代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史
日期?：?2021年10月06日?? ? ??
正文共?：8425字
一門(mén)科學(xué)的歷史是那門(mén)科學(xué)中最寶貴的一部分，因?yàn)榭茖W(xué)只能給我們知識(shí)，而歷史卻能給我們智慧?！碟?/span>
數(shù)學(xué)的歷史是重要的，它是文明史的有價(jià)值的組成部分，人類(lèi)的進(jìn)步和科學(xué)思想是一致的?！?F. Cajori
?0、引言
數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)成為科學(xué)世界中擁有100多個(gè)主要分支學(xué)科的龐大的“共和國(guó)”。大體說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)中研究數(shù)的部分屬于代數(shù)學(xué)的范疇；研究形的部分，屬于幾何學(xué)的范籌；溝通形與數(shù)且涉及極限運(yùn)算的部分，屬于分析學(xué)的范圍。這三大類(lèi)數(shù)學(xué)構(gòu)成了整個(gè)數(shù)學(xué)的本體與核心。在這一核心的周?chē)捎跀?shù)學(xué)通過(guò)數(shù)與形這兩個(gè)概念，與其它科學(xué)互相滲透，而出現(xiàn)了許多邊緣學(xué)科和交叉學(xué)科。在此簡(jiǎn)要介紹代數(shù)學(xué)的有關(guān)歷史發(fā)展情況。
“代數(shù)”（algebra）一詞最初來(lái)源于公元9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿爾·花拉子米（al-Khowārizmī，約780－850）一本著作的名稱(chēng)，書(shū)名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wal muqabalah，直譯應(yīng)為《還原與對(duì)消的科學(xué)》．a(chǎn)l-jabr 意為“還原”，這里指把負(fù)項(xiàng)移到方程另一端“還原”為正項(xiàng)；muqabalah 意即“對(duì)消”或“化簡(jiǎn)”，指方程兩端可以消去相同的項(xiàng)或合并同類(lèi)項(xiàng)．在翻譯中把“al-jabr”譯為拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一詞后來(lái)被許多國(guó)家采用，英文譯作“algebra”。
? ? 阿布·賈法爾·穆罕默德·伊本·穆薩·阿爾—花拉子米的傳記材料，很少流傳下來(lái)．一般認(rèn)為他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今烏茲別克境內(nèi)的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米為姓．另一說(shuō)他生于巴格達(dá)附近的庫(kù)特魯伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家鄉(xiāng)接受初等教育，后到中亞細(xì)亞古城默夫(Мерв)繼續(xù)深造，并到過(guò)阿富汗、印度等地游學(xué)，不久成為遠(yuǎn)近聞名的科學(xué)家．東部地區(qū)的總督馬蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召見(jiàn)過(guò)花拉子米．公元813年，馬蒙成為阿拔斯王朝的哈利發(fā)后，聘請(qǐng)花拉子米到首都巴格達(dá)工作．公元830年，馬蒙在巴格達(dá)創(chuàng)辦了著名的“智慧館”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世紀(jì)亞歷山大博物館之后最重要的學(xué)術(shù)機(jī)關(guān))，花拉子米是智慧館學(xué)術(shù)工作的主要領(lǐng)導(dǎo)人之一．馬蒙去世后，花拉子米在后繼的哈利發(fā)統(tǒng)治下仍留在巴格達(dá)工作，直至去世．花拉子米生活和工作的時(shí)期，是阿拉伯帝國(guó)的政治局勢(shì)日漸安定、經(jīng)濟(jì)發(fā)展、文化生活繁榮昌盛的時(shí)期．
花拉子米科學(xué)研究的范圍十分廣泛，包括數(shù)學(xué)、天文學(xué)、歷史學(xué)和地理學(xué)等領(lǐng)域．他撰寫(xiě)了許多重要的科學(xué)著作．在數(shù)學(xué)方面，花拉子米編著了兩部傳世之作：《代數(shù)學(xué)》和《印度的計(jì)算術(shù)》．
