給女朋友這樣講全排列、組合、子集問題,下次再也不鬧了
前言
Hello，大家好，long time no see！在刷題和面試過程中，我們經(jīng)常遇到一些排列組合類的問題，而全排列、組合、子集等問題更是非常經(jīng)典問題。本篇文章就帶你徹底搞懂全排列！
求全排列？
全排列即：n個(gè)元素取n個(gè)元素(所有元素)的所有排列組合情況。
求組合？
組合即：n個(gè)元素取m個(gè)元素的所有組合情況(非排列)。
求子集？
子集即：n個(gè)元素的所有子集(所有可能的組合情況)。
總的來說全排列數(shù)值個(gè)數(shù)是所有元素，不同的是排列順序；而組合是選取固定個(gè)數(shù)的組合情況(不看排列)；子集是對組合拓展，所有可能的組合情況(同不考慮排列)。
當(dāng)然，這三種問題，有相似之處又略有所不同，我們接觸到的全排列可能更多，所以你可以把組合和子集問題認(rèn)為是全排列的拓展變形。且問題可能會遇到待處理字符是否有重復(fù)的情況。采取不同的策略去去重也是相當(dāng)關(guān)鍵和重要的！在各個(gè)問題的具體求解上方法可能不少，在全排列上最流行的就是鄰里互換法和回溯法，而其他的組合和子集問題是經(jīng)典回溯問題。而本篇最重要和基礎(chǔ)的就是要掌握這兩種方法實(shí)現(xiàn)的無重復(fù)全排列，其他的都是基于這個(gè)進(jìn)行變換和拓展。
全排列問題
全排列，元素總數(shù)為最大，不同是排列的順序。
無重復(fù)序列的全排列
這個(gè)問題剛好在力扣46題是原題的，大家學(xué)完可以去a試試。
問題描述：
給定一個(gè)?沒有重復(fù)?數(shù)字的序列，返回其所有可能的全排列。
示例：
輸入:?[1,2,3]
輸出:
[
??[1,2,3],
??[1,3,2],
??[2,1,3],
??[2,3,1],
??[3,1,2],
??[3,2,1]
]
回溯法實(shí)現(xiàn)無重復(fù)全排列
回溯算法用來解決搜索問題，而全排列剛好也是一種搜索問題，先回顧一下什么是回溯算法：
回溯算法實(shí)際上一個(gè)類似枚舉的搜索嘗試過程，主要是在搜索嘗試過程中尋找問題的解，當(dāng)發(fā)現(xiàn)已不滿足求解條件時(shí)，就“回溯”返回，嘗試別的路徑.
而全排列剛好可以使用試探的方法去枚舉所有中可能性。一個(gè)長度為n的序列或者集合。它的所有排列組合的可能性共有n！種。具體的試探策略如下：
從待選集合中選取第一個(gè)元素(共有n種情況)，并標(biāo)記該元素已經(jīng)被使用不能再使用。
在步驟1的基礎(chǔ)上進(jìn)行遞歸到下一層，從剩余n-1個(gè)元素中按照1的方法找到一個(gè)元素并標(biāo)記，繼續(xù)向下遞歸。
當(dāng)所有元素被標(biāo)記后，順序收集被標(biāo)記的元素存儲到結(jié)果中，當(dāng)前層遞歸結(jié)束，回到上一層(同時(shí)將當(dāng)前層標(biāo)記的元素清除標(biāo)記)。這樣一直執(zhí)行到最后。
回溯的流程如果從偽代碼流程大致為這樣：
遞歸函數(shù)：
??如果集合所有元素被標(biāo)記：
??????將臨時(shí)儲存添加到結(jié)果集中
??否則：
??????從集合中未標(biāo)記的元素中選取一個(gè)存儲到臨時(shí)集合中
??????標(biāo)記該元素被使用
??????下一層遞歸函數(shù)
??????(這層遞歸結(jié)束)標(biāo)記該元素未被使用
如果用序列?1 2 3 4來表示這么回溯的一個(gè)過程，可以用這張圖來顯示：
回溯過程用代碼來實(shí)現(xiàn)思路也是比較多的，需要一個(gè)List去存儲臨時(shí)結(jié)果是很有必要的，但是對于原集合我們標(biāo)記也有兩種處理思路，第一種是使用List存儲集合，使用過就移除然后遞歸下一層，遞歸完畢后再添加到原來位置。另一種思路就是使用固定數(shù)組存儲，使用過對應(yīng)位置使用一個(gè)boolean數(shù)組對應(yīng)位置標(biāo)記一下，遞歸結(jié)束后再還原。因?yàn)長ist頻繁查找插入刪除效率一般比較低，所以我們一般使用一個(gè)boolean數(shù)組去標(biāo)記該位置元素是否被使用。
具體實(shí)現(xiàn)的代碼為：
List<List<Integer>>?list;
public?List<List<Integer>>?permuteUnique(int[]?nums)?{
????list=new?ArrayList<List<Integer>>();//最終的結(jié)果
????List<Integer>?team=new?ArrayList<Integer>();//回溯過程收集元素
????boolean?jud[]=new?boolean[nums.length];//用來標(biāo)記
????dfs(jud,?nums,?team,?0);
