梯度下降—Python實現(xiàn)
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磐創(chuàng)AI分享
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作者 | Vagif Aliyev
編譯 | VK
來源 | Towards Data Science
梯度下降是數(shù)據(jù)科學的基礎，無論是深度學習還是機器學習。對梯度下降原理的深入了解一定會對你今后的工作有所幫助。
你將真正了解這些超參數(shù)的作用、在背后發(fā)生的情況以及如何處理使用此算法可能遇到的問題，而不是玩弄超參數(shù)并希望獲得最佳結(jié)果。
然而，梯度下降并不局限于一種算法。另外兩種流行的梯度下降（隨機和小批量梯度下降）建立在主要算法的基礎上，你可能會看到比普通批量梯度下降更多的算法。因此，我們也必須對這些算法有一個堅實的了解，因為它們有一些額外的超參數(shù)，當我們的算法沒有達到我們期望的性能時，我們需要理解和分析這些超參數(shù)。
雖然理論對于深入理解手頭的算法至關(guān)重要，但梯度下降的實際編碼及其不同的“變體”可能是一項困難的任務。為了完成這項任務，本文的格式如下：
簡要概述每種算法的作用。
算法的代碼
對規(guī)范不明確部分的進一步解釋
我們將使用著名的波士頓住房數(shù)據(jù)集，它是預先內(nèi)置在scikit learn中的。我們還將從頭開始構(gòu)建一個線性模型
好的，首先讓我們做一些基本的導入。我不打算在這里做EDA，因為這不是我們文章的真正目的。不過，我會把一些事情說明白。
import numpy as np
import pandas as pd
import plotly.express as px
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.metrics import mean_squared_error
好的，為了讓我們看到數(shù)據(jù)是什么樣子，我將把數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成一個數(shù)據(jù)幀并顯示輸出。
data = load_boston()
df = pd.DataFrame(data['data'],columns=data['feature_names'])
df.insert(13,'target',data['target'])
df.head(5)
好吧，這里沒什么特別的，我敢肯定你之前已經(jīng)類似實現(xiàn)過了。
現(xiàn)在，我們將定義我們的特征（X）和目標（y）。我們還將定義我們的參數(shù)向量，將其命名為thetas，并將它們初始化為零。
X,y = df.drop('target',axis=1),df['target']
thetas = np.zeros(X.shape[1])
成本函數(shù)
回想一下，成本函數(shù)是衡量模型性能的東西，也是梯度下降的目標。我們將使用的代價函數(shù)稱為均方誤差。公式如下：
好吧，我們把它寫出來：
def cost_function(X,Y,B):
predictions = np.dot(X,B.T)
cost = (1/len(Y)) * np.sum((predictions - Y) ** 2)
return cost
在這里，我們將輸入、標簽和參數(shù)作為輸入，并使用線性模型進行預測，得到成本，然后返回。如果第二行讓你困惑，回想一下線性回歸公式：
所以，我們基本上是得到每個特征和它們相應權(quán)重之間的點積。如果你還不確定我在說什么，看看這個視頻：https://www.youtube.com/watch?v=kHwlB_j7Hkc
很好，現(xiàn)在讓我們測試一下我們的成本函數(shù)，看看它是否真的有效。為了做到這一點，我們將使用scikit learn的均方誤差，得到結(jié)果，并將其與我們的算法進行比較。
mean_squared_error(np.dot(X,thetas.T),y)
OUT: 592.14691169960474
cost_function(X,y,thetas)
OUT: 592.14691169960474
太棒了，我們的成本函數(shù)起作用了！
特征縮放
特征縮放是線性模型（線性回歸、KNN、SVM）的重要預處理技術(shù)。本質(zhì)上，特征被縮小到更小的范圍，并且特征也在一定的范圍內(nèi)。可以這樣考慮特征縮放：
你有一座很大的建筑物
你希望保持建筑的形狀，但希望將其調(diào)整為較小的比例
特征縮放通常用于以下場景：
如果一個算法使用歐幾里德距離，那么由于歐幾里德距離對較大的量值敏感，因此需要對特征進行縮放