1859年，我國(guó)數(shù)學(xué)家李善蘭首次把“algebra”譯成“代數(shù)”。后來(lái)清代學(xué)者華蘅芳和英國(guó)人傅蘭雅合譯英國(guó)瓦里斯的《代數(shù)學(xué)》，卷首有“代數(shù)之法，無(wú)論何數(shù)，皆可以任何記號(hào)代之”，亦即：代數(shù)，就是運(yùn)用文字符號(hào)來(lái)代替數(shù)字的一種數(shù)學(xué)方法。
古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus）用文字縮寫(xiě)來(lái)表示未知量，在公元250年前后丟番圖寫(xiě)了一本數(shù)學(xué)巨著《算術(shù)》（Arithmetica）。其中他引入了未知數(shù)的概念，創(chuàng)設(shè)了未知數(shù)的符號(hào)，并有建立方程序的思想。故有“代數(shù)學(xué)之父”（Father of algebra）的稱(chēng)號(hào)。
代數(shù)是巴比倫人、希臘人、阿拉伯人、中國(guó)人、印度人和西歐人一棒接一棒而完成的偉大數(shù)學(xué)成就。發(fā)展至今，它包含算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、抽象代數(shù)五個(gè)部分。
1、算術(shù)
算術(shù)給予我們一個(gè)用之不竭的、充滿(mǎn)有趣真理的寶庫(kù)。
--高斯（Gauss,1777-1855）
數(shù)可以說(shuō)成是統(tǒng)治整個(gè)量的世界，而算術(shù)的四則可以被認(rèn)為是作為數(shù)學(xué)家的完全的裝備。
--麥斯韋(James Clark Maxwell 1831-1879)
算術(shù)有兩種含義，一種是從中國(guó)傳下來(lái)的，相當(dāng)于一般所說(shuō)的“數(shù)學(xué)”，如《九章算術(shù)》等。另一種是從歐洲數(shù)學(xué)翻譯過(guò)來(lái)的，源自希臘語(yǔ)，有“計(jì)算技術(shù)”之意。現(xiàn)在一般所說(shuō)的“算術(shù)”，往往指自然數(shù)的四則運(yùn)算；如果是在高等數(shù)學(xué)中，則有“數(shù)論”的含義。作為現(xiàn)代小學(xué)課程內(nèi)容的算術(shù)，主要講的是自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)以及它們的四則運(yùn)算，并通過(guò)由計(jì)數(shù)和度量而引起的一些最簡(jiǎn)單的應(yīng)用題加以鞏固。
算術(shù)是數(shù)學(xué)中最古老的一個(gè)分支，它的一些結(jié)論是在長(zhǎng)達(dá)數(shù)千年的時(shí)間里，緩慢而逐漸地建立起來(lái)的。它們反映了在許多世紀(jì)中積累起來(lái)，并不斷凝固在人們意識(shí)中的經(jīng)驗(yàn)。
自然數(shù)是在對(duì)于對(duì)象的有限集合進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程中，產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中要求人們不僅要計(jì)算單個(gè)的對(duì)象，還要計(jì)算各種量，例如長(zhǎng)度、重量和時(shí)間。為了滿(mǎn)足這些簡(jiǎn)單的量度需要，就要用到分?jǐn)?shù)。
現(xiàn)代初等算術(shù)運(yùn)算方法的發(fā)展，起源于印度，時(shí)間可能在10世紀(jì)或11世紀(jì)。它后來(lái)被阿拉伯人采用，之后傳到西歐。15世紀(jì)，它被改造成現(xiàn)在的形式。在印度算術(shù)的后面，明顯地存在著我國(guó)古代的影響。
?19世紀(jì)中葉，格拉斯曼（Grassmann）第一次成功地挑選出一個(gè)基本公理體系，來(lái)定義加法與乘法運(yùn)算；而算術(shù)的其它命題，可以作為邏輯的結(jié)果，從這一體系中被推導(dǎo)出來(lái)。后來(lái)，皮亞諾（Peano）進(jìn)一步完善了格拉斯曼的體系。
算術(shù)的基本概念和邏輯推論法則，以人類(lèi)的實(shí)踐活動(dòng)為基礎(chǔ)，深刻地反映了世界的客觀規(guī)律性。盡管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此廣泛，因此我們幾乎離不開(kāi)它。同時(shí)，它又構(gòu)成了數(shù)學(xué)其它分支的最堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
2、初等代數(shù)
