來源：機(jī)器之心
對(duì)于大多數(shù)數(shù)據(jù)科學(xué)家而言，線性回歸方法是他們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)建模和預(yù)測(cè)分析任務(wù)的起點(diǎn)。這種方法已經(jīng)存在了 200 多年，并得到了廣泛研究，但仍然是一個(gè)積極的研究領(lǐng)域。由于良好的可解釋性，線性回歸在商業(yè)數(shù)據(jù)上的用途十分廣泛。當(dāng)然，在生物數(shù)據(jù)、工業(yè)數(shù)據(jù)等領(lǐng)域也不乏關(guān)于回歸分析的應(yīng)用。另一方面，Python 已成為數(shù)據(jù)科學(xué)家首選的編程語言，能夠應(yīng)用多種方法利用線性模型擬合大型數(shù)據(jù)集顯得尤為重要。如果你剛剛邁入機(jī)器學(xué)習(xí)的大門，那么使用 Python 從零開始對(duì)整個(gè)線性回歸算法進(jìn)行編碼是一次很有意義的嘗試，讓我們來看看怎么做吧。機(jī)器學(xué)習(xí)問題的第一步是獲取數(shù)據(jù)，沒有可以學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)就沒有機(jī)器學(xué)習(xí)。本文將使用非常常規(guī)的線性回歸數(shù)據(jù)集——房價(jià)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)集。這是一個(gè)包含俄勒岡州波特蘭市房價(jià)的簡單數(shù)據(jù)集。該數(shù)據(jù)集中第一列是房屋面積（以平方英尺為單位），第二列是臥室的數(shù)量，第三列是房屋價(jià)格。該數(shù)據(jù)集中有多個(gè)特征（例如，house_size 和房間數(shù)），因此我們將研究多元線性回歸，標(biāo)簽 (y) 是我們將要預(yù)測(cè)的房價(jià)。首先定義用于加載數(shù)據(jù)集的函數(shù)：def load_data(filename): df = pd.read_csv(filename, sep=",", index_col=False) df.columns = ["housesize", "rooms", "price"] data = np.array(df, dtype=float) plot_data(data[:,:2], data[:, -1]) normalize(data) return data[:,:2], data[:, -1]
我們稍后將調(diào)用上述函數(shù)來加載數(shù)據(jù)集。此函數(shù)返回 x 和 y。上述代碼不僅加載數(shù)據(jù)，還對(duì)數(shù)據(jù)執(zhí)行歸一化處理并繪制數(shù)據(jù)點(diǎn)。在查看數(shù)據(jù)圖之前，我們首先了解上述代碼中的 normalize(data)。查看原始數(shù)據(jù)集后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)第二列數(shù)據(jù)的值（房間數(shù)量）比第一列（即房屋面積）小得多。該模型不會(huì)將此數(shù)據(jù)評(píng)估為房間數(shù)量或房屋面積，對(duì)于模型來說，它們只是一些數(shù)字。機(jī)器學(xué)習(xí)模型中某些列（或特征）的數(shù)值比其他列高可能會(huì)造成不想要的偏差，還可能導(dǎo)致方差和數(shù)學(xué)均值的不平衡。出于這些原因，也為了簡化工作，我們建議先對(duì)特征進(jìn)行縮放或歸一化，使其位于同一范圍內(nèi)（例如 [-1,1] 或 [0,1]），這會(huì)讓訓(xùn)練容易許多。因此我們將使用特征歸一化，其數(shù)學(xué)表達(dá)如下：Z = (x — μ) / σ
μ : mean
σ : standard deviation
其中 z 是歸一化特征，x 是非歸一化特征。有了歸一化公式，我們就可以為歸一化創(chuàng)建一個(gè)函數(shù)：def normalize(data): for i in range(0,data.shape[1]-1):????????data[:,i]?=?((data[:,i]?-?np.mean(data[:,i]))/np.std(data[:,?i]))
上述代碼遍歷每一列，并使用每一列中所有數(shù)據(jù)元素的均值和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)其執(zhí)行歸一化。在對(duì)線性回歸模型進(jìn)行編碼之前，我們需要先問「為什么」。為什么要使用線性回歸解決這個(gè)問題？這是一個(gè)非常有用的問題，在寫任何具體代碼之前，你都應(yīng)該非常清楚要使用哪種算法，以及在給定數(shù)據(jù)集和待解決問題的情況下，這是否真的是最佳選擇。我們可以通過繪制圖像來證明對(duì)當(dāng)前數(shù)據(jù)集使用線性回歸有效的原因。為此，我們?cè)谏厦娴?load_data 中調(diào)用了 plot_data 函數(shù)，現(xiàn)在我們來定義一下 plot_data 函數(shù)：def plot_data(x, y): plt.xlabel('house size') plt.ylabel('price') plt.plot(x[:,0], y, 'bo') plt.show()
如上圖所示，我們可以粗略地?cái)M合一條線。這意味著使用線性近似能夠做出較為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，因此可以采用線性回歸。準(zhǔn)備好數(shù)據(jù)之后就要進(jìn)行下一步，給算法編寫代碼。首先我們需要定義假設(shè)函數(shù)，稍后我們將使用它來計(jì)算代價(jià)。對(duì)于線性回歸，假設(shè)是：
但數(shù)據(jù)集中只有 2 個(gè)特征，因此對(duì)于當(dāng)前問題，假設(shè)是：
