?PDF、CDF、CCDF圖的區(qū)別

PDF：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是一個描述這個隨機(jī)變量的輸出值,在某個確定的取值點(diǎn)附近的可能性的函數(shù)。

概率密度函數(shù)，描述可能性的變化情況，比如正態(tài)分布密度函數(shù)，給定一個值, 判斷這個值在該正態(tài)分布中所在的位置后, 獲得其他數(shù)據(jù)高于該值或低于該值的比例。

CDF：能完整描述一個實(shí)數(shù)隨機(jī)變量x的概率分布，是概率密度函數(shù)的積分。隨機(jī)變量小于或者等于某個數(shù)值的概率P（X<=x）即：F(x) = P(X<=x)。

可使用 CDF 確定取自總體的隨機(jī)觀測值將小于或等于特定值的概率。還可以使用此信息來確定觀測值將大于特定值或介于兩個值之間的概率。

對于所有實(shí)數(shù)x,CDF（cumulative distribution function）,與概率密度函數(shù)PDF(probability density function）相對。任何一個CDF，是一個不減函數(shù)，累積和為1。累計(jì)分段概率值就是所有比給定x小的數(shù)在數(shù)據(jù)集中所占的比例。任意特定點(diǎn)處的填充x的 CDF 等于 PDF 曲線下直至該點(diǎn)左側(cè)陰影面積。

←概率密度函數(shù)PDF→

圖中陰影面積=隨機(jī)選擇一個小于x的值的概率=總體中小于x的所有值所占比例

上面的pdf描述了CDF的變化趨勢，即曲線的斜率。

CCDF：互補(bǔ)累積分布函數(shù)（complementary cumulative distribution function），是對連續(xù)函數(shù)，所有大于a的值，其出現(xiàn)概率的和。CDF 曲線從 0% 的概率上升到 100% 的概率，而 CCDF 曲線則從 100% 的概率下降到 0% 的概率。

累積分布函數(shù)（CDF）=∫PDF（曲線下的面積 = 1 或 100%）。

互補(bǔ)累積分布函數(shù)（CCDF）= 1-CDF。

?PDF與CDF對比示意圖

在 Python 中使用scipy.stats.norm.ppf()計(jì)算 CDF

import?numpy?as?np
from?scipy.stats?import?norm
import?matplotlib.pyplot?as?plt

#?均值10，方差1,正態(tài)分布模擬數(shù)據(jù)
data?=?np.random.normal(10,?1,?100)

#計(jì)算正態(tài)概率密度函數(shù)在x處的值
def?norm_dist_prob(theta):
????y?=?norm.pdf(theta,?loc=np.mean(data),?scale=np.std(data))
????return?y

#計(jì)算正態(tài)分布累積概率值
def?norm_dist_cdf(theta):
????y?=?norm.cdf(theta,loc=10,scale=1)
????return?y
????
#利用ppf找到適合的橫坐標(biāo)，百分點(diǎn)函數(shù)
#ppf分位點(diǎn)函數(shù)（CDF的逆）即累計(jì)分布函數(shù)的逆函數(shù)（分位點(diǎn)函數(shù)，給出分位點(diǎn)返回對應(yīng)的x值）。
#scipy.stats.norm.ppf(0.95， loc=0，scale=1)返回累積分布函數(shù)中概率等于0.95對應(yīng)的x值（CDF函數(shù)中已知y求對應(yīng)的x）。
x?=?np.linspace(norm.ppf(0.01,loc=np.mean(data),?scale=np.std(data)),
????????????????norm.ppf(0.99,loc=np.mean(data),?scale=np.std(data)),?len(data))??#linspace()?函數(shù)返回指定間隔內(nèi)均勻間隔數(shù)字的 ndarray。

y1=norm_dist_prob(x)
y2=norm_dist_cdf(x)
plt.plot(x,?y1,'g',label='pdf')
plt.plot(x,?y2,'r',label='cdf')
plt.show()

←PDF與CDF分布曲線對比→

Python中計(jì)算累積分布函數(shù)

利用某設(shè)備三種工況條件下監(jiān)測時間序列數(shù)據(jù)，對比分析不同工況下設(shè)備運(yùn)行性能差異。這里數(shù)據(jù)大家可自行構(gòu)造測試。

