編輯丨古月居
1. 控制原理

1.1 開環(huán)與閉環(huán)系統(tǒng)

下面是開環(huán)系統(tǒng)與閉環(huán)系統(tǒng)的示例。以給水壺加熱的過程舉例，開環(huán)系統(tǒng)只是簡單的利用開關(guān)信號控制水壺的加熱。

而下圖的閉環(huán)控制系統(tǒng)中，將添加溫度傳感器所測量的信號作為系統(tǒng)的反饋量。設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的核心就是通過對閉環(huán)系統(tǒng)的控制器進(jìn)行調(diào)整，利用反饋量信號，完成閉環(huán)的穩(wěn)定控制。

同時，這就是反饋的過程。


簡單的開環(huán)系統(tǒng)有如下描述：（這里以流體力學(xué)的公式作為舉例）

添加控制器D(s)，并增加測量H(s)，構(gòu)成如下閉環(huán)系統(tǒng)。

但是在分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，一般的做法是將其轉(zhuǎn)換成為開環(huán)系統(tǒng)，并將新構(gòu)造的開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)作為研究對象，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。


1.2 穩(wěn)定性分析


對于一個系統(tǒng)，如果沒有穩(wěn)定性的先決條件，那么其他的（穩(wěn)態(tài)誤差分析、瞬態(tài)誤差分析）將無從說起。穩(wěn)定性：傳遞函數(shù)極點(diǎn)在復(fù)平面的左半邊。（橫坐標(biāo)為極點(diǎn)，縱坐標(biāo)為零點(diǎn)）

所以對于系統(tǒng)穩(wěn)定性的討論，實(shí)際上是在分析輸入為單位沖激函數(shù)時，系統(tǒng)輸出的傳遞函數(shù)。最后觀察系統(tǒng)輸出隨時間變化的曲線是否到達(dá)穩(wěn)定的位置。

零點(diǎn)和極點(diǎn)的定義如下：


分析為什么極點(diǎn)為負(fù)的，系統(tǒng)是穩(wěn)定的：


下面這個圖要更加直觀：


那么我們?nèi)绾卧O(shè)計(jì)控制器？就是將最終的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在左邊平面，叫做極點(diǎn)配置?，F(xiàn)代控制理論中，研究的是狀態(tài)矩陣的特征值，對應(yīng)的就是傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。

1.3 一起燃燒卡路里/科學(xué)減肥（系統(tǒng)分析實(shí)例_數(shù)學(xué)建模部分）


框圖表示如下：


設(shè)計(jì)比例控制器（最為簡單的控制器）如下：
那么如何設(shè)計(jì)該控制器，讓最終的系統(tǒng)趨向于穩(wěn)定狀態(tài)呢？（也就是說傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在左半邊平面）


學(xué)習(xí)控制理論一定要從微分方程入手，弄清楚微分方程與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系就會容易理解很多。

通過對于比例控制器的分析之后發(fā)現(xiàn)，單純的比例控制最終產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。


1.4 終值定理與穩(wěn)態(tài)誤差

下面討論的系統(tǒng)是存在參考信號的系統(tǒng)，類似于下圖。終值定理，用來算系統(tǒng)輸出的極限的工具。（FVT）


下圖解釋了彈簧阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，還有在沖激響應(yīng)下系統(tǒng)的終值定理的使用方式。


這里需要注意的是第二種情況，代表了輸入?yún)⒖夹盘枮閏時（相當(dāng)于r）的情況。

條件如下：


最終求出來的極限值經(jīng)過運(yùn)算就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。


1）比例控制

舉例說明。下面是一個最為簡單的一階系統(tǒng)，采用的控制方式是比例控制。


利用定理分析穩(wěn)態(tài)誤差如下：


這里說明了比例控制的局限性，必須采用更加實(shí)用性的控制算法。比例控制充法消除穩(wěn)態(tài)誤差

2）比例積分控制


并有下面變換方式：


通過引入一個積分信號，讓本來的一階系統(tǒng)變成一個二階系統(tǒng)。

1.5 根軌跡

再回到彈簧系統(tǒng)，是一個二階系統(tǒng)。


對于高階系統(tǒng)不過也是幾個一階系統(tǒng)的疊加，如下：


這一節(jié)評估了根的位置對于控制器的影響。


1.6 PID控制

比例控制

微分控制：調(diào)節(jié)水溫變化的速度，

積分控制：誤差的累計(jì)量

注意：

比例積分控制沒有單獨(dú)的比例控制收斂快

微分控制解決了超調(diào)量問題

微分控制的問題是初始狀態(tài)下的輸入值很大

同時，微分控制的控制量受到測量誤差的影響非常大。他對噪聲非常敏感


2. 數(shù)學(xué)工具

2.1 拉普拉斯逆變換


2.2 矩陣的性質(zhì)