作為中學(xué)數(shù)學(xué)課程主要內(nèi)容的初等代數(shù)，其中心內(nèi)容是方程理論。代數(shù)一詞的拉丁文原意是“歸位”。代數(shù)方程理論在初等代數(shù)中是由一元一次方程向兩個(gè)方面擴(kuò)展的：其一是增加未知數(shù)的個(gè)數(shù)，考察由有幾個(gè)未知數(shù)的若干個(gè)方程所構(gòu)成的二元或三元方程組(主要是一次方程組)；其二是增高未知量的次數(shù)，考察一元二次方程或準(zhǔn)二次方程。初等代數(shù)的主要內(nèi)容在16世紀(jì)便已基本上發(fā)展完備了。
1古巴比倫(公元前19世紀(jì)～前17世紀(jì))解決了一次和二次方程問(wèn)題，歐幾里得的《原本》(公元前4世紀(jì))中就有用幾何形式解二次方程的方法。我國(guó)的《九章算術(shù)》(公元世紀(jì))中有三次方程和一次聯(lián)立方程組的解法，并運(yùn)用了負(fù)數(shù)。3世紀(jì)的丟番圖用有理數(shù)求一次、二次不定方程的解。13世紀(jì)我國(guó)出現(xiàn)的天元術(shù)(李冶《測(cè)圓海鏡》)是有關(guān)一元高次方程的數(shù)值解法。16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了三次和四次方程的解法。
代數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展的歷史，可分為三個(gè)階段。第一個(gè)階段為三世紀(jì)之前，對(duì)問(wèn)題的解不用縮寫(xiě)和符號(hào)，而是寫(xiě)成一篇論文，稱(chēng)為文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)。第二個(gè)階段為三世紀(jì)至16世紀(jì)，對(duì)某些較常出現(xiàn)的量和運(yùn)算采用了縮寫(xiě)的方法，稱(chēng)為簡(jiǎn)化代數(shù)。三世紀(jì)的丟番圖的杰出貢獻(xiàn)之一，就是把希臘代數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化，開(kāi)創(chuàng)了簡(jiǎn)化代數(shù)。然而此后文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)，在除了印度以外的世界其它地方，還十分普通地存在了好幾百年，尤其在西歐一直到15世紀(jì)。第三個(gè)階段為16世紀(jì)以后，對(duì)問(wèn)題的解多半表現(xiàn)為由符號(hào)組成的數(shù)學(xué)速記，這些符號(hào)與所表現(xiàn)的內(nèi)容沒(méi)有什么明顯的聯(lián)系，稱(chēng)為符號(hào)代數(shù)。韋達(dá)（Viète）在他的《分析方法入門(mén)》（Inartem analyticem isagoge,1591）著作中，首次系統(tǒng)地使用了符號(hào)表示未知量的值進(jìn)行運(yùn)算，提出符號(hào)運(yùn)算與數(shù)的區(qū)別，規(guī)定了代數(shù)與算術(shù)的分界。韋達(dá)是第一個(gè)試圖創(chuàng)立一般符號(hào)代數(shù)的的數(shù)學(xué)家，他開(kāi)創(chuàng)的符號(hào)代數(shù)，經(jīng)笛卡爾（Descarte）改進(jìn)后成為現(xiàn)代的形式。笛卡爾用小寫(xiě)字母a, b, c等表示已知量，而用x, y, z代表未知量。這種用法已經(jīng)成為當(dāng)今的標(biāo)準(zhǔn)用法。
?“＋”、“－”號(hào)第一次在數(shù)學(xué)書(shū)中出現(xiàn)，是1489年維德曼的著作《商業(yè)中的巧妙速算法》（Behend und hüpsch Rechnung uff allen kauffmanschafften, 1489）。不過(guò)正式為大家所公認(rèn)，作為加、減法運(yùn)算的符號(hào)，那是從1514年由荷伊克開(kāi)始的。1540年，雷科德(R. Rcorde)開(kāi)始使用現(xiàn)在使用的“＝”。到1591年，韋達(dá)在著作中大量使用后，才逐漸為人們所接受。1600年哈里奧特（T. Harriot）創(chuàng)用大于號(hào)“＞”和小于號(hào)“＜”。1631年，奧屈特給出“×”、“÷”作為乘除運(yùn)算符。1637年，笛卡爾第一次使用了根號(hào)，并引進(jìn)用字母表中頭前的字母表示已知數(shù)、后面的字母表示未知數(shù)的習(xí)慣做法。至于“≮”、“≯”、“≠”這三個(gè)符號(hào)的出現(xiàn)，那是近代的事了。