#CDF數(shù)據(jù)處理
def?Cumsum_cdf(DATA):
????denominator?=?len(DATA['VALS'])
????Data1?=?pd.Series(DATA['VALS'])

????#?#利用value_counts方法進(jìn)行分組頻數(shù)計(jì)算
????Fre=Data1.value_counts()
????#?#對獲得的表格整體按照索引自小到大進(jìn)行排序
????Fre_sort=Fre.sort_index(axis=0,ascending=True)
????#?#?每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻數(shù)除以數(shù)據(jù)總數(shù)才能獲得該數(shù)據(jù)的概率
????#?#重置表格索引
????Fre_df=Fre_sort.reset_index()
????#?#將頻數(shù)轉(zhuǎn)換成概率
????Fre_df['VALS']=Fre_df['VALS']/denominator
????#?#將列表列索引重命名
????Fre_df.columns=['Rds','Fre']

????#?#?將數(shù)據(jù)列表從小到大排列，然后將每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率進(jìn)行疊加
????#?#利用cumsum函數(shù)進(jìn)行概率的累加并按照順序添加到表格中
????Fre_df['cumsum']=np.cumsum(Fre_df['Fre'])

????return?Fre_df
????
def?Cumulative_Distribution_Function(DATA,VAL1?=300):
????import?matplotlib.pyplot?as?plt
????from?scipy.special?import?jn,?jn_zeros
????plt.rcParams['font.sans-serif']?=?['SimHei']??#?用來正常顯示中文標(biāo)簽
????plt.rcParams['axes.unicode_minus']?=?False??#?用來正常顯示負(fù)號

????df_A1,df_A2,df_A3?=?DATA
????#cdf數(shù)據(jù)處理函數(shù),添加三條曲線
????Fre_A1?=?Cumsum_cdf(df_A1[df_A1.VALS?>?0])
????Fre_A2?=?Cumsum_cdf(df_A2[df_A2.VALS?>?0])
????Fre_A3?=?Cumsum_cdf(df_A3[df_A3.VALS?>?0])

????#?創(chuàng)建畫布，只有一張圖，也可以多張
????#?plot?=?plt.figure()
????fig,?ax1=?plt.subplots(figsize=(8,?4),?dpi=200)
????ax1.spines["right"].set_visible(False)
????ax1.spines["top"].set_visible(False)
????ax1.grid(ls="--",?lw=0.25,?color="#4E616C")

????#?按照Rds列為橫坐標(biāo)，累計(jì)概率分布為縱坐標(biāo)作圖
????#添加三條數(shù)據(jù)曲線
????ax1.plot(Fre_A1['Rds'],?Fre_A1['cumsum'],?label=f'工況1',?mfc="white",?ms=5)
????ax1.plot(Fre_A2['Rds'],?Fre_A2['cumsum'],?label=f'工況2',?mfc="white",?ms=5)
????ax1.plot(Fre_A3['Rds'],?Fre_A3['cumsum'],?label=f'工況3',?mfc="white",?ms=5)


????#?#?圖的標(biāo)題
????ax1.legend(loc='upper?left',
??????????????frameon=False,
??????????????edgecolor="None",fontsize=8)

????#峰值負(fù)載
????upper_peak?=?max(Fre_A1['Rds'].max(),Fre_A2['Rds'].max(),Fre_A3['Rds'].max())

????f1_A25?=?Fre_A3[Fre_A3['Rds']?/?VAL1?>=?0.25]["cumsum"].to_list()[0]
????f1_A50?=?Fre_A3[Fre_A3['Rds']?/?VAL1?>=?0.5]["cumsum"].to_list()[0]

????#?#?顯示坐標(biāo)點(diǎn)橫線、豎線
????peak?=?round(upper_peak/VAL1,2)*100
????
????#?#?峰值點(diǎn)負(fù)載率
????ax1.annotate(
????????f"$({peak}$%$,100$%$)$",?#?標(biāo)注文字
????????(upper_peak,1),
????????#?size="small",#medium
????????xytext=(-65,?-40),
????????textcoords="offset?points",
????????fontsize=10,
????????arrowprops=dict(
????????????arrowstyle="->",
????????????connectionstyle="arc3,rad=-0.3"),?)

