第二天的天氣時，它們會將不確定性降低了 8 倍。由于每個事件的發(fā)生機率為 1/8，因此降低因子為 8。

但是，如果不同天氣的可能性不一樣該怎么辦呢？

假設(shè)有 75％ 的概率是晴天，25％ 的概率是下雨。

現(xiàn)在，如果氣象站說第二天要下雨，那么不確定性就會降低 4 倍，即 2 個比特信息。減少的不確定性是事件概率的倒數(shù)。在這種情況下，25％ 的倒數(shù)是 4，以 2 為底的 得到 2。因此，我們得到 2 個比特的有用信息。

解讀

• 原來憑空猜下雨，你只有 1/4 把握，得到天氣預(yù)報后現(xiàn)在的把握是 1 了。確定性提升到 4 倍，或者說不確定性降低到 4 倍。
• 原來猜晴天，你有 3/4 把握，得到天氣預(yù)報后現(xiàn)在的把握是 1 了。確定性提升到 4/3 倍，或者說不確定性降低到 4/3 倍。

2信息熵

我們經(jīng)常會說，某個新聞的信息量好大。那么這個信息量到底怎么定義呢？所含的文字？所表達(dá)的內(nèi)容？貌似并不好定義。

可以這么來理解，對某個事件由不確定到確定就得到了所謂的信息量，那么如何來量化它呢？即這個信息量到底有多大呢？這個就需要對不確定到確定這個轉(zhuǎn)化作量化了。首先看看怎么量化不確定性。通過前文我們知道，事件概率越大，不確定性自然就越小，再結(jié)合事件是獨立的這個前提。信息量應(yīng)該滿足下面這些條件，

• 信息量跟事件的概率值成反比，即 。概率越大的事件確定性越大，因此由不確定到確定的轉(zhuǎn)化所含的信息量越小。
• 兩個獨立事件所對應(yīng)的信息量應(yīng)等于各自信息量之和，因為相互不影響，所謂的可加性，即 。

滿足這兩個條件的常見函數(shù)有嗎？答案是肯定的，比如

這個正是 Shannon 采用的函數(shù)。來一小段 Python 代碼繪制一下這個函數(shù)，

#?compare?probability?vs?information?entropy
from?math?import?log2
from?matplotlib?import?pyplot
#?list?of?probabilities
probs?=?[0.1,?0.2,?0.3,?0.4,?0.5,?0.6,?0.7,?0.8,?0.9,?1.0]
#?calculate?information
info?=?[-log2(p)?for?p?in?probs]
#?plot?probability?vs?information
pyplot.plot(probs,?info,?marker='.')
pyplot.title('Probability?vs?Information')
pyplot.xlabel('Probability')
pyplot.ylabel('Information')
pyplot.show()

結(jié)果見下圖，對照一下圖像來更好地理解一下這個函數(shù)吧。

好了，接下來我們就用這個函數(shù)來計算信息熵。熵，從數(shù)學(xué)上看，衡量的是一種期望值，即隨機變量多次試驗后所傳遞的信息量的平均值。假設(shè)離散隨機變量對應(yīng)的分布為 ，那么該離散隨機變量的信息熵定義為，

這里用的都是以 2 為底的對數(shù)，也因此信息量對應(yīng)的單位稱為比特（bit）。下面我們回到前文的例子。

如果氣象站說第二天是晴天，那么我們將獲得 0.41 比特的信息量。因此，平均而言，我們將從氣象站獲得多少信息量呢？

好吧，明天有 75％ 的機率是晴天，這會給你 0.41 比特的信息，明天有 25％ 的機率會下雨，它為給你提供 2 比特的信息，對應(yīng)于下圖

平均而言，我們每天從氣象站獲得 0.81 比特的信息。因此，我們把剛剛計算出的平均值稱為信息熵。這很好地衡量了事件的不確定性。

希望熵的公式現(xiàn)在完全有了意義。它衡量的是你每天收到天氣預(yù)報時得到的平均信息量。通常，它給出了我們從給定的概率分布 抽取的一個樣本中獲得的平均信息量。它告訴我們某個概率分布對應(yīng)的隨機變量有多么不可預(yù)測，即它的不確定程度。

如果我們生活在每天陽光明媚的沙漠中，平均來說，每天我們不會從氣象站獲得太多信息。熵值將接近于零。另一方面，如果每天的天氣情況變化很大，熵值將很大。

3交叉熵

現(xiàn)在，讓我們談?wù)劷徊骒亍？梢詫⑺闯善骄畔㈤L度。比如上面例子中，考慮到有 8 種可能的天氣狀況，它們的可能性均等，可以使用 3 個比特的信息對每種狀況來編碼。

