?DeepMind Nature發(fā)文：AI首次實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重大進(jìn)展
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希望這項(xiàng)工作可以作為深化數(shù)學(xué)和AI領(lǐng)域之間合作的一個(gè)模型。
作為一門古老的學(xué)科，數(shù)學(xué)的內(nèi)容包括發(fā)現(xiàn)某種模式，并使用這些模式來表述和證明猜想，從而產(chǎn)生定理。
自20世紀(jì)60年代以來，數(shù)學(xué)家們一直使用計(jì)算機(jī)來幫助發(fā)現(xiàn)猜想的模式和公式，最著名的案例是Birch and Swinnerton-Dyer conjecture（貝赫和斯維訥通-戴爾猜想），這個(gè)猜想是千禧年數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)的七個(gè)問題之一，是數(shù)論領(lǐng)域的著名問題。
但是，時(shí)至今日，計(jì)算機(jī)證明基礎(chǔ)數(shù)學(xué)重要定理的例子也并不多見。
現(xiàn)在，DeepMind的一項(xiàng)成果展示了更多的可能性：計(jì)算機(jī)科學(xué)家和數(shù)學(xué)家們首次使用AI來幫助證明或提出新的數(shù)學(xué)定理，包括復(fù)雜理論中的紐結(jié)理論（knot theory）和表象理論（representation theory）。
在該論文中，作者團(tuán)隊(duì)提出采用一種機(jī)器學(xué)習(xí)模型，來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的潛在模式和關(guān)聯(lián)，用歸因技術(shù)加以輔助理解，并利用這些觀察進(jìn)一步指導(dǎo)直覺思維和提出猜想的過程。
喬迪·威廉姆森教授（Geordie Williamson）是悉尼大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)，也是世界上最重要的數(shù)學(xué)家之一，他在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著非凡的成績(jī)。作為該論文的合著者，他成功發(fā)揮Deep Mind的AI力量，在其專業(yè)領(lǐng)域——表象理論中展開了大膽的探索猜想。
圖丨Geordie Williamso基礎(chǔ)數(shù)學(xué)無(wú)疑屬于重大科學(xué)問題的范疇（甚至可以說是地基）。正如Geordie Williamson教授所說：“數(shù)學(xué)問題一度被認(rèn)為是最具智力挑戰(zhàn)性的問題……雖然數(shù)學(xué)家們已經(jīng)使用ML來幫助分析復(fù)雜的數(shù)據(jù)集，但這是我們第一次使用計(jì)算機(jī)來輔助形成猜想，或?yàn)閿?shù)學(xué)中未經(jīng)證實(shí)的想法提出可能的突破路線。”
眾所周知，數(shù)學(xué)家的直覺在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中起著極其重要的作用——“只有結(jié)合嚴(yán)格的形式主義和良好的直覺思維，才能解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題”。
如上圖所示，論文中描述了一種通用的框架方法，在這個(gè)框架方法之下，數(shù)學(xué)家可以使用ML工具來指導(dǎo)他們對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)對(duì)象的直覺，驗(yàn)證關(guān)系存在的假設(shè)，并理解這些關(guān)系。
Williamson教授就利用DeepMind的AI，在證明關(guān)于Kazhdan-Lusztig多項(xiàng)式的古老猜想的道路上離目標(biāo)越來越近，當(dāng)然，這些猜想涉及高維代數(shù)中的深度對(duì)稱性?？梢哉f，Kazhdan-Lusztig（KL）是代數(shù)群表示論近40年來最重要的發(fā)展之一。
而來自牛津大學(xué)（University of Oxford）的Marc Lackeby教授和András Juhász教授，則進(jìn)一步研究了這一過程。
他們發(fā)現(xiàn)了紐結(jié)的代數(shù)和幾何不變量之間驚人的關(guān)聯(lián)，建立了數(shù)學(xué)中一個(gè)全新的定理。這些不變量有許多不同的推導(dǎo)方式，研究團(tuán)隊(duì)將目標(biāo)主要聚焦在兩大類：雙曲不變量和代數(shù)不變量。兩者來自完全不同的學(xué)科，增加了研究的挑戰(zhàn)性和趣味性。圖2給出了不變量的一些示例。