????return?list;
}
private??void?dfs(boolean[]?jud,?int[]?nums,?List<Integer>?team,?int?index)?{
????int?len?=?nums.length;
????if?(index?==?len)//?停止
????{
????????list.add(new?ArrayList<Integer>(team));
????}?else
????????for?(int?i?=?0;?i?<?len;?i++)?{
????????????if?(jud[i])?//當(dāng)前數(shù)字被用過?當(dāng)前即不可用
????????????????continue;
????????????team.add(nums[i]);
????????????jud[i]=true;//標(biāo)記該元素被使用
????????????dfs(jud,?nums,?team,?index?+?1);
????????????jud[i]?=?false;//?還原
????????????team.remove(index);//將結(jié)果移除臨時(shí)集合
????????}
}
修改一下輸出的結(jié)果和上面思維導(dǎo)圖也是一致的：
鄰里互換法實(shí)現(xiàn)無重復(fù)全排列
回溯的測試是試探性填充，是對每個(gè)位置進(jìn)行單獨(dú)考慮賦值。而鄰里互換的方法雖然是也是遞歸實(shí)現(xiàn)的，但是他是一種基于交換的策略和思路。而理解起來也是非常簡單，鄰里互換的思路是從左向右進(jìn)行考慮。
因?yàn)樾蛄惺菦]有重復(fù)的，我們開始將數(shù)組分成兩個(gè)部分：暫時(shí)確定部分和未確定部分。開始的時(shí)候均是未確定部分，我們需要妥善處理的就是未確定部分。在未確定部分的序列中，我們需要讓后面未確定的每一位都有機(jī)會處在未確定的首位，所以未確定部分的第一個(gè)元素就要和每一個(gè)依次進(jìn)行交換(包括自己)，交換完成之后再向下進(jìn)行遞歸求解其他的可能性，求解完畢之后要交換回來(還原)再和后面的進(jìn)行交換。這樣當(dāng)遞歸進(jìn)行到最后一層的時(shí)候就將數(shù)組的值添加到結(jié)果集中。如果不理解可以參考下圖進(jìn)行理解：
鄰里互換部分過程實(shí)現(xiàn)代碼為：
class?Solution?{
?????public?List<List<Integer>>?permute(int[]?nums)?{
????????List<List<Integer>>list=new?ArrayList<List<Integer>>();
????????arrange(nums,0,nums.length-1,list);
????????return?list;
?????}
????private?void?arrange(int[]?nums,?int?start,?int?end,?List<List<Integer>>?list)?{
??????????if(start==end)//到最后一個(gè)?添加到結(jié)果中
??????????{
??????????????List<Integer>list2=new?ArrayList<Integer>();
??????????????for(int?a:nums)
??????????????{
??????????????????list2.add(a);
??????????????}
??????????????list.add(list2);
??????????}
??????????for(int?i=start;i<=end;i++)//未確定部分開始交換
??????????{
??????????????swap(nums,i,start);
??????????????arrange(nums,?start+1,?end,?list);
??????????????swap(nums,?i,?start);//還原
??????????}
????}
????private?void?swap(int[]?nums,?int?i,?int?j)?{
????????int?team=nums[i];
????????nums[i]=nums[j];
????????nums[j]=team;
????}
}
那么鄰里互換和回溯求解的全排列有什么區(qū)別呢?首先回溯法求得的全排列如果這個(gè)序列有序得到的結(jié)果是字典序的，因?yàn)槠洳呗允翘畛?，先小后大有序，而鄰里互換沒有這個(gè)特征。其次鄰里互換在這種情況下的效率要高于回溯算法的，雖然量級差不多但是回溯算法需要維護(hù)一個(gè)集合頻繁增刪等占用一定的資源。
有重復(fù)序列的全排列
有重復(fù)對應(yīng)的是力扣第47題?，題目描述為：
給定一個(gè)可包含重復(fù)數(shù)字的序列?
