圖像處理基礎：圖像的灰度變換
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灰度變換也被稱為圖像的點運算（只針對圖像的某一像素點）是所有圖像處理技術中最簡單的技術，其變換形式如下：
其中，T是灰度變換函數(shù)；r是變換前的灰度；s是變換后的像素。
圖像灰度變換的有以下作用：
改善圖像的質量，使圖像能夠顯示更多的細節(jié)，提高圖像的對比度（對比度拉伸）；
有選擇的突出圖像感興趣的特征或者抑制圖像中不需要的特征；
可以有效的改變圖像的直方圖分布，使像素的分布更為均勻。
常見的灰度變換
灰度變換函數(shù)描述了輸入灰度值和輸出灰度值之間變換關系，一旦灰度變換函數(shù)確定下來了，那么其輸出的灰度值也就確定了。
可見灰度變換函數(shù)的性質就決定了灰度變換所能達到的效果。用于圖像灰度變換的函數(shù)主要有以下三種：
線性函數(shù) （圖像反轉）
對數(shù)函數(shù):對數(shù)和反對數(shù)變換
冪律函數(shù)：n次冪和n次開方變換
上圖給出了幾種常見灰度變換函數(shù)的曲線圖，根據(jù)這幾種常見函數(shù)的曲線形狀，可以知道這幾種變換的所能達到的效果。
例如，對數(shù)變換和冪律變換都能實現(xiàn)圖像灰度級的擴展/壓縮，另外對數(shù)變換還有一個重要的性質，它能壓縮圖像灰度值變換較大的圖像的動態(tài)范圍（例如，傅立葉變換的頻譜顯示）。
線性變換
令r為變換前的灰度，s為變換后的灰度，則線性變換的函數(shù)：
其中，a為直線的斜率，b為在y軸的截距。選擇不同的a，b值會有不同的效果：
a>1，增加圖像的對比度
a<1，減小圖像的對比度
a=1且b≠0
a = 1 且 b ≠ 0 ，圖像整體的灰度值上移或者下移，也就是圖像整體變亮或者變暗，不會改變圖像的對比度。a<0且b=0
a < 0 且 b = 0 ，圖像的亮區(qū)域變暗，暗區(qū)域變亮a=1且b=0
a = 1 且 b = 0 ，恒定變換，不變a=?1且b=255
a = ? 1 且 b = 255 ，圖像反轉。
在進行圖像增強時，上述的線性變換函數(shù)用的較多的就是圖像反轉了，根據(jù)上面的參數(shù)，圖像反轉的變換函數(shù)為：s=255?s。
圖像反轉得到的是圖像的負片，能夠有效的增強在圖像暗區(qū)域的白色或者灰色細節(jié)。
其效果如下：
圖像反轉的實現(xiàn)是比較簡單的，在 OpenCV 中有對Mat的運算符重載，可以直接 Mat r = 255 - img 或者 ~img 來實現(xiàn)。
對數(shù)變換
對數(shù)變換的通用公式是：
其中，c是一個常數(shù)，，假設r≥0,根據(jù)上圖中的對數(shù)函數(shù)的曲線可以看出：對數(shù)變換，將源圖像中范圍較窄的低灰度值映射到范圍較寬的灰度區(qū)間，同時將范圍較寬的高灰度值區(qū)間映射為較窄的灰度區(qū)間，從而擴展了暗像素的值，壓縮了高灰度的值，能夠對圖像中低灰度細節(jié)進行增強。
從函數(shù)曲線也可以看出，反對數(shù)函數(shù)的曲線和對數(shù)的曲線是對稱的，在應用到圖像變換其結果是相反的，反對數(shù)變換的作用是壓縮灰度值較低的區(qū)間，擴展高灰度值的區(qū)間。
基于 OpenCV 的實現(xiàn)，其對數(shù)變換的代碼如下：
float pixels[256];
for (int i = 0; i < 256; i++)
pixels[i] = log(1 + i);
Mat imageLog(image.size(), CV_32FC3);
for (int i = 0; i<image.rows; i++)
{
for (int j = 0; j<image.cols; j++)
{
imageLog.at<Vec3f>(i, j)[0] = pixels[image.at<Vec3b>(i, j)[0]];
imageLog.at<Vec3f>(i, j)[1] = pixels[image.at<Vec3b>(i, j)[1]];