數(shù)的概念的拓廣，在歷史上并不全是由解代數(shù)方程所引起的，但習(xí)慣上仍把它放在初等代數(shù)里，以求與這門(mén)課程的安排相一致。公元前4世紀(jì)，古希臘人發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)。公元前2世紀(jì)(西漢時(shí)期)，我國(guó)開(kāi)始應(yīng)用負(fù)數(shù)。1545年，意大利的卡爾達(dá)諾(N. Cardano)在《大術(shù)》中開(kāi)始使用虛數(shù)。1614年，英國(guó)的耐普爾發(fā)明對(duì)數(shù)。17世紀(jì)末，一般的實(shí)數(shù)指數(shù)概念才逐步形成。
3、高等代數(shù)
在高等代數(shù)中，一次方程組（即線(xiàn)性方程組）發(fā)展成為線(xiàn)性代數(shù)理論；而二次以上方程發(fā)展成為多項(xiàng)式理論。前者是向量空間、線(xiàn)性變換、型論、不變量論和張量代數(shù)等內(nèi)容的一門(mén)近世代數(shù)分支學(xué)科，而后者是研究只含有一個(gè)未知量的任意次方程的一門(mén)近世代數(shù)分支學(xué)科。作為大學(xué)課程的高等代數(shù)，只研究它們的基礎(chǔ)。高次方程組（即非線(xiàn)性方程組）發(fā)展成為一門(mén)比較現(xiàn)代的數(shù)學(xué)理論－代數(shù)幾何。
線(xiàn)性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。我們知道一次方程叫做線(xiàn)性方程，討論線(xiàn)性方程及線(xiàn)性運(yùn)算的代數(shù)就叫做線(xiàn)性代數(shù)。在線(xiàn)性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。行列式和矩陣在十九世紀(jì)受到很大的注意，而且寫(xiě)了成千篇關(guān)于這兩個(gè)課題的文章。向量的概念，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看不過(guò)是有序三元數(shù)組的一個(gè)集合，然而它以力或速度作為直接的物理意義，并且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫(xiě)出物理上所說(shuō)的事情。向量用于梯度，散度，旋度就更有說(shuō)服力。同樣，行列式和矩陣如導(dǎo)數(shù)一樣（雖然在數(shù)學(xué)上不過(guò)是一個(gè)符號(hào)，表示包括的極限的長(zhǎng)式子，但導(dǎo)數(shù)本身是一個(gè)強(qiáng)有力的概念，能使我們直接而創(chuàng)造性地想象物理上發(fā)生的事情）。因此，雖然表面上看，行列式和矩陣不過(guò)是一種語(yǔ)言或速記，但它的大多數(shù)生動(dòng)的概念能對(duì)新的思想領(lǐng)域提供鑰匙。然而已經(jīng)證明這兩個(gè)概念是數(shù)學(xué)物理上高度有用的工具。
線(xiàn)性代數(shù)學(xué)科和矩陣?yán)碚撌前殡S著線(xiàn)性系統(tǒng)方程系數(shù)研究而引入和發(fā)展的。
十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出了行列式（determinant）的概念，他在1683年寫(xiě)了一部叫做《解伏題之法》的著作，意思是“解行列式問(wèn)題的方法”，書(shū)里對(duì)行列式的概念和它的展開(kāi)已經(jīng)有了清楚的敘述。而在歐洲，第一個(gè)提出行列式概念的是德國(guó)的數(shù)學(xué)家，微積分學(xué)奠基人之一萊布尼茲（Leibnitz，1693年）。
1750年克萊姆（Cramer）在他的《線(xiàn)性代數(shù)分析導(dǎo)言》（Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques）中發(fā)表了求解線(xiàn)性系統(tǒng)方程的重要基本公式（既人們熟悉的Cramer克萊姆法則）。
1764年，Bezout把確定行列式每一項(xiàng)的符號(hào)的手續(xù)系統(tǒng)化了。對(duì)給定了含n個(gè)未知量的n個(gè)齊次線(xiàn)性方程，Bezout證明了系數(shù)行列式等于零是這方程組有非零解的條件。Vandermonde是第一個(gè)對(duì)行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述（即把行列式理論與線(xiàn)性方程組求解相分離）的人。并且給出了一條法則，用二階子式和它們的余子式來(lái)展開(kāi)行列式。就對(duì)行列式本身進(jìn)行研究這一點(diǎn)而言，他是這門(mén)理論的奠基人。