nums?，按任意順序?返回所有不重復(fù)的全排列。
示例 1：
輸入：nums =?[1,1,2]
輸出：
[[1,1,2],
?[1,2,1],
?[2,1,1]]
示例 2：
輸入：nums =?[1,2,3]
輸出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
提示：
1 <= nums.length <= 8
-10 <= nums[i] <= 10
這個(gè)和上面不重復(fù)的全排列略有不同，這個(gè)輸入數(shù)組中可能包含重復(fù)的序列，我們怎么樣采取合適的策略去重復(fù)才是至關(guān)重要的。我們同樣針對回溯和鄰里互換兩種方法進(jìn)行分析。
回溯剪枝法
因?yàn)榛厮萃暾谋戎苯舆f歸慢，所以剛開始并沒有考慮使用回溯算法，但是這里用回溯剪枝相比遞歸鄰里互換方法更好一些，對于不使用哈希去重的方法，首先進(jìn)行排序預(yù)處理是沒有懸念的，而回溯法去重的關(guān)鍵就是避免相同的數(shù)字因?yàn)橄鄬Υ涡騿栴}造成重復(fù)，所以在這里相同數(shù)字在使用上相對位置必須不變，而具體剪枝條的規(guī)則如下：
先對序列進(jìn)行排序
試探性將數(shù)據(jù)放到當(dāng)前位置
如果當(dāng)前位置數(shù)字已經(jīng)被使用，那么不可使用
如果當(dāng)前數(shù)字和前一個(gè)相等但是前一個(gè)沒有被使用，那么當(dāng)前不能使用，需要使用前一個(gè)數(shù)字。
回溯選取策略思路很簡單，實(shí)現(xiàn)起來也很簡單：
List<List<Integer>>?list;
public?List<List<Integer>>?permuteUnique(int[]?nums)?{
????list=new?ArrayList<List<Integer>>();
????List<Integer>?team=new?ArrayList<Integer>();
????boolean?jud[]=new?boolean[nums.length];
????Arrays.sort(nums);
????dfs(jud,?nums,?team,?0);
????return?list;
}
private??void?dfs(boolean[]?jud,?int[]?nums,?List<Integer>?team,?int?index)?{
????//?TODO?Auto-generated?method?stub
????int?len?=?nums.length;
????if?(index?==?len)//?停止
????{
????????list.add(new?ArrayList<Integer>(team));
????}?else
????????for?(int?i?=?0;?i?<?len;?i++)?{
????????????if?(jud[i]||(i>0&&nums[i]==nums[i-1]&&!jud[i-1]))?//當(dāng)前數(shù)字被用過?或者前一個(gè)相等的還沒用，當(dāng)前即不可用
????????????????continue;
??????????????team.add(nums[i]);
??????????????jud[i]=true;
??????????????dfs(jud,?nums,?team,?index?+?1);
????????????jud[i]?=?false;//?還原
????????????team.remove(index);
????????}
}
鄰里互換法
我們在執(zhí)行遞歸全排列的時(shí)候，主要考的是要把重復(fù)的情況搞下去，鄰里互換又要怎么去重呢？
使用HashSet這種方式這里就不討論啦，我們在進(jìn)行交換swap的時(shí)候從前往后，前面的確定之后就不會在動(dòng)，所以我們要慎重考慮和誰交換。比如1 1 2 3第一個(gè)數(shù)有三種情況而不是四種情況(兩個(gè)1 1 2 3為一個(gè)結(jié)果)：
1 1 2 3 // 0 0位置交換
2 1 1 3 // 0 2位置交換
3 1 2 1 // 0 3位置交換
另外比如3 1 1序列,3和自己交換，和后面兩個(gè)1只能和其中一個(gè)進(jìn)行交換，我們這里可以約定和第一個(gè)出現(xiàn)的進(jìn)行交換，我們看一個(gè)圖解部分過程：
鄰里互換一個(gè)過程所以，當(dāng)我們從一個(gè)index開始的時(shí)候要記住以下的規(guī)則：同一個(gè)數(shù)只交換一次(包括值等于自己的數(shù))。在判斷后面值是否出現(xiàn)的時(shí)候，你可以遍歷，也可以使用hashSet().當(dāng)然這種方法的痛點(diǎn)就是判斷后面出現(xiàn)的數(shù)字效率較低。所以在可能重復(fù)的情況這種方法效率一般般。
具體實(shí)現(xiàn)的代碼為：
public?List<List<Integer>>?permuteUnique(int[]?nums)?{
?????????List<List<Integer>>?list=new?ArrayList<List<Integer>>();
?????????arrange(nums,?0,?nums.length-1,?list);
?????????return?list;
?????}
private?void?arrange(int[]?nums,?int?start,?int?end,?List<List<Integer>>?list)?{
??????if(start==end)
??????{
??????????List<Integer>list2=new?ArrayList<Integer>();
??????????for(int?a:nums)
??????????{
??????????????list2.add(a);
??????????}
??????????list.add(list2);
??????}
??????Set<Integer>set=new?HashSet<Integer>();?????
