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第一章引言

1.1 為什么要相機標定

首先來看相機標定的意義，我們都知道，我們拍攝的圖片是二維的，但是真實世界是三維的。一個場景是如何從三維變成二維的呢？相機起到的就是這個作用。我們可以把相機看成一個函數(shù)，輸入是一個三維的場景，輸出是我們獲得的二維的圖片，這里可以認為是灰度圖。我們平時看到的 RGB 彩色圖是通過 RGB 三通道來實現(xiàn)的，每個通道可以認為是一張灰度圖。從三維世界到二維世界的這個映射關系是不可逆的，也就是說無法僅通過一張二維圖來得到真實的三維世界。

相機標定就是通過輸入帶有標定 pattern 的標定板來計算相機參數(shù)，來用簡單的數(shù)學模型來表達復雜的成像過程。求解這個數(shù)學模型，也就是求解相機的參數(shù)，包括相機的內參，外參以及畸變參數(shù)。有了這個數(shù)學模型，我們可以對相機拍攝的圖片進行畸變校正，也可以用多個相機拍攝圖片來進行三維重建，以及其他的計算機視覺的應用。

圖 1.1: 相機標定模型

1.2 成像系統(tǒng)

接下來介紹成像系統(tǒng)的基礎，從三維坐標中的某一點 P(x, y, z) 出發(fā)，推導在相機的像素坐標系中的成像點。

1.2.1 投影矩陣和小孔成像

首先介紹一下下面會用到的幾個專有名詞：

世界坐標系（world Coords）：點在真實世界中的位置，描述相機位置，單位 m。
相機坐標系（Cameras Coords）：以相機 sensor 中心為原點，建立相機坐標系，單位 m。
圖像物理坐標系（Film Coords）：經過小孔成像后得到的二維坐標系，單位 mm。
像素坐標系（Pixel Coords）：成像點在相機 sensor 上像素的行數(shù)和列數(shù)，原點為圖像左上角，不帶有任何物理單位，或者說單位是 pixel主點：光軸與圖像平面的交點為主點，即圖1.2中的點 p。
主點：光軸與圖像平面的交點為主點，即圖1.2中的點 p。

接下來我們建立從真實世界（世界坐標系）中的一點到像素坐標系上對應點的映射，這會涉及四個坐標系之間的三步轉換。

首先，考慮世界坐標系中的一點

到相機坐標系

的對應關系，他們的轉換關系可以通過矩陣 R, T 來表征。R 是相機坐標系相對于世界坐標系的旋轉矩陣，T 是相機坐標系相對于世界坐標系的平移矩陣，即相機的中心在世界坐標系的坐標。他們的之間的轉換關系可以通過矩陣表示為下面的公式：

圖 1.2: 小孔成像原理圖

然后，考慮相機坐標系到圖像坐標系的轉換，假設點

在圖像坐標系中的成像點是 p′(x, y)。這里基于的是小孔成像的原理，原理如圖1.2的左圖所示，焦距是 f，成像面是與 XOY 平面平行且距離原點 f 的平面。圖1.2的右圖為 ZcY 截面。利用相似三角形可以求出：

化簡可以推出：

寫成矩陣的形式：

這樣便得到了相機坐標系到圖像坐標系的轉換關系。

圖 1.3: 圖像坐標系與像素坐標系的轉換關系

最后，考慮圖像坐標系中點 p′(x, y) 到像素坐標系對應點 (u, v) 的轉換關系，如圖1.3所示。圖像坐標系的原點在 sensor 的中央，像素坐標系的原點在 sensor 的左上角。圖像坐標系的單位是 mm，像素坐標系的單位是 pixel。他們的之間的轉換關系可以表示為：

轉換成矩陣表示：

(u, v) 即點在像素坐標系中的坐標，即像素的列數(shù)、行數(shù)。dx, dy 為每個像素點在圖像坐標系 x 軸，y 軸上的尺寸，單位是毫米/每像素，是每個 sensor 的固有參數(shù)。實際情況下，芯片的中心并不在光軸上，安裝的時候總會有有些誤差，所以引入兩個新的參數(shù) (u0, v0)，代表主點在像素坐標系下的偏移。