參照克萊姆和Bezout的工作，1772年，Laplace在《對(duì)積分和世界體系的探討》中，證明了Vandermonde的一些規(guī)則，并推廣了他的展開(kāi)行列式的方法，用r行中所含的子式和它們的余子式的集合來(lái)展開(kāi)行列式，這個(gè)方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名。1841年，德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比（Jacobi）總結(jié)并提出了行列式的最系統(tǒng)的理論。另一個(gè)研究行列式的是法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy），他大大發(fā)展了行列式的理論，在行列式的記號(hào)中他把元素排成方陣并首次采用了雙重足標(biāo)的新記法，與此同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進(jìn)并證明了laplace的展開(kāi)定理。相對(duì)而言，最早利用矩陣概念的是拉格朗日（Lagrange）在1700年后的雙線(xiàn)性型工作中體現(xiàn)的。拉格朗日期望了解多元函數(shù)的最大、最小值問(wèn)題，其方法就是人們知道的拉格朗日迭代法。為了完成這些，他首先需要一階偏導(dǎo)數(shù)為0，另外還要有二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣的條件。這個(gè)條件就是今天所謂的正、負(fù)的定義。盡管拉格朗日沒(méi)有明確地提出利用矩陣。
大約在1800年，高斯（Gauss）提出了高斯消元法并用它解決了天體計(jì)算和后來(lái)的地球表面測(cè)量計(jì)算中的最小二乘法問(wèn)題。（這種涉及測(cè)量、求取地球形狀或當(dāng)?shù)鼐_位置的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支稱(chēng)為測(cè)地學(xué)。）雖然高斯由于這個(gè)技術(shù)成功地消去了線(xiàn)性方程的變量而出名，但早在幾世紀(jì)中國(guó)人的手稿中就出現(xiàn)了解釋如何運(yùn)用“高斯”消去的方法求解帶有三個(gè)未知量的三方程系統(tǒng)。在當(dāng)時(shí)的幾年里，高斯消去法一直被認(rèn)為是測(cè)地學(xué)發(fā)展的一部分，而不是數(shù)學(xué)。而高斯- 約當(dāng)消去法則最初是出現(xiàn)在由Wilhelm Jordan撰寫(xiě)的測(cè)地學(xué)手冊(cè)中。許多人把著名的數(shù)學(xué)家Camille Jordan誤認(rèn)為是“高斯- 約當(dāng)”消去法中的約當(dāng)。
矩陣代數(shù)的豐富發(fā)展，人們需要有合適的符號(hào)和合適的矩陣乘法定義。二者要在大約同一時(shí)間和同一地點(diǎn)相遇。
1848年，英格蘭的J.J. Sylvester首先提出了矩陣（matrix）這個(gè)詞，它來(lái)源于拉丁語(yǔ)，代表一排數(shù)。在1855年矩陣代數(shù)得到了Arthur Cayley的進(jìn)一步發(fā)展。Cayley研究了線(xiàn)性變換的組成并提出了矩陣乘法的定義，使得復(fù)合變換ST的系數(shù)矩陣變?yōu)榫仃嘢和矩陣T的乘積。他還進(jìn)一步研究了那些包括矩陣的逆在內(nèi)的代數(shù)問(wèn)題。1858年，Cayley在他的矩陣?yán)碚撐募刑岢鲋腃ayley-Hamilton理論，即斷言一個(gè)矩陣的平方就是它的特征多項(xiàng)式的根。利用單一的字母A來(lái)表示矩陣是對(duì)矩陣代數(shù)發(fā)展至關(guān)重要的。在發(fā)展的早期公式
det（AB）=det（A）det（B）為矩陣代數(shù)和行列式間提供了一種聯(lián)系。數(shù)學(xué)家Cauchy首先給出了特征方程的術(shù)語(yǔ)，并證明了階數(shù)超過(guò)3的矩陣有特征值及任意階實(shí)對(duì)稱(chēng)行列式都有實(shí)特征值；給出了相似矩陣的概念，并證明了相似矩陣有相同的特征值；研究了代換理論。