??????for(int?i=start;i<=end;i++)
??????{
??????????if(set.contains(nums[i]))
??????????????continue;
?????????????set.add(nums[i]);?????????????
??????????swap(nums,i,start);
??????????arrange(nums,?start+1,?end,?list);
??????????swap(nums,?i,?start);
??????}?
}
private?void?swap(int[]?nums,?int?i,?int?j)?{
????int?team=nums[i];
????nums[i]=nums[j];
????nums[j]=team;
}
組合問題
組合問題可以認(rèn)為是全排列的變種，問題描述（力扣77題）:
給定兩個(gè)整數(shù) n 和 k，返回 1 … n 中所有可能的 k 個(gè)數(shù)的組合。
示例:
輸入:?n?=?4,?k?=?2
輸出:
[
??[2,4],
??[3,4],
??[2,3],
??[1,2],
??[1,3],
??[1,4],
]
分析：
這個(gè)問題經(jīng)典回溯問題。組合需要記住只看元素而不看元素的順序，比如a b和b a是同一個(gè)組合。要避免這樣的重復(fù)是核心，而避免這樣的重復(fù)，需要借助一個(gè)int類型保存當(dāng)前選擇元素的位置，下次只能遍歷選取下標(biāo)位置后面的數(shù)字，而k個(gè)數(shù)，可以通過一個(gè)數(shù)字類型來記錄回溯到當(dāng)前層處理數(shù)字的個(gè)數(shù)來控制。
全排列和組合的一些區(qū)別具體實(shí)現(xiàn)也很容易，需要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)數(shù)組儲存對應(yīng)數(shù)字，用boolean數(shù)組判斷對應(yīng)位置數(shù)字是否使用，這里就不用List存儲數(shù)字了，最后通過判斷boolean數(shù)組將數(shù)值添加到結(jié)果中也是可行的。實(shí)現(xiàn)代碼為：
class?Solution?{?
????public?List<List<Integer>>?combine(int?n,?int?k)?{
????????List<List<Integer>>?valueList=new?ArrayList<List<Integer>>();//結(jié)果
????????int?num[]=new?int[n];//數(shù)組存儲1-n
????????boolean?jud[]=new?boolean[n];//用于判斷是否使用
????????for(int?i=0;i<n;i++)
????????{
????????????num[i]=i+1;
????????}
????????List<Integer>team=new?ArrayList<Integer>();
????????dfs(num,-1,k,valueList,jud,n);
????????return?valueList;
????}
????private?void?dfs(int[]?num,int?index,?int?count,List<List<Integer>>?valueList,boolean?jud[],int?n)?{
????????if(count==0)//k個(gè)元素滿
????????{
????????????List<Integer>list=new?ArrayList<Integer>();
????????????for(int?i=0;i<n;i++)
????????????{
????????????????if?(jud[i])?{
????????????????????list.add(i+1);
????????????????}
????????????}
????????????valueList.add(list);
????????}
????????else?{
????????????for(int?i=index+1;i<n;i++)//只能在index后遍歷?回溯向下
????????????{
????????????????jud[i]=true;
????????????????dfs(num,?i,?count-1,?valueList,jud,n);
????????????????jud[i]=false;//還原
????????????}
????????}???