特征縮放還可以用于數(shù)據(jù)標準化
特征縮放還可以提高算法的速度
雖然有許多不同的特征縮放方法，但我們將使用以下公式構(gòu)建MinMaxScaler的自定義實現(xiàn)：
由于上述原因，我們將使用縮放。
現(xiàn)在，對于python實現(xiàn)：
X_norm = (X - X.min()) / (X.max() - X.min())
X = X_norm
這里沒什么特別的，我們只是把公式翻譯成代碼?，F(xiàn)在，節(jié)目真正開始了：梯度下降！
梯度下降
具體地說，梯度下降是一種優(yōu)化算法，它通過迭代遍歷數(shù)據(jù)并獲得偏導數(shù)來尋求函數(shù)的最小值（在我們的例子中是MSE）。
如果這有點復雜，試著把梯度下降想象成是一個人站在山頂上，他們試著以最快的速度從山上爬下來，沿著山的負方向不斷地“走”，直到到達底部。
現(xiàn)在，梯度下降有不同的版本，但是你會遇到最多的是：
批量梯度下降
隨機梯度下降法
小批量梯度下降
現(xiàn)在我們將按順序討論、實現(xiàn)和分析每一項，所以讓我們開始吧！
批量梯度下降
批量梯度下降可能是你遇到的第一種梯度下降類型?，F(xiàn)在，我在這篇文章中并不是很理論化（你可以參考我以前的文章：https://medium.com/@vagifaliyev/gradient-descent-clearly-explained-in-python-part-1-the-troubling-theory-49a7fa2c4c06），但實際上它計算的是整個（批處理）數(shù)據(jù)集上系數(shù)的偏導數(shù)。你可能已經(jīng)猜到這樣做很慢了。
我們的數(shù)據(jù)集很小，所以我們可以像這樣實現(xiàn)批量梯度下降：
def batch_gradient_descent(X,Y,theta,alpha,iters):
cost_history = [0] * iters # 初始化歷史損失列表
for i in range(iters):
prediction = np.dot(X,theta.T)
theta = theta - (alpha/len(Y)) * np.dot(prediction - Y,X)
cost_history[i] = cost_function(X,Y,theta)
return theta,cost_history
要澄清一些術(shù)語：
alpha：這是指學習率。
iters：迭代運行的數(shù)量。
太好了，現(xiàn)在讓我們看看結(jié)果吧！
batch_theta,batch_history=batch_gradient_descent(X,y,theta,0.05,500)
好吧，不是很快，但也不是很慢。讓我們用我們新的和改進的參數(shù)來可視化和成本：
cost_function(X,y,batch_theta)
OUT: 27.537447130784262
哇，從592到27！這只是一個梯度下降的力量的一瞥！讓我們對迭代次數(shù)的成本函數(shù)進行可視化：
fig = px.line(batch_history,x=range(5000),y=batch_history,labels={'x':'no. of iterations','y':'cost function'})
fig.show()
好的，看看這個圖表，我們在大約100次迭代之后達到了一個大的下降，從那里開始，它一直在逐漸減少。
所以，批量梯度下降到此結(jié)束：
優(yōu)點
有效且曲線平滑
最準確，最有可能達到全局最低值
缺點
對于大型數(shù)據(jù)集可能會很慢
計算成本高
隨機梯度下降法
這里，不是計算整個訓練集的偏導數(shù)，而是只計算一個隨機樣本（隨機意義上的隨機）。
這是很好的，因為計算只需要在一個訓練示例上進行，而不是在整個訓練集上進行，這使得計算速度更快，而且對于大型數(shù)據(jù)集來說非常理想。
然而，由于其隨機性，隨機梯度下降并不像批量梯度下降那樣具有平滑的曲線，雖然它可以返回良好的參數(shù)，但不能保證達到全局最小值。
學習率調(diào)整
解決隨機梯度下降問題的一種方法是學習率調(diào)整。
基本上，這會逐漸降低學習率。因此，學習率一開始很大（這有助于避免局部極小值），當學習率接近全局最小值時，學習率逐漸降低。但是，你必須小心：
如果學習速率降低得太快，那么算法可能會陷入局部極小，或者在達到最小值的一半時停滯不前。
如果學習速率降低太慢，可能會在很長一段時間內(nèi)跳轉(zhuǎn)到最小值附近，仍然無法得到最佳參數(shù)
現(xiàn)在，我們將使用簡易的學習率調(diào)整策略實現(xiàn)隨機梯度下降：
