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你能用上降噪耳機(jī),竟要感謝傅立葉變換?

共 2204字,需瀏覽 5分鐘

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2021-04-06 13:14


來源:新智元

本文約1500字,建議閱讀5分鐘

本文為你介紹數(shù)字音樂、數(shù)字圖像都要用的公式"傅立葉變換"。


[ 導(dǎo)讀 ] 周杰倫的音樂再厲害,沒有這個(gè)公式,你也聽不到。


處在數(shù)字化社會中的你們,一定要感謝"傅立葉變換"。

 

感謝它提供你每天流媒體的音樂,把你在互聯(lián)網(wǎng)上看到的圖像壓縮成小小的 JPG 文件,甚至于你的降噪耳機(jī)也要?dú)w功于他。

 

可以說,這個(gè)方程的魔力在于它能讓數(shù)學(xué)家們快速理解任何一種信號的頻率含量。

 

3月21日,是"傅立葉變換"的提出者——約瑟夫·傅里葉的生日。

 

 

讓我們一起回顧一下,這個(gè)美麗的壯舉。


傅立葉定理的誕生
 
傅立葉定理的優(yōu)美被許多人所贊嘆。
 
1867年,物理學(xué)家開爾文勛爵也曾大方表達(dá)了他對這個(gè)優(yōu)秀數(shù)學(xué)作品的永恒熱愛。
 
他寫道: "傅立葉定理不僅是現(xiàn)代分析中最美麗的結(jié)果之一,而且是處理現(xiàn)代物理學(xué)中幾乎每一個(gè)深奧問題的不可或缺的工具。"
 
1822年,傅立葉在他出版的《熱的分析理論》一書中首次提出了"傅立葉"變換這個(gè)概念。
 
傅里葉一直對熱在材料內(nèi)部和周圍流動的方式很感興趣,在研究這種現(xiàn)象的過程中,他推導(dǎo)出了傅立葉變換。
 
傅立葉的重大突破是意識到復(fù)雜的信號可以通過簡單地疊加一系列簡單得多的信號來表示。于是,他選擇通過疊加正弦波來完成這項(xiàng)工作。
 
當(dāng)然,當(dāng)時(shí)的他不會意識到自己所做的貢獻(xiàn)有多么重要。
 
傅立葉定理如何解釋?讓我們做一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔鳎?/span>
 
假設(shè)你在鋼琴上彈了一個(gè)和弦,按了三個(gè)鍵。你會產(chǎn)生三種不同的音符,它們都有明確的頻率,這些音符看起來像是美妙的、友好的正弦波。
 
 
但是把它們加在一起,那個(gè)悅耳的和弦實(shí)際上看起來卻很凌亂,像這樣:
 
 
它雖然看起來很復(fù)雜,但從根本上說,它只是三個(gè)普通的正弦波,在時(shí)間上交錯(cuò)并相互疊加。
 
傅立葉從中意識到,無論最終的波形多么復(fù)雜,它始終可以表示為正弦波的組合,即使意味著包含無限多個(gè)基礎(chǔ)波形。
 
如果能算出哪些正弦波需要疊加起來才能產(chǎn)生最終的波形,就能準(zhǔn)確地知道哪些頻率波的需要疊加起來,以及疊加的數(shù)量。
 
有了這些,你就可以知道最終信號的確切頻率。
 
這就是傅立葉變化方程中描述的作用。x (t)項(xiàng)表示你想表示的復(fù)雜的信號。
E ー jπ2ft 這個(gè)術(shù)語看起來有點(diǎn)復(fù)雜,但它實(shí)際上只是數(shù)學(xué)家們用來表示正弦曲線的速記法。
 
而巧妙之處在于則在于,將兩者相乘,然后將它們包裹在一個(gè)積分中,使得方程能夠挑選出表示信號所需要的三角函數(shù)的每一個(gè)頻率分量。
 
等式的結(jié)果X (f) ,提供了所需要的每個(gè)簡單信號的大小和時(shí)間延遲。
 
想象你在互聯(lián)網(wǎng)上傳送音頻文件。
 
你可以像音樂公司最初錄制歌曲那樣,把整首歌放進(jìn)去,但是這樣的話,需要很大的存儲空間: 每一個(gè)頻率都被記錄下來,通過混合后,到最后的音軌上。
 
但是,如果用傅立葉變換,只需要一小段音軌,你會發(fā)現(xiàn)有些頻率成分居于主導(dǎo)地位,而其他成分則幾乎沒有記錄。
 
MP3文件格式正是基于這個(gè)原理運(yùn)行的ーー為了節(jié)省空間,它把幾乎察覺不到的頻率部分舍棄掉了。
 
在整首歌中,確定重要的頻率成分,丟棄那些不重要的部分,剩下的只是最重要的頻率,以(相當(dāng)準(zhǔn)確地)表現(xiàn)原始的音軌。
 
無獨(dú)有偶,音樂識別軟件Shazam 也使用了同樣的轉(zhuǎn)換方式ーー它有一個(gè)數(shù)據(jù)庫,里面有與你播放的歌曲相匹配的獨(dú)特頻率內(nèi)容。
 
 
你的抗噪耳機(jī)也和傅立葉變換有關(guān):麥克風(fēng)記錄你周圍的環(huán)境噪音,測量整個(gè)頻譜的頻率內(nèi)容,然后將聲音內(nèi)容反相添到你的音頻混音中,抵消周圍的道噪音。
 
用于像素處理
 
但傅立葉方程并非只有一種應(yīng)用領(lǐng)域。剛剛只談到了像聲音這樣的時(shí)間信號,但它也同樣適用于空間問題。對于 Forueir 來說,它意味著將簡單的二維熱流加在一起來表示更復(fù)雜的熱流。
 
同樣的道理,傅立葉變換圖像處理軟件也可以比逐像素處理軟件更有效地構(gòu)建數(shù)字圖像。
 
減損圖像文件中分別定義著每個(gè)像素的顏色。當(dāng)你將其中一張保存為 JPG 格式時(shí),整個(gè)圖像就會被分割成更小的塊,然后就可以得到這個(gè)塊的2 d 傅立葉變換了。
 
它描述了圖像中這一小塊區(qū)域的顏色和亮度變化的空間頻率。就像 MP3的例子一樣,JPG 將一些高頻成分拋在一邊,而在圖像的例子中,這些成分提供了清晰、明快的細(xì)節(jié)。
 
對于我們大多數(shù)人來說,我們的眼睛無論如何也不能真正發(fā)現(xiàn)顏色上的細(xì)微差別,所以忽略提供像素到像素變化的頻率成分幾乎無法顯示。
 
顯然,如果你進(jìn)行更大程度的壓縮,隨著各個(gè)子塊之間的顏色變化變得越來越明顯,圖像就會開始顯得模糊。
 
MP3和 JPG 等壓縮系統(tǒng)大多數(shù)時(shí)候幾乎無法察覺。換句話說,傅立葉變換讓數(shù)字圖像和音樂變得實(shí)用,讓我們可以輕松地分享它們。


編輯:于騰凱
校對:林亦霖

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