imageLog.at<Vec3f>(i, j)[2] = pixels[image.at<Vec3b>(i, j)[2]];
}
}
//歸一化到0~255
normalize(imageLog, imageLog, 0, 255, CV_MINMAX);
//轉換成8bit圖像顯示
convertScaleAbs(imageLog, imageLog);
這使用的對數(shù)函數(shù)的底為10。由于灰度變換是灰度值之間的一對一的映射，而灰度值區(qū)間通常為[0,255]，所以在進行灰度變換時，通常使用查表法。
也就是，現(xiàn)將每個灰度值的映射后的結果計算出來，在變換時，通過查表得到變換后的灰度值。執(zhí)行上面結果得到的結果如下：
左邊為原圖像，其拍攝環(huán)境較暗，無法分辨出很多的細節(jié)；右邊為變換后的圖像，整個圖像明亮許多，也能分辨出原圖中處于暗區(qū)域的狗狗的更多細節(jié)。
對數(shù)變換，還有一個很重要的性質，能夠壓縮圖像像素的動態(tài)范圍。例如，在進行傅立葉變換時，得到的頻譜的動態(tài)范圍較大，頻譜值的范圍通常為[0,106]，甚至更高。
這樣范圍的值，顯示器是無法完整的顯示如此大范圍的灰度值的，因而許多灰度細節(jié)會被丟失掉。而將得到的頻譜值進行對數(shù)變換，可以將其動態(tài)范圍變換到一個合適區(qū)間，這樣就能夠顯示更多的細節(jié)。
冪律變換（伽馬變換）
伽馬變換的公式為：
其中c和γ為正常數(shù)。
伽馬變換的效果與對數(shù)變換有點類似，當γ>1時將較窄范圍的低灰度值映射為較寬范圍的灰度值，同時將較寬范圍的高灰度值映射為較窄范圍的灰度值；當γ<1時，情況相反，與反對數(shù)變換類似。
其函數(shù)曲線如下：
當γ<1時，γ的值越小，對圖像低灰度值的擴展越明顯；當γ>1時，γ的值越大，對圖像高灰度值部分的擴展越明顯。這樣就能夠顯示更多的圖像的低灰度或者高灰度細節(jié)。
伽馬變換主要用于圖像的校正，對灰度值過高（圖像過亮）或者過低（圖像過暗）的圖像進行修正，增加圖像的對比度，從而改善圖像的顯示效果。
基于 OpenCV 的實現(xiàn)：
float pixels[256];
for (int i = 0; i < 256; i++)
pixels[i] = i * i *i;
Mat imageLog(image.size(), CV_32FC3);
for (int i = 0; i<image.rows; i++)
{
for (int j = 0; j<image.cols; j++)
{
imageLog.at<Vec3f>(i, j)[0] = pixels[image.at<Vec3b>(i, j)[0]];
imageLog.at<Vec3f>(i, j)[1] = pixels[image.at<Vec3b>(i, j)[1]];
imageLog.at<Vec3f>(i, j)[2] = pixels[image.at<Vec3b>(i, j)[2]];
}
}
//歸一化到0~255
normalize(imageLog, imageLog, 0, 255, CV_MINMAX);
//轉換成8bit圖像顯示
convertScaleAbs(imageLog, imageLog);
這里選擇的參數(shù)為c = 1,γ=3，來擴展圖像的高灰度區(qū)域，其結果如下：
當選擇參數(shù)為c = 1,γ=0.4,來擴展圖像的低灰度區(qū)域，其效果如下：
根據(jù)以上的結果，結合伽馬變換的函數(shù)曲線圖，做如下總結：
γ>1時，會將低于某個灰度值K的灰度區(qū)域壓縮到較小的灰度區(qū)間，而將高于K的灰度區(qū)域擴展到較大灰度區(qū)間。
令L為灰度的最大值，k = 3/4L . 那么就有
[ 0 , 3 / 4 L ] 的灰度區(qū)域映射到為[0,1/8L]的輸出；而將[ 3 / 4 L , L ] 這部分高灰度區(qū)域映射到[ 1 / 8 L , L ] 區(qū)間。這樣變換的結果就是，低于Ｋ的灰度區(qū)域被壓縮到更低灰度區(qū)間，而較亮的高灰度區(qū)域的灰度值被擴展到較大的灰度區(qū)間變的不那么亮，整體的效果就是圖像的對比度增加了，但是由于亮度區(qū)域被擴展，也就不那么亮了。