t0,t1 = 5,50 # 學習率超參數(shù)
def learning_schedule(t):
return t0/(t+t1)
def stochastic_gradient_descent(X,y,thetas,n_epochs=30):
c_hist = [0] * n_epochs # 歷史成本
for epoch in range(n_epochs):
for i in range(len(y)):
random_index = np.random.randint(len(Y))
xi = X[random_index:random_index+1]
yi = y[random_index:random_index+1]
prediction = xi.dot(thetas)
gradient = 2 * xi.T.dot(prediction-yi)
eta = learning_schedule(epoch * len(Y) + i)
thetas = thetas - eta * gradient
c_hist[epoch] = cost_function(xi,yi,thetas)
return thetas,c_hist
現(xiàn)在運行函數(shù)：
sdg_thetas,sgd_cost_hist = stochastic_gradient_descent(X,Y,theta)
好吧，太好了，這樣就行了！現(xiàn)在讓我們看看結(jié)果：
cost_function(X,y,sdg_thetas)
OUT:
29.833230764634493
哇！我們從592到29，但是請注意：我們只進行了30次迭代。批量梯度下降，500次迭代后得到27次！這只是對隨機梯度下降的非凡力量的一瞥。
讓我們用一個圖再次將其可視化：
由于這是一個小數(shù)據(jù)集，批量梯度下降就足夠了，但這只是顯示了隨機梯度下降的力量。
優(yōu)點：
與批量梯度下降相比更快
更好地處理更大的數(shù)據(jù)集
缺點：
在某個最小值上很難跳出
并不總是有一個清晰的圖，可以在一個最小值附近反彈，但永遠不會達到最佳的最小值
小批量梯度下降
好了，快到了，還有一個要通過！現(xiàn)在，在小批量梯度下降中，我們不再計算整個訓練集或隨機樣本的偏導數(shù)，而是在整個訓練集的小子集上計算。
這給了我們比批量梯度下降更快的速度，因為它不像隨機梯度下降那樣隨機，所以我們更接近于最小值。然而，它很容易陷入局部極小值。
同樣，為了解決陷入局部最小值的問題，我們將在實現(xiàn)中使用簡易的學習率調(diào)整。
np.random.seed(42) # 所以我們得到相同的結(jié)果
t0, t1 = 200, 1000
def learning_schedule(t):
return t0 / (t + t1)
def mini_batch_gradient_descent(X,y,thetas,n_iters=100,batch_size=20):
t = 0
c_hist = [0] * n_iters
for epoch in range(n_iters):
shuffled_indices = np.random.permutation(len(y))
X_shuffled = X_scaled[shuffled_indices]
y_shuffled = y[shuffled_indices]
for i in range(0,len(Y),batch_size):
t+=1
xi = X_shuffled[i:i+batch_size]
yi = y_shuffled[i:i+batch_size]
gradient = 2/batch_size * xi.T.dot(xi.dot(thetas) - yi)
eta = learning_schedule(t)
thetas = thetas - eta * gradient
c_hist[epoch] = cost_function(xi,yi,thetas)
return thetas,c_hist
讓我們運行并獲得結(jié)果：
mini_batch_gd_thetas,mini_batch_gd_cost = mini_batch_gradient_descent(X,y,theta)
以及新參數(shù)下的成本函數(shù)：
cost_function(X,Y,mini_batch_gd_thetas)
OUT: 27.509689139167012
又一次真的很棒。我們運行了1/5的迭代，我們得到了一個更好的分數(shù)！
讓我們再畫出函數(shù)：
好了，我的梯度下降系列到此結(jié)束！感謝閱讀！
好消息！
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