其中 x1 和 x2 是兩個(gè)特征（即房屋面積和房間數(shù)量）。然后編寫一個(gè)返回該假設(shè)的簡單 Python 函數(shù)：def h(x,theta): return np.matmul(x, theta)
使用代價(jià)函數(shù)的目的是評(píng)估模型質(zhì)量。
def cost_function(x, y, theta): return ((h(x, theta)-y).T@(h(x, theta)-y))/(2*y.shape[0])
到目前為止，我們定義的所有 Python 函數(shù)都與上述線性回歸的數(shù)學(xué)意義完全相同。接下來我們需要將代價(jià)最小化，這就要用到梯度下降。梯度下降是一種優(yōu)化算法，旨在調(diào)整參數(shù)以最小化代價(jià)函數(shù)。
因此，我們將代價(jià)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以學(xué)習(xí)率（α），然后用參數(shù)（θ）的當(dāng)前值減去它，獲得新的更新參數(shù)（θ）。def gradient_descent(x, y, theta, learning_rate=0.1, num_epochs=10): m = x.shape[0] J_all = []
for _ in range(num_epochs): h_x = h(x, theta) cost_ = (1/m)*(x.T@(h_x - y)) theta = theta - (learning_rate)*cost_ J_all.append(cost_function(x, y, theta))
return theta, J_all
gradient_descent 函數(shù)返回 theta 和 J_all。theta 顯然是參數(shù)向量，其中包含假設(shè)的θs 值，J_all 是一個(gè)列表，包含每個(gè) epoch 后的代價(jià)函數(shù)。J_all 變量并非必不可少，但它有助于更好地分析模型。接下來要做的就是以正確的順序調(diào)用函數(shù)：x,y = load_data("house_price_data.txt")y = np.reshape(y, (46,1))x = np.hstack((np.ones((x.shape[0],1)), x))theta = np.zeros((x.shape[1], 1))learning_rate = 0.1num_epochs = 50theta, J_all = gradient_descent(x, y, theta, learning_rate, num_epochs)J = cost_function(x, y, theta)print("Cost:", J)print("Parameters:", theta)
#for testing and plotting cost n_epochs = []jplot = []count = 0for i in J_all: jplot.append(i[0][0]) n_epochs.append(count) count += 1jplot = np.array(jplot)n_epochs = np.array(n_epochs)plot_cost(jplot, n_epochs)
test(theta, [1600, 2])
首先調(diào)用 load_data 函數(shù)載入 x 和 y 值。x 值包含訓(xùn)練樣本，y 值包含標(biāo)簽（在這里就是房屋的價(jià)格）。你肯定注意到了，在整個(gè)代碼中，我們一直使用矩陣乘法的方式來表達(dá)所需。例如為了得到假設(shè)，我們必須將每個(gè)參數(shù)（θ）與每個(gè)特征向量（x）相乘。我們可以使用 for 循環(huán)，遍歷每個(gè)樣本，每次都執(zhí)行一次乘法，但如果訓(xùn)練的樣本過多，這可能不是最高效的方法。在這里更有效的方式是使用矩陣乘法。本文所用的數(shù)據(jù)集具備兩個(gè)特征：房屋面積和房間數(shù)，即我們有（2+1）三個(gè)參數(shù)。將假設(shè)看作圖形意義上的一條線，用這種方式來思考額外參數(shù)θ0，最終額外的θ0 也要使這條線符合要求。
現(xiàn)在我們有了三個(gè)參數(shù)和兩個(gè)特征。這意味著θ或參數(shù)向量（1 維矩陣）的維數(shù)是 (3,1)，但特征向量的維度是 (46,2)。你肯定會(huì)注意到將這樣兩個(gè)矩陣相乘在數(shù)學(xué)上是不可能的。再看一遍我們的假設(shè)：
如果你仔細(xì)觀察的話，實(shí)際上這很直觀：如果在特征向量 (x) {維度為 (46, 3)} 的開頭添加額外的一列，并且對(duì) x 和 theta 執(zhí)行矩陣乘法，將得出 hθ(x) 的方程。記住，在實(shí)際運(yùn)行代碼來實(shí)現(xiàn)此功能時(shí)，不會(huì)像 hθ(x) 那樣返回表達(dá)式，而是返回該表達(dá)式求得的數(shù)學(xué)值。在上面的代碼中，x = np.hstack((np.ones((x.shape[0],1)), x)) 這一行在 x 開頭加入了額外一列，以備矩陣乘法需要。在這之后，我們用零初始化 theta 向量，當(dāng)然你也可以用一些小隨機(jī)值來進(jìn)行初始化。我們還指定了訓(xùn)練學(xué)習(xí)率和 epoch 數(shù)。定義完所有超參數(shù)之后，我們就可以調(diào)用梯度下降函數(shù)，以返回所有代價(jià)函數(shù)的歷史記錄以及參數(shù) theta 的最終向量。在這里 theta 向量定義了最終的假設(shè)。你可能注意到，由梯度下降函數(shù)返回的 theta 向量的維度為 (3,1)。
所以我們需要三個(gè)θ，theta 向量的維度為 (3,1)，因此 theta [0]、theta [1] 和 theta [2] 實(shí)際上分別為θ0、θ1 和 θ2。J_all 變量是所有代價(jià)函數(shù)的歷史記錄。你可以打印出 J_all 數(shù)組，來查看代價(jià)函數(shù)在梯度下降的每個(gè) epoch 中逐漸減小的過程。