如圖所示，這里的平均信息長度為 3，這就是這個例子的交叉熵。

但是現(xiàn)在，假設(shè)你住在陽光充足的地區(qū)，天氣的概率分布并不均勻，具體如下圖所示，

每天都有 35％ 的機率是晴天，雷雨的可能性只有 1％。因此，我們可以計算該概率分布的熵，得，

請注意，此處使用的是以 2 為底的對數(shù)。

因此，氣象站平均發(fā)送 3 個比特信息，但是接收者僅獲得 2.23 個有用的比特信息。那么，是不是說明我們還可以做得更好呢？

例如，像下面這樣來更改編碼，

現(xiàn)在，我們只使用 2 個比特信息表示晴天或部分晴天，使用 3 個比特信息表示多云和大部分多云，使用 4 個比特信息表示中雨和小雨，使用 5 個比特信息表示大雨和雷暴。對天氣坐這樣的編碼方式是不會引起歧義的，例如，你鏈接多條消息，則只有一種方法可以解釋比特流。例如，01100 只能表示部分晴天（01），然后是小雨（100）。因此，如果我們計算該站每天發(fā)送的平均比特數(shù)，則可以得出，

這是我們新的和改進(jìn)的交叉熵，它比以前的 3 個比特更好。現(xiàn)在，假設(shè)我們在不同的地方使用相同的代碼，那兒的天氣是相反的，多雨。

現(xiàn)在，如果我們計算交叉熵，

我們得到 4.58 個比特，大約是熵的兩倍。平均而言，該站發(fā)送 4.58 個比特信息，但只有 2.23 個比特信息對接收者來說是有用的。每條消息發(fā)送的信息量是必要信息的兩倍。這是因為我們使用的代碼對天氣分布做出了一些隱含的假設(shè)。例如，當(dāng)我們在晴天使用 2 個比特信息時，我們含蓄地預(yù)測了晴天的概況為 25％。這是因為 。

同樣，我們計算所有的天氣情況。

分母中 2 的冪對應(yīng)于用于傳輸信息的比特數(shù)。很明顯，預(yù)測分布 與真實分布 完全不同。

因此，現(xiàn)在我們可以將交叉熵（）表示為真實概率分布 和預(yù)測概率分布 的函數(shù) ，具體公式為，

請注意，本示例中使用的對數(shù)均是以 2 為底的。

正如你所見，除了我們在這里使用預(yù)測概率的對數(shù)外，它看起來與熵的等式非常相似。如果我們的預(yù)測是完美的，那就是預(yù)測分布等于真實分布，那么交叉熵就等于熵。但是，如果分布不同，交叉熵就會比熵更大一些，因為多了一些比特。交叉熵超過熵的數(shù)量，被稱為相對熵，或更通常稱為 Kullback-Leibler Divergence（KL-散度）。總結(jié)一下，簡而言之，

從上面的例子中，我們得到

4應(yīng)用

現(xiàn)在，讓我們在實際應(yīng)用中來用一用交叉熵。比如，我們正在訓(xùn)練一個圖像分類器，對看起來比較相似的不同動物進(jìn)行分類，例如浣熊啊、小熊貓啊、狐貍之類等等。

因此，對于可能的 7 個類別中的每一個類別，分類器會分別給出一個概率，即所謂的預(yù)測分布。由于這是有監(jiān)督的學(xué)習(xí)問題，因此我們是知道真實分布的。

在上面的示例中，我拍了一只浣熊的照片，因此在真實分布中，浣熊類的概率應(yīng)該為 100％，其他類的概率為 0。我們可以將這兩個分布之間的交叉熵作為成本函數(shù)，稱為交叉熵?fù)p失。

這只是我們前面看到的等式，除了它通常使用自然對數(shù)而不是 以 2 為底的對數(shù)。對于訓(xùn)練而言，這無關(guān)緊要，因為以 2 為底的對數(shù) 與自然對數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 ，其中分母是常數(shù)。注意，本文其他地方如沒有特別說明， 都是指以 2 為底的對數(shù)。

因此，當(dāng)類別概率被稱為一個獨熱編碼向量（這意味著一個類別具有 100％ 概率，其余類別均為 0%）時，交叉熵只是真實類別的估計概率的負(fù)對數(shù)。

在這個例子中，交叉熵為

現(xiàn)在，你可以看到，當(dāng)對真實類別的預(yù)測概率接近 0 時，成本函數(shù)可能會非常大。但是，當(dāng)預(yù)測概率接近 1 時，成本函數(shù)將接近 0。因此，我們需要對每個類使用更多的例子來訓(xùn)練分類器，以減少損失。

5小結(jié)

我們以氣象站更新第二天的天氣為例，了解了香農(nóng)信息理論的概念。然后我們將其與熵、交叉熵相關(guān)聯(lián)。最后，我們使用一個例子看了下交叉熵?fù)p失函數(shù)的實際用法。我希望本文能幫大家弄清熵、交叉熵和 KL-散度以及他們之間的聯(lián)系。

?參考資料?