漫話：如何給女朋友解釋為什么計算機中 0.2 + 0.1 不等于 0.3 ？

為什么當(dāng)我們使用電腦瀏覽器計算0.2+0.1的時候，解決卻是0.30000000000000004，而0.1+0.6的結(jié)果卻是0.7呢？

這個問題其實一直是一個經(jīng)典的問題，甚至有一個網(wǎng)站的域名就是https://0.30000000000000004.com/ ，主要就是解釋這個問題的。

在這個網(wǎng)站中，列舉了各種編程語言中計算0.2+0.1的結(jié)果，摘選幾個如下：

可以看到，在各種語言中，計算0.2+0.1的結(jié)果都出奇的一致，那就是這個神奇的0.30000000000000004。

其實，當(dāng)我們使用瀏覽器的控制臺（F12）進行計算的時候，用到的就是JavaScript語言進行計算的，所以，前面的現(xiàn)象，歸根結(jié)底其實和具體的編程語言無關(guān)。

主要問題還是計算機中到底是如何表示小數(shù)以及如何進行小數(shù)運算的。

我們知道，計算機只認識0和1 [為什么計算機只認識0和1]，現(xiàn)實世界中的內(nèi)容想要通過計算機存儲、計算或者展示，都需要轉(zhuǎn)換2進制。在現(xiàn)實世界中，數(shù)字主要有整數(shù)和小數(shù)兩種。

在之前的[為什么計算機用補碼存儲數(shù)據(jù)]這篇文章中，我們介紹過，計算機中表示整數(shù)的方式有很多，如原碼、反碼以及補碼等。

整數(shù)包括正整數(shù)、負整數(shù)以及零。在計算機中存儲的整數(shù)則分為有符號數(shù)和無符號數(shù)。

對于無符號數(shù)，采用哪種編碼方式都無所謂，對于有符號數(shù)的編碼方式，常用的是補碼。

那么，一個十進制數(shù)字想要獲得其二進制的補碼，需要先通過一定的算法得到他對應(yīng)的原碼。

首先我們看一下，如何把十進制整數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制整數(shù)？

十進制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制整數(shù)采用"除2取余，逆序排列"法。

具體做法是：

• 用2整除十進制整數(shù)，可以得到一個商和余數(shù)；

• 再用2去除商，又會得到一個商和余數(shù)，如此進行，直到商為小于1時為止

• 然后把先得到的余數(shù)作為二進制數(shù)的低位有效位，后得到的余數(shù)作為二進制數(shù)的高位有效位，依次排列起來。

如，我們想要把127轉(zhuǎn)換成二進制，做法如下：

那么，十進制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制小數(shù)，又該如何計算呢？

十進制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制小數(shù)采用"乘2取整，順序排列"法。

具體做法是：* 用2乘十進制小數(shù)，可以得到積 * 將積的整數(shù)部分取出，再用2乘余下的小數(shù)部分，又得到一個積 * 再將積的整數(shù)部分取出，如此進行，直到積中的小數(shù)部分為零，此時0或1為二進制的最后一位?；蛘哌_到所要求的精度為止。

所以，十進制的0.625對應(yīng)的二進制就是0.101。

我們知道了如何將一個十進制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制，那么是不是計算就可以直接用二進制表示小數(shù)了呢？

前面我們的例子中0.625是一個特列，那么還是用同樣的算法，請計算下0.1對應(yīng)的二進制是多少？

我們發(fā)現(xiàn)，0.1的二進制表示中出現(xiàn)了無限循環(huán)的情況，也就是(0.1)10 = (0.000110011001100…)2

這種情況，計算機就沒辦法用二進制精確的表示0.1了。

也就是說，對于像0.1這種數(shù)字，我們是沒辦法將他轉(zhuǎn)換成一個確定的二進制數(shù)的。

為了解決部分小數(shù)無法使用二進制精確表示的問題，于是就有了IEEE 754規(guī)范。

IEEE二進制浮點數(shù)算術(shù)標(biāo)準(zhǔn)（IEEE 754）是20世紀(jì)80年代以來最廣泛使用的浮點數(shù)運算標(biāo)準(zhǔn)，為許多CPU與浮點運算器所采用。

浮點數(shù)和小數(shù)并不是完全一樣的，計算機中小數(shù)的表示法，其實有定點和浮點兩種。因為在位數(shù)相同的情況下，定點數(shù)的表示范圍要比浮點數(shù)小。所以在計算機科學(xué)中，使用浮點數(shù)來表示實數(shù)的近似值。

IEEE 754規(guī)定了四種表示浮點數(shù)值的方式：單精確度（32位）、雙精確度（64位）、延伸單精確度（43比特以上，很少使用）與延伸雙精確度（79比特以上，通常以80位實現(xiàn)）。

其中最常用的就是32位單精度浮點數(shù)和64位雙精度浮點數(shù)。

IEEE并沒有解決小數(shù)無法精確表示的問題，只是提出了一種使用近似值表示小數(shù)的方式，并且引入了精度的概念。

浮點數(shù)是一串0和1構(gòu)成的位序列(bit sequence)，從邏輯上用三元組{S,E,M}表示一個數(shù)N,如下圖所示：

• S(sign)表示N的符號位。對應(yīng)值s滿足：n>0時，s=0; n≤0時，s=1。

• E(exponent)表示N的指數(shù)位，位于S和M之間的若干位。對應(yīng)值e值也可正可負。

• M(mantissa)表示N的尾數(shù)位，恰好，它位于N末尾。M也叫有效數(shù)字位（significand）、系數(shù)位（coefficient）, 甚至被稱作"小數(shù)"。

則浮點數(shù)N的實際值n由下方的式子表示：

上面這個公式看起來很復(fù)雜，其中符號位和尾數(shù)位還比較容易理解，但是這個指數(shù)位就不是那么容易理解了。

其實，大家也不用太過于糾結(jié)這個公式，大家只需要知道對于單精度浮點數(shù)，最多只能用32位字符表示一個數(shù)字，雙精度浮點數(shù)最多只能用64位來表示一個數(shù)字。

而對于那些無限循環(huán)的二進制數(shù)來說，計算機采用浮點數(shù)的方式保留了一定的有效數(shù)字，那么這個值只能是近似值，不可能是真實值。

至于一個數(shù)對應(yīng)的IEEE 754浮點數(shù)應(yīng)該如何計算，不是本文的重點，這里就不再贅述了，過程還是比較復(fù)雜的，需要進行對階、尾數(shù)求和、規(guī)格化、舍入以及溢出判斷等。

但是這些其實不需要了解的太詳細，我們只需要知道，小數(shù)在計算機中的表示是近似數(shù)，并不是真實值。根據(jù)精度不同，近似程度也有所不同。

如0.1這個小數(shù)，他對應(yīng)的在雙精度浮點數(shù)的二進制為：0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001 。

0.2這個小數(shù)0.00110011001100110011001100110011001100110011001100110011 。

所以兩者相加：

轉(zhuǎn)換成10進制之后得到：0.30000000000000004！

在Java中，使用float表示單精度浮點數(shù)，double表示雙精度浮點數(shù)，表示的都是近似值。

所以，在Java代碼中，千萬不要使用float或者double來進行高精度運算，尤其是金額運算，否則就很容易產(chǎn)生資損問題。

為了解決這樣的精度問題，Java中提供了BigDecimal來進行精確運算。