基于差分的求和方法 與 阿貝爾變換

這里介紹基于差分的有限項求和方法，并引出分部求和公式——「阿貝爾變換」

abstract.png 基于差分的求和方法

函數(shù)的前向差分通常簡稱為函數(shù)的差分。定義如下：

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其中，??為差分算子。這里令g(x)為f(x)差分后的函數(shù)

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則對g(x)的求和過程可轉(zhuǎn)換為對原函數(shù)f(x)的計算，即：

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事實上，證明(1.3)式也很簡單，如下

figure 4.jpeg 升階乘、降階乘

這里，我們在指數(shù)m處使用上劃線表示升階乘。表示有m個因子一直向上乘

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同理，可以在指數(shù)m處使用下劃線表示降階乘。表示有m個因子一直向下乘

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特別地：

figure 7.jpeg 常用差分-逆差分對

從上不難看出，在對g(x)求和時，可將g(x)視為f(x)的差分。此時我們只需找出g(x)的逆差分函數(shù)f(x)即可。這里給出常用的差分-逆差分對

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這里對移位算子E進行說明

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對于上表的常用差分-逆差分對，我們選擇最后一個進行證明，如下所示

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之所以要對最后一個進行特別強調(diào)，是因為它暗含了一個與分部積分類似的分部求和方法。即所謂的「阿貝爾變換」

figure 11.jpeg 參考文獻

1. 具體數(shù)學 · 第2版 Ronald L.Graham、Oren Patashnik、Donald E.Knuth著