代價(jià)和 epoch 數(shù)量的關(guān)系圖。我們可以通過定義和調(diào)用 plot_cost 函數(shù)來繪制此圖，如下所示：def plot_cost(J_all, num_epochs): plt.xlabel('Epochs') plt.ylabel('Cost') plt.plot(num_epochs, J_all, 'm', linewidth = "5")????plt.show()
現(xiàn)在我們可以使用這些參數(shù)來找到標(biāo)簽，例如給定房屋面積和房間數(shù)量時(shí)的房屋價(jià)格。現(xiàn)在你可以測(cè)試調(diào)用測(cè)試函數(shù)的代碼，該函數(shù)會(huì)將房屋面積、房間數(shù)量和 logistic 回歸模型返回的最終 theta 向量作為輸入，并輸出房屋價(jià)格。def test(theta, x): x[0] = (x[0] - mu[0])/std[0] x[1] = (x[1] - mu[1])/std[1]
y = theta[0] + theta[1]*x[0] + theta[2]*x[1] print("Price of house:", y)
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport pandas as pd
#variables to store mean and standard deviation for each featuremu = []std = []
def load_data(filename): df = pd.read_csv(filename, sep=",", index_col=False) df.columns = ["housesize", "rooms", "price"] data = np.array(df, dtype=float) plot_data(data[:,:2], data[:, -1]) normalize(data) return data[:,:2], data[:, -1]
def plot_data(x, y): plt.xlabel('house size') plt.ylabel('price') plt.plot(x[:,0], y, 'bo') plt.show()
def normalize(data): for i in range(0,data.shape[1]-1): data[:,i] = ((data[:,i] - np.mean(data[:,i]))/np.std(data[:, i])) mu.append(np.mean(data[:,i])) std.append(np.std(data[:, i]))
def h(x,theta): return np.matmul(x, theta)
def cost_function(x, y, theta): return ((h(x, theta)-y).T@(h(x, theta)-y))/(2*y.shape[0])
def gradient_descent(x, y, theta, learning_rate=0.1, num_epochs=10): m = x.shape[0] J_all = []
for _ in range(num_epochs): h_x = h(x, theta) cost_ = (1/m)*(x.T@(h_x - y)) theta = theta - (learning_rate)*cost_ J_all.append(cost_function(x, y, theta))
return theta, J_all
def plot_cost(J_all, num_epochs): plt.xlabel('Epochs') plt.ylabel('Cost') plt.plot(num_epochs, J_all, 'm', linewidth = "5") plt.show()
def test(theta, x): x[0] = (x[0] - mu[0])/std[0] x[1] = (x[1] - mu[1])/std[1]
y = theta[0] + theta[1]*x[0] + theta[2]*x[1] print("Price of house:", y)
x,y = load_data("house_price_data.txt")y = np.reshape(y, (46,1))x = np.hstack((np.ones((x.shape[0],1)), x))theta = np.zeros((x.shape[1], 1))learning_rate = 0.1num_epochs = 50theta, J_all = gradient_descent(x, y, theta, learning_rate, num_epochs)J = cost_function(x, y, theta)print("Cost:", J)print("Parameters:", theta)
#for testing and plotting cost n_epochs = []jplot = []count = 0for i in J_all: jplot.append(i[0][0]) n_epochs.append(count) count += 1jplot = np.array(jplot)n_epochs = np.array(n_epochs)plot_cost(jplot, n_epochs)
test(theta, [1600, 3])
現(xiàn)在你已經(jīng)學(xué)會(huì)了從零開始成功編寫線性回歸模型。能夠理解和編寫整個(gè)算法并不是一件容易的事，你或許需要時(shí)不時(shí)地回看才能完全理解。但這些努力是值得的，線性回歸通常是人們學(xué)習(xí)機(jī)器學(xué)習(xí)算法的第一步，在這之后你可以選擇另一個(gè)適用于線性回歸處理的數(shù)據(jù)集，并嘗試剛寫好的算法。https://towardsdatascience.com/coding-linear-regression-from-scratch-c42ec079902加入知識(shí)星球【我們談?wù)摂?shù)據(jù)科學(xué)】
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