數(shù)學(xué)家試圖研究向量代數(shù)，但在任意維數(shù)中并沒(méi)有兩個(gè)向量乘積的自然定義。第一個(gè)涉及一個(gè)不可交換向量積（既V×W不等于W×V）的向量代數(shù)是由Hermann Grassmann在他的《線(xiàn)性擴(kuò)張論》（Die lineale Ausdehnungslehre）一書(shū)中提出的（1844）。他的觀點(diǎn)還被引入一個(gè)列矩陣和一個(gè)行矩陣的乘積中，結(jié)果就是現(xiàn)在稱(chēng)之為秩數(shù)為1的矩陣，或簡(jiǎn)單矩陣。在19世紀(jì)末美國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家Willard Gibbs發(fā)表了關(guān)于《向量分析基礎(chǔ)》（Elements of Vector Analysis）的著名論述。其后物理學(xué)家P.A.M. Dirac提出了行向量和列向量的乘積為標(biāo)量。我們習(xí)慣的列矩陣和向量都是在20世紀(jì)由物理學(xué)家給出的。
矩陣的發(fā)展是與線(xiàn)性變換密切相連的。到19世紀(jì)它還僅占線(xiàn)性變換理論形成中有限的空間?，F(xiàn)代向量空間的定義是由Peano于1888年提出的。二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)展，矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣的數(shù)值分析等方面。由于計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，許多實(shí)際問(wèn)題可以通過(guò)離散化的數(shù)值計(jì)算得到定量的解決。于是作為處理離散問(wèn)題的線(xiàn)性代數(shù)，成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
4、數(shù)論
以正整數(shù)作為研究對(duì)象的數(shù)論，可以看作是算術(shù)的一部分，但它不是以運(yùn)算的觀點(diǎn)，而是以數(shù)的結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，即一個(gè)數(shù)可用性質(zhì)較簡(jiǎn)單的其它數(shù)來(lái)表達(dá)的觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)的。因此可以說(shuō)，數(shù)論是研究由整數(shù)按一定形式構(gòu)成的數(shù)系的科學(xué)。
“2早在公元前3世紀(jì)，歐幾里得的《原本》討論了整數(shù)的一些性質(zhì)。他證明素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的，他還給出了求兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。這與我國(guó)《九章算術(shù)》中的更相減損法”是相同的。埃拉托色尼則給出了尋找不大于給定的自然數(shù)N的全部素?cái)?shù)的“篩法”：在寫(xiě)出從1到N的全部整數(shù)的紙草上，依次挖去2、3、5、7……的倍數(shù)(各自的倍，3倍，……)以及1，在這篩子般的紙草上留下的便全是素?cái)?shù)了。
當(dāng)兩個(gè)整數(shù)之差能被正整數(shù)m除盡時(shí)，便稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)對(duì)于“?！眒同余。我國(guó)《孫子算經(jīng)》(公元4世紀(jì))中計(jì)算一次同余式組的“求一術(shù)”，有“中國(guó)剩余定理”之稱(chēng)。13世紀(jì)，秦九韶已建立了比較完整的同余式理論——“大衍求一術(shù)”，這是數(shù)論研究的內(nèi)容之一。
丟番圖的《算術(shù)》中給出了求所有整數(shù)解的方法。費(fèi)爾馬指出在n＞3時(shí)無(wú)整數(shù)解，對(duì)于該問(wèn)題的研究產(chǎn)生了19世紀(jì)的數(shù)論。之后高斯的《數(shù)論研究》(1801年)形成了系統(tǒng)的數(shù)論。
數(shù)論的古典內(nèi)容基本上不借助于其它數(shù)學(xué)分支的方法，稱(chēng)為初等數(shù)論。17世紀(jì)中葉以后，曾受數(shù)論影響而發(fā)展起來(lái)的代數(shù)、幾何、分析、概率等數(shù)學(xué)分支，又反過(guò)來(lái)促進(jìn)了數(shù)論的發(fā)展，出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)論(研究整系數(shù)多項(xiàng)式的根—“代數(shù)數(shù)”)、幾何數(shù)論(研究直線(xiàn)坐標(biāo)系中坐標(biāo)均為整數(shù)的全部“整點(diǎn)”—“空間格網(wǎng)”)。19世紀(jì)后半期出現(xiàn)了解析數(shù)論，用分析方法研究素?cái)?shù)的分布。二十世紀(jì)出現(xiàn)了完備的數(shù)論理論。