矩陣有下面的性質(zhì)，現(xiàn)代控制理論的分析中常常會用到。

2.3 bode圖

給信號濾波的過程中，需要注意幅頻響應(yīng)。如果在帶通范圍內(nèi)不是1的話，就會改變信號的幅值，就會改變最終加速度輸出的信號。

另外，上面的圖就是bode圖，但是是基于離散系統(tǒng)的。

如何去理解bode圖？

bode圖是針對于傳遞函數(shù)而言的，用在連續(xù)系統(tǒng)上。（因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)常常用傳遞函數(shù)來表示。）

%% 這個是正解b = [1,2,3];a = [2,1,3];figure;bode(b,a)% [h1 , ftp] = freqs(b,a);mag = 20*log10(abs(h1));    % get magnitude of spectrum in dBphase = angle(h1)/pi*180;     % get phase in deg.figuresemilogx(ftp,mag)xlabel('Frequency (Hz)'),ylabel('Magnitude (dB)')

（這樣描述是和真實(shí)系統(tǒng)不一致的，具體參考濾波器性質(zhì)）


總結(jié)來說有以下幾點(diǎn)：

振幅的比較用10log10就行，但是能量的比較需要20log10


振幅與功率/能量之間的關(guān)系如下：


從一個實(shí)例出發(fā)理解bode圖

對于系統(tǒng)傳遞函數(shù)：
分析頻率響應(yīng)：
低頻：w<<a< li="">
截止頻率：w=a

這個-3dB很重要，表達(dá)的是輸出的振幅是輸入的振幅的sqrt(1/2)，能量是一半的關(guān)系。

高頻：w>>a


bode圖如下：

bode圖的作用是什么？

實(shí)際上，我們可以將級聯(lián)系統(tǒng)的子系統(tǒng)bode圖進(jìn)行累加，那么我們就得到了新的級聯(lián)系統(tǒng)的真正的bode圖了。原理如上。

2.4 單位沖激函數(shù)



三. 現(xiàn)代控制原理串講

1. 現(xiàn)代控制理論概要

首先要了解一個簡單的彈簧阻尼模型，作為控制的對象，其滿足胡克定律。
描述現(xiàn)代控制理論中的系統(tǒng)，最基礎(chǔ)的當(dāng)然是狀態(tài)空間表示法：


當(dāng)然，通過拉普拉斯變換可以轉(zhuǎn)換成下面的形式，控制對象是彈簧阻尼塊。


其中有一條重要的信息，實(shí)際上矩陣A的特征值就是G(s)的極點(diǎn)，決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。上面的右式時通用的。

去分析一個系統(tǒng)，主要需要考慮以下幾個重要的性質(zhì)。

（那么對于自動控制，只需要極點(diǎn)就夠了）

可控性


李雅普諾夫穩(wěn)定性：確定系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)，控制系統(tǒng)可以滿足數(shù)學(xué)的條件。在一階系統(tǒng)中，常常用極點(diǎn)分析的方法去觀察穩(wěn)定性。現(xiàn)代控制理論中常用到的分析系統(tǒng)的方法就是去找系統(tǒng)的V函數(shù)，得到最后是不是能夠

可觀性：狀態(tài)觀測器。系統(tǒng)狀態(tài)加入不可直接測量，那么就需要通過輸出和控制量去估計(jì)狀態(tài)。狀態(tài)觀測器需要達(dá)到一個收斂的狀態(tài)。建立觀測器時，實(shí)際上是建立一個反饋系統(tǒng)，使得誤差等于0。（這里是不是有誤差狀態(tài)量的部分？）

對于可觀測性，需要問一個問題：是不是所有系統(tǒng)都是可測的？借鑒可控性的推導(dǎo)，有下面的結(jié)論：


2. 怎樣去分析一個狀態(tài)空間方程系統(tǒng)呢？

實(shí)際上看到設(shè)計(jì)控制器就是去配置特征值的過程。這里的特征值有點(diǎn)像自動控制原理中的極點(diǎn)的概念，決定了系統(tǒng)隨時間是收斂的，還是振動的，還是逼近于無窮的。

下面是對于一個控制系統(tǒng)的分析過程，利用配置特征值的方法可以確定比例控制的控制系數(shù)u與狀態(tài)量x之間的關(guān)系。



四. 最后的一些思考

軌跡跟蹤與制導(dǎo)之間的關(guān)系

軌跡跟蹤的目標(biāo)是使?fàn)顟B(tài)和參考狀態(tài)的誤差保持在0附近。舉例，對深空飛行器而言，按照軌跡優(yōu)化+軌跡跟蹤這兩個步驟實(shí)現(xiàn)控制。

參考軌跡是人為設(shè)計(jì)的，可以是全局最優(yōu)的，也可以是次優(yōu)的。然后把跟蹤誤差保持在0附近，這也有一套控制律，比如LQR軌跡跟蹤器。

狀態(tài)控制按照給定的控制律，在航天器軌跡控制中叫做制導(dǎo)；在姿態(tài)控制中好像沒見過先設(shè)計(jì)好姿態(tài)運(yùn)動規(guī)律的，都是即時控制。

制導(dǎo)律必須全局漸進(jìn)穩(wěn)定，適用于高動態(tài)的環(huán)境，比如空空導(dǎo)彈采用比例導(dǎo)引法。

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