????}
}
子集
子集問題和組合有些相似。這里講解數(shù)組中無重復(fù)和有重復(fù)的兩種情況。
無重復(fù)數(shù)組子集
問題描述(力扣78題)：
給你一個(gè)整數(shù)數(shù)組 nums ，數(shù)組中的元素 互不相同 。返回該數(shù)組所有可能的子集（冪集）。
解集 不能 包含重復(fù)的子集。你可以按 任意順序 返回解集。
示例 1：
輸入：nums =?[1,2,3]
輸出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]
示例 2：
輸入：nums =?[0]
輸出：[[],[0]]
提示：
1 <= nums.length <= 10
-10 <= nums[i] <= 10
nums 中的所有元素 互不相同
子集和上面的組合有些相似，當(dāng)然我們不需要判斷有多少個(gè)，只需要按照組合回溯的策略遞歸進(jìn)行到最后，每進(jìn)行的一次遞歸函數(shù)都是一種情況都要加入到結(jié)果中(因?yàn)椴扇〉牟呗圆粫兄貜?fù)的情況)。
實(shí)現(xiàn)的代碼為：
class?Solution?{
???public?List<List<Integer>>?subsets(int[]?nums)?{
????????List<List<Integer>>?valueList=new?ArrayList<List<Integer>>();
????????boolean?jud[]=new?boolean[nums.length];
????????List<Integer>team=new?ArrayList<Integer>();
????????dfs(nums,-1,valueList,jud);
????????return?valueList;
????}
????private?void?dfs(int[]?num,int?index,List<List<Integer>>?valueList,boolean?jud[])?{
????????{//每進(jìn)行遞歸函數(shù)都要加入到結(jié)果中
????????????List<Integer>list=new?ArrayList<Integer>();
????????????for(int?i=0;i<num.length;i++)
????????????{
????????????????if?(jud[i])?{
????????????????????list.add(num[i]);
????????????????}
????????????}
????????????valueList.add(list);
????????}
????????{
????????????for(int?i=index+1;i<num.length;i++)
????????????{
????????????????jud[i]=true;
????????????????dfs(num,?i,?valueList,jud);
????????????????jud[i]=false;
????????????}
????????}
????}
}
有重復(fù)數(shù)組子集
題目描述(力扣90題)：
給定一個(gè)可能包含重復(fù)元素的整數(shù)數(shù)組 nums，返回該數(shù)組所有可能的子集（冪集）。
說明：解集不能包含重復(fù)的子集。
示例:
輸入:?[1,2,2]
輸出:
[
??[2],
??[1],
??[1,2,2],
??[2,2],
??[1,2],
??[]
]
和上面無重復(fù)數(shù)組求子集不同的是這里面可能會出現(xiàn)重復(fù)的元素。我們需要在結(jié)果中過濾掉重復(fù)的元素。
首先，子集問題無疑是使用回溯法求得結(jié)果，首先分析如果序列沒有重復(fù)的情況，我們會借助一個(gè)boolean[]數(shù)組標(biāo)記使用過的元素和index表示當(dāng)前的下標(biāo)，在進(jìn)行回溯的時(shí)候我們只向后進(jìn)行遞歸并且將枚舉到的那個(gè)元素boolean[index]置為true(回來的時(shí)候復(fù)原)。每次遞歸收集boolean[]數(shù)組中true的元素為其中一個(gè)子集。
在這里插入圖片描述
而有重復(fù)元素的處理上，和前面全排列的處理很相似，首先進(jìn)行排序，然后在進(jìn)行遞歸處理的時(shí)候遇到相同元素只允許從第一位連續(xù)使用而不允許跳著使用，所以在遞歸向下時(shí)候需要判斷是否滿足條件(第一個(gè)元素或和前一個(gè)不同或和前一個(gè)同且前一個(gè)已使用)，具體可以參考這張圖：
實(shí)現(xiàn)代碼為：
class?Solution?{
??public?List<List<Integer>>?subsetsWithDup(int[]?nums)?{
????Arrays.sort(nums);
????boolean?jud[]=new?boolean[nums.length];
????List<List<Integer>>?valueList=new?ArrayList<List<Integer>>();
????dfs(nums,-1,valueList,jud);
????return?valueList;
??}
????private?void?dfs(int[]?nums,?int?index,?List<List<Integer>>?valueList,?boolean[]?jud)???{
????????//?TODO?Auto-generated?method?stub
????????List<Integer>list=new?ArrayList<Integer>();
????????for(int?i=0;i<nums.length;i++)
????????{
????????????if?(jud[i])?{
???????????????list.add(nums[i]);
????????????}
????????}
????????valueList.add(list);
????????for(int?i=index+1;i<nums.length;i++)
????????{//第一個(gè)元素?或?當(dāng)前元素不和前面相同??或者相同且前面被使用了可以繼續(xù)進(jìn)行
????????????if((i==0)||(nums[i]!=nums[i-1])||(i>0&&jud[i-1]&&nums[i]==nums[i-1]))
????????????{
????????????????jud[i]=true;
????????????????dfs(nums,?i,?valueList,jud);
????????????????jud[i]=false;
????????????}
????????}
????}
}
結(jié)語
到這里，本篇的全排列、組合、子集問題就介紹到這里啦，尤其要注意問題處理去重的思路和策略。當(dāng)然和這類似的問題也是很多啦，多刷一刷就可以很好的掌握，后面敬請期待！
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