5、抽象代數(shù)
抽象代數(shù)（Abstract algebra）又稱(chēng)近世代數(shù)（modern algebra），它產(chǎn)生于十九世紀(jì)。
抽象代數(shù)是研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科。由于代數(shù)可處理實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)以外的物集，例如向量、矩陣超數(shù)、變換（transformation）等，這些物集的分別是依它們各有的演算定律而定，而數(shù)學(xué)家將個(gè)別的演算經(jīng)由抽象手法把共有的內(nèi)容升華出來(lái)，并因此而達(dá)到更高層次，這就誕生了抽象代數(shù)。抽象代數(shù)，包含有群論、環(huán)論、伽羅瓦理論、格論、線(xiàn)性代數(shù)等許多分支，并與數(shù)學(xué)其它分支相結(jié)合產(chǎn)生了代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)?、拓?fù)淙旱刃碌臄?shù)學(xué)學(xué)科。抽象代數(shù)已經(jīng)成了當(dāng)代大部分?jǐn)?shù)學(xué)的通用語(yǔ)言。
被譽(yù)為天才數(shù)學(xué)家的伽羅瓦（Galois, Evariste,1811-1832）是近世代數(shù)的創(chuàng)始人之一。他深入研究了一個(gè)方程能用根式求解所必須滿(mǎn)足的本質(zhì)條件，他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”和“伽羅瓦理論”都是近世代數(shù)所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。他給方程可解性問(wèn)題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)達(dá)數(shù)百年之久的問(wèn)題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規(guī)作圖的一般判別法，圓滿(mǎn)解決了三等分任意角或倍立方體的問(wèn)題都是不可解的。最重要的是，群論開(kāi)辟了全新的研究領(lǐng)域，以結(jié)構(gòu)研究代替計(jì)算，把從偏重計(jì)算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀念研究的思維方式，并把數(shù)學(xué)運(yùn)算歸類(lèi)，使群論迅速發(fā)展成為一門(mén)嶄新的數(shù)學(xué)分支，對(duì)近世代數(shù)的形成和發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。同時(shí)這種理論對(duì)于物理學(xué)、化學(xué)的發(fā)展，甚至對(duì)于二十世紀(jì)結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展都發(fā)生了巨大的影響。
(1843年，哈密頓（Hamilton, W. R. ）發(fā)明了一種乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)。第二年，Grassmann推演出更有一般性的幾類(lèi)代數(shù)。1857年，Cayley設(shè)計(jì)出另一種不可交換的代數(shù)——矩陣代數(shù)。他們的研究打開(kāi)了抽象代數(shù)(也叫近世代數(shù))的大門(mén)。實(shí)際上，減弱或刪去普通代數(shù)的某些假定，或?qū)⒛承┘俣ù詣e的假定與其余假定是兼容的)，就能研究出許多種代數(shù)體系。
1870年，克隆尼克(Kronecker)給出了有限阿貝爾群的抽象定義；狄德金開(kāi)始使用“體”的說(shuō)法，并研究了代數(shù)體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910狄德金和克隆尼克創(chuàng)立了環(huán)論；1910年，施坦尼茨總結(jié)了包括群、代數(shù)、域等在內(nèi)的代數(shù)體系的研究，開(kāi)創(chuàng)了抽象代數(shù)學(xué)。年，施坦尼茨展開(kāi)了體的一般抽象理論；
有一位杰出女?dāng)?shù)學(xué)家被公認(rèn)為抽象代數(shù)奠基人之一，被譽(yù)為代數(shù)女皇，她就是諾特(Emmy Noether), 1882年3月23日生于德國(guó)埃爾朗根，1900年入埃朗根大學(xué)，1907年在數(shù)學(xué)家哥爾丹指導(dǎo)下獲博士學(xué)位。