不考慮世界坐標系的旋轉，點從相機坐標系到像素坐標系的轉換公式可以總結為

上式中

，代表焦距除以單個的像素大小，所以單位是像素，在相機的標定過程中 dx, dy, f 均不能直接測量得到的，組合值 fx, fy 可以標定得到。zc 是三維點在相機坐標系中深度值。從世界坐標系到像素坐標系，寫成矩陣形式，可以得到：

上式中，M1 為相機內參，包括相機的焦距，光軸與圖像平面的焦點位置等內部參數(shù)，和外部因素無關，因此稱為內參，表示為：

M2 為相機外參，表征世界坐標系到相機坐標系的轉換關系，是相機在世界坐標系下的位置姿態(tài)矩陣，認為是攝像機的外參，一般情況下，如果世界坐標系設置為相機坐標系，即二者重合，那么這個外參就是一個單位矩陣。

用一張圖來總結，如圖1.4所示。

圖 1.4: 相機標定整套流程

1.2.2 鏡頭畸變

實際使用中，得到的圖像并不是完全按照小孔成像原理進行透視投影，通過透鏡后物點在實際的成像平面上的像與理想成像之間存在一點畸變誤差。誤差主要存在徑向畸變和切向畸變兩種。徑向畸變是由于相機的透鏡形狀造成的，切向畸變則是整個相機的組裝過程中造成的。

1.2.2.1 徑向畸變

圖 1.5: 徑向畸變

沿著透鏡的半徑方向分布的畸變稱為徑向畸變。光線在遠離透鏡中心的地方比靠近中心的地方更加彎曲。徑向畸變可以分為，桶形畸變和枕形畸變。如圖1.5所示，從左到右分別是，正常無畸變、桶形畸變、枕形畸變。徑向畸變是因為，遠離透鏡中心的光線比靠近透鏡中心的光線更加彎曲。廉價的透鏡更加嚴重，高端相機中并不是那么明顯。光心的處的畸變?yōu)?0，距離越遠畸變越大。

一般情況下，圖像的徑向畸變往往被描述為一個低階多項式模型。(x, y) 是沒有畸變的像素點的位置，(xdistorted, ydistorted) 是徑向畸變作用后的點的位置，則二者之間存在以下變換關系：

(x, y) 是歸一化的圖像坐標，即坐標原點已經移動到主點，并且像素坐標除以焦距，r2 = x2 +y2。k1, k2, k3 是徑向畸變系數(shù)，也屬于攝像頭的內參。一般使用多項式的前兩項，畸變很大的相機比如魚眼相機會使用第三項。

1.2.2.2 切向畸變

圖 1.6: 切向畸變

切向畸變主要發(fā)生在相機 sensor 和鏡頭不平行的情況下，因為有夾角，所以光透過鏡頭傳到圖像傳感器上時，成像位置發(fā)生了變化。具體原理如圖1.6所示。切向畸變可以用下列公式表示：

p1, p2 是畸變系數(shù)，其他變量和徑向畸變相同。

將徑向畸變和切向畸變放在一起考慮，可以得到下式：

所以對于鏡頭畸變一共有 5 個參數(shù) k1, k2, k3, p1, p2 需要校準，這 5 個參數(shù)和 M1 一起，都是需要標定的相機內參。opencv 輸出的即便參數(shù)順序是 k1, k2, p1, p2, k3 因為 k3 沒那么重要。

作者簡介

林夕，電子科技大學碩士，主要研究方向：推薦系統(tǒng)、自然語言處理和金融風控。希望能將算法應用在更多的行業(yè)中。

編輯：于騰凱

校對：李敏

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原創(chuàng) | 《相機標定》深入理解原理與實戰(zhàn)（一）