????#25%、50%分界線
????plt.vlines(VAL1?*?0.25,?0,f1_A25,?colors="c",?linestyles="dashed")

????plt.vlines(VAL1?*?0.5,?0,?f1_A50,?colors="c",?linestyles="dashed")

????#峰值線
????plt.vlines(upper_peak,?0,1,colors="r",?linestyles="dashed")


????#添加陰影區(qū)域，工況1
????X?=?Fre_A1['Rds'].tolist()
????C?=?Fre_A1['cumsum'].tolist()
????x?=?np.array([i?for?i?in?X])
????plt.fill_between(x,C,where=(VAL1*0.5*0.8?'green')

????#標(biāo)注工況3,50%負(fù)載概率值
????ax1.annotate(
????????f"$(50$%$,{round(f1_A50,2)*100}$%$)$",?#?標(biāo)注文字
????????(VAL1*0.5,f1_A50),
????????#?size="small",#medium
????????xytext=(-65,?-40),
????????textcoords="offset?points",
????????fontsize=10,
????????arrowprops=dict(
????????????arrowstyle="->",
????????????connectionstyle="arc3,rad=-0.3"),?)

????#標(biāo)注分界線名稱
????ax1.text(
????????VAL1?*?0.27,?0.10,
????????f'25%負(fù)載率界限',
????????va="top",?ha="left",
????????size=8)

????ax1.text(
????????VAL1?*?0.52,?0.10,
????????f'50%負(fù)載率界限',
????????va="top",?ha="left",
????????size=8)

????#主題名稱
????team_?=?ax1.text(
????????x=0,?y=ax1.get_ylim()[1]?+?ax1.get_ylim()[1]?/?20,
????????s=f"Cumulative?probability",
????????color="#4E616C",
????????va='center',
????????ha='left',
????????size=8
????)
????#?橫軸名
????ax1.set_xlabel("用電量（kWh）",fontsize?=8)

????plt.savefig(r".\test.png",bbox_inches="tight")

????return?plt

←某設(shè)備不同工況實(shí)際用能運(yùn)行曲線對比→

利用 CDF（概率累積分布函數(shù)）分析數(shù)據(jù)集分布情況。分析概率分布函數(shù)曲線可以快速、簡明地描述并量化由不同工況下導(dǎo)致的長期電能消耗中的細(xì)節(jié)差異。

注：

1、數(shù)據(jù)形式--dataframe

#?外部導(dǎo)入數(shù)據(jù)
DF?=?pd.read_excel(r".\ST\分析數(shù)據(jù).xlsx")
df_A1?=?DF[["工況1"]].copy()
df_A1?=?df_A1.rename(columns={'工況1':?'VALS'})
df_A2?=?DF[["工況2"]].copy()
df_A2?=?df_A2.rename(columns={'工況2':?'VALS'})
df_A3?=?DF[["工況3"]].copy()
df_A3?=?df_A3.rename(columns={'工況3':?'VALS'})
DATA?=?df_A1,df_A2,df_A3

VAL1?=300，VAL1這里表示設(shè)備功率值,其通常也作為異常參考閾值。這里不展開業(yè)務(wù)相關(guān)分析。

2、標(biāo)注角度可按下圖調(diào)整，更多.annotate（）參數(shù)用法可上網(wǎng)查詢。

3、圖形美化自定義---參考以往推文一圖勝千言，圖解Matplotlib ！

??點(diǎn)擊關(guān)注｜設(shè)為星標(biāo)｜干貨速遞??

Python中概率累計(jì)分布函數(shù)（CDF）分析

PDF：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是一個描述這個隨機(jī)變量的輸出值,在某個確定的取值點(diǎn)附近的可能性的函數(shù)。

概率密度函數(shù)，描述可能性的變化情況，比如正態(tài)分布密度函數(shù)，給定一個值, 判斷這個值在該正態(tài)分布中所在的位置后, 獲得其他數(shù)據(jù)高于該值或低于該值的比例。

CDF：能完整描述一個實(shí)數(shù)隨機(jī)變量x的概率分布，是概率密度函數(shù)的積分。隨機(jī)變量小于或者等于某個數(shù)值的概率P（X<=x）即：F(x) = P(X<=x)。

可使用 CDF 確定取自總體的隨機(jī)觀測值將小于或等于特定值的概率。還可以使用此信息來確定觀測值將大于特定值或介于兩個值之間的概率。

上面的pdf描述了CDF的變化趨勢，即曲線的斜率。