? ? ? ? 諾特的工作在代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何的發(fā)展中有重要影響。1907-1919年，她主要研究代數(shù)不變式及微分不變式。她在博士論文中給出三元四次型的不變式的完全組。還解決了有理函數(shù)域的有限有理基的存在問(wèn)題。對(duì)有限群的不變式具有有限基給出一個(gè)構(gòu)造性證明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不變式，在格丁根大學(xué)的就職論文中，討論連續(xù)群(李群)下不變式問(wèn)題，給出諾特定理，把對(duì)稱(chēng)性、不變性和物理的守恒律聯(lián)系在一起。
1920~1927年間她主要研究交換代數(shù)與「交換算術(shù)」。1916年后，她開(kāi)始由古典代數(shù)學(xué)向抽象代數(shù)學(xué)過(guò)渡。1920年，她已引入「左?！?、「右模」的概念。1921年寫(xiě)出的<<整環(huán)的理想理論>>是交換代數(shù)發(fā)展的里程碑。建立了交換諾特環(huán)理論，證明了準(zhǔn)素分解定理。1926年發(fā)表<<代數(shù)數(shù)域及代數(shù)函數(shù)域的理想理論的抽象構(gòu)造>>，給戴德金環(huán)一個(gè)公理刻畫(huà)，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要條件。諾特的這套理論也就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“環(huán)”和“理想”的系統(tǒng)理論，一般認(rèn)為抽象代數(shù)形式的時(shí)間就是1926年，從此代數(shù)學(xué)研究對(duì)象從研究代數(shù)方程根的計(jì)算與分布，進(jìn)入到研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運(yùn)算規(guī)律和各種代數(shù)結(jié)構(gòu)，完成了古典代數(shù)到抽象代數(shù)的本質(zhì)的轉(zhuǎn)變。諾特當(dāng)之無(wú)愧地被人們譽(yù)為抽象代數(shù)的奠基人之一。
? ? ? ? 1927－1935年，諾特研究非交換代數(shù)與「非交換算術(shù)」。她把表示理論、理想理論及模理論統(tǒng)一在所謂“超復(fù)系”即代數(shù)的基礎(chǔ)上。后又引進(jìn)交叉積的概念并用決定有限維枷羅瓦擴(kuò)張的布饒爾群。最后導(dǎo)致代數(shù)的主定理的證明，代數(shù)數(shù)域上的中心可除代數(shù)是循環(huán)代數(shù)。
? ? ? ? 諾特的思想通過(guò)她的學(xué)生范．德．瓦爾登的名著<<近世代數(shù)學(xué)>>得到廣泛的傳播。她的主要論文收在<<諾特全集>>(1982)中。
1930年，畢爾霍夫建立格論，它源于1847年的布爾代數(shù)；第二次世界大戰(zhàn)后，出現(xiàn)了各種代數(shù)系統(tǒng)的理論和布爾巴基學(xué)派；1955年，嘉當(dāng)、格洛辛狄克和愛(ài)倫伯克建立了同調(diào)代數(shù)理論。
到現(xiàn)在為止，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)研究過(guò)200多種這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其中最主要德若當(dāng)代數(shù)和李代數(shù)是不服從結(jié)合律的代數(shù)的例子。這些工作的絕大部分屬于20世紀(jì)，它們使一般化和抽象化的思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中得到了充分的反映。
6、后記
現(xiàn)在，可以籠統(tǒng)地把代數(shù)學(xué)解釋為關(guān)于字母計(jì)算的學(xué)說(shuō)，但字母的含義是在不斷地拓廣的。在初等代數(shù)中，字母表示數(shù)；而在高等代數(shù)和抽象代數(shù)中，字母則表示向量(或n元有序數(shù)組)、矩陣、張量、旋量、超復(fù)數(shù)等各種形式的量。可以說(shuō)，代數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為一門(mén)關(guān)于形式運(yùn)算的一般學(xué)說(shuō)了。一個(gè)帶有形式運(yùn)算的集合稱(chēng)為代數(shù)系統(tǒng)，因此，代數(shù)是研究一般代數(shù)系統(tǒng)的一門(mén)科學(xué)。
—?THE END —