紐結(jié)理論本身就散發(fā)著無(wú)窮的魅力，毫無(wú)疑問，物理科學(xué)領(lǐng)域也深深地被其吸引著，紐結(jié)理論得到了廣泛的應(yīng)用，從理解DNA鏈、流體動(dòng)力學(xué)，一直到太陽(yáng)日冕（the Sun’s corona）中的力的相互作用等。
Juhász教授說：“純數(shù)學(xué)家的工作方式是制定猜想并證明這些猜想，從而得出定理。但是，這些猜想從何而來呢？”
文章已經(jīng)證明，在數(shù)學(xué)直覺思維的指導(dǎo)下，ML提供了一個(gè)強(qiáng)大的框架，可以在有大量數(shù)據(jù)可用的領(lǐng)域，或者對(duì)象太大而無(wú)法應(yīng)用經(jīng)典方法研究的領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)有趣且可證明的猜想。
Lackeby教授也表示：“使用ML來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域之間新穎和意想不到的聯(lián)系，一直是一件很有趣的事情。我相信，我們?cè)谂＝虼髮W(xué)和悉尼大學(xué)與DeepMind聯(lián)合完成的工作中足以證明，ML可以成為數(shù)學(xué)研究中真正有用的工具?！?/span>
Williamson教授說：“AI堪稱為一款非凡的工具。這項(xiàng)工作第一次證明了，它對(duì)像我這樣的純數(shù)學(xué)家的有用性。經(jīng)驗(yàn)直覺可以帶我們走很長(zhǎng)一段路，但AI可以幫助我們找到人類思維可能并不總是容易發(fā)現(xiàn)的關(guān)聯(lián)?！?br style="outline: 0px;max-width: 100%;box-sizing: border-box !important;overflow-wrap: break-word !important;">
如其所言，直覺在許多人類追求的超常表現(xiàn)中扮演著重要的角色。
例如，它對(duì)頂級(jí)圍棋選手至關(guān)重要，AlphaGo之所以成功，部分源自于它能夠使用ML來學(xué)習(xí)人類直觀表現(xiàn)的游戲元素。同樣地，它也被認(rèn)為是頂尖數(shù)學(xué)家的關(guān)鍵——拉馬努揚(yáng)被譽(yù)為“直覺王子”，激發(fā)了著名數(shù)學(xué)家思考直覺在其研究領(lǐng)域地位的好奇心。
但與圍棋相比，數(shù)學(xué)又是一種與眾不同的、更具合作性的工作，因此AI在協(xié)助數(shù)學(xué)家完成相關(guān)方面的工作，的確具備卓有成效的空間和潛力。
對(duì)于AI和數(shù)學(xué)之間的關(guān)系能否融通共進(jìn)的討論，在CCAI2019學(xué)術(shù)會(huì)議上，徐宗本院士也曾慷慨激昂地帶來主題為《AI與數(shù)學(xué)：融通共進(jìn)》的報(bào)告，他提出，AI與數(shù)學(xué)在方法論上具有驚人的一致性。AI的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)，要想行穩(wěn)致遠(yuǎn)，首要考慮的是解決好數(shù)學(xué)問題；而AI的發(fā)展必然也會(huì)助力數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究。
論文中團(tuán)隊(duì)也有著類似的希冀，他們表示，希望這項(xiàng)工作可以作為深化數(shù)學(xué)和AI領(lǐng)域之間合作的一個(gè)模型，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)和ML各自的優(yōu)勢(shì)，以達(dá)到讓人驚嘆的效果。
Williamson教授說，“對(duì)我來說，這些發(fā)現(xiàn)給出了足夠的提醒，智力并非是單一的變量，就像一個(gè)智商數(shù)字。顯然，智力的最佳定義，應(yīng)該是將其視為一種多軸的多維空間：學(xué)術(shù)智力（academic intelligence）、情感智力（emotional intelligence）、社會(huì)智力（social intelligence）。
我希望AI能為我們提供另一個(gè)可以合作的智能軸，這個(gè)新的軸將有力地加深我們對(duì)數(shù)學(xué)世界的理解?！?/span>
編輯：黃繼彥
校對(duì)：龔力
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