γ<1時，會將灰度值較小的低灰度區(qū)域擴展到較寬的灰度區(qū)間，而將較寬的高灰度區(qū)域壓縮到較小的灰度區(qū)間。
這樣變換的效果就是，低灰度區(qū)域擴展開來，變亮；而寬的高灰度區(qū)域，被壓縮的較窄的區(qū)間，也變亮了，故變換后的整體效果是變亮了。
基于OpenCV的灰度變換實現(xiàn)
灰度變換屬于點對點的一一變換，在實現(xiàn)的時候，可以利用查表法。也就是實現(xiàn)將[0,255]區(qū)間的各個灰度值的變換后的值計算出來，在變換的時候直接根據(jù)灰度值進行查表得到變換后的結果。
其實現(xiàn)如下：
/////////////////////////////////////////////////////////////////////
//
// 灰度線性變換函數(shù)
// 參數(shù)：
// src，輸入原圖像
// dst,輸出圖像，類型為CV_32F，大小及通道數(shù)與原圖像相同
// mapping,灰度映射表，可以根據(jù)不同的變換函數(shù)，提前計算好圖像的灰度映射表
//
////////////////////////////////////////////////////////////////////
void gray_trans(const Mat& src, Mat& dst,float* mapping)
{
int channels = src.channels();
if (channels == 1)
{
dst = Mat(src.size(), CV_32FC1);
for (int i = 0; i < src.rows; i++)
{
float* p1 = dst.ptr<float>(i);
const uchar* p2 = src.ptr<uchar>(i);
for (int j = 0; j < src.cols; j++)
p1[j] = mapping[p2[j]];
}
}
else if (channels == 3)
{
dst = Mat(src.size(), CV_32FC3);
for (int i = 0; i < src.rows; i++)
{
float* p1 = dst.ptr<float>(i);
const uchar* p2 = src.ptr<uchar>(i);
for (int j = 0; j < src.cols * 3; j+=3)
{
p1[j] = mapping[p2[j]];
p1[j+1] = mapping[p2[j+1]];
p1[j+2] = mapping[p2[j+2]];
}
}
}
}
其調用也比較簡單，根據(jù)具體的灰度變換函數(shù)，填充灰度映射表即可，以伽馬變換為例：
float pixels[256];
for (int i = 0; i < 256; i++)
pixels[i] = powf(i, 1.5);
Mat imageLog;
gray_trans(image, imageLog, pixels);
總結
本文主要對圖像的幾種常見的灰度變換進行了總結。
圖像反轉，是圖像線性變換的一種，可以得到圖像負片，能夠有效的增強圖像的暗色區(qū)域中的白色或者灰色細節(jié)
對數(shù)變換，擴展圖像中的低灰度區(qū)域，壓縮圖像中的高灰度區(qū)域，能夠增強圖像中的暗色區(qū)域的細節(jié)；反對數(shù)變換與此相反。對數(shù)變換還有個重要作用是，能夠壓縮圖像灰度值的動態(tài)范圍，在傅立葉變換中能夠顯示更多的變換后的頻譜細節(jié)。
伽馬變換，主要用于圖像的校正，根據(jù)參數(shù)γ的選擇不同，能夠修正圖像中灰度過高（γ>1）或者灰度過低（γ<1）
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