給數(shù)學(xué)新手的忠告
數(shù)學(xué)算法俱樂部
日期?：?2020年11月29日?? ? ??
正文共?：16381字5圖
來源?：?培杰國際數(shù)學(xué)文化編者注：數(shù)學(xué)新手所需要學(xué)習(xí)的最重要東西，當(dāng)然是數(shù)學(xué)。然而，學(xué)習(xí)從其他數(shù)學(xué)家那里得來的經(jīng)驗(yàn)也是非常有價(jià)值的。在英國數(shù)學(xué)家菲爾茲獎(jiǎng)得主高爾斯編輯的《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》中，收入了包括阿蒂亞、孔涅在內(nèi)的五位大數(shù)學(xué)家寫給新手的“給年輕數(shù)學(xué)家的忠告”。作者被要求按照他們自己研究數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)新手給出忠告，就好象他們正在開始自己的研究生涯時(shí)，所愿意收到的忠告一樣。由此寫出的經(jīng)驗(yàn)不僅如我們所期待的那樣很有意思，而且更使我們感到驚奇的是它們很少有重復(fù)。以下是他們寫的寶貴經(jīng)驗(yàn)，雖然它們是針對(duì)數(shù)學(xué)新手而說的，但是肯定會(huì)被所有年紀(jì)的數(shù)學(xué)家所欣賞和閱讀。
?Michael Atiyah的忠告?
聲明以下僅僅是我個(gè)人的看法，主要依據(jù)我自己的經(jīng)驗(yàn)，反映了我的個(gè)性、我所研究的數(shù)學(xué)類型，以及我的工作風(fēng)格。實(shí)際上，數(shù)學(xué)家們的經(jīng)驗(yàn)、個(gè)性、工作類型和風(fēng)格可以說是千差萬別，你應(yīng)當(dāng)遵從你自己的天生愛好。你可以從別人那里學(xué)到東西，但應(yīng)該用你自己的方式來解釋你所學(xué)到的東西。原創(chuàng)性來自于打破常規(guī)，在某種程度上，還來自于過去的實(shí)踐。動(dòng)機(jī)一個(gè)數(shù)學(xué)家做研究，就像一個(gè)充滿創(chuàng)造力的藝術(shù)家一樣，必須對(duì)所研究的對(duì)象極其感興趣，全神貫注。如果沒有強(qiáng)烈的內(nèi)在動(dòng)機(jī)，你就不可能成功。即使你只是一名愛好數(shù)學(xué)者，你從解決困難問題中得到的滿足感也是巨大的。在研究的頭一、兩年里是最為困難的。有那么多的東西要學(xué)習(xí)。甚至有一些小問題你都無法解決，這樣你就會(huì)非常懷疑自己證明新定理的能力。在我研究的第二年，我順利度過了這一艱難的時(shí)期。塞爾(Jean-Pierre Serre)也許是我們這一代數(shù)學(xué)家中最杰出的一位，就是他也曾經(jīng)跟我講過，他在一段時(shí)間里認(rèn)真地想過是否要放棄數(shù)學(xué)。只有凡夫俗子才最相信自己的能力。你越是出色，你為自己定的標(biāo)準(zhǔn)就越高——你可以超越你所能夠達(dá)到的目標(biāo)。許多有可能成為數(shù)學(xué)家的人也具有從事其他行業(yè)的能力與興趣，他們可能都會(huì)面臨著非常艱難的選擇：是準(zhǔn)備成為一名數(shù)學(xué)家還是做其他的什么職業(yè)。據(jù)說偉大的高斯就曾在數(shù)學(xué)和語言學(xué)之間來回?fù)u擺，帕斯卡早年為了研究神學(xué)曾經(jīng)放棄數(shù)學(xué)，而笛卡爾和萊布尼茨同樣也是著名的哲學(xué)家。一些數(shù)學(xué)家后來成了物理學(xué)家（例如戴森(Freeman Dyson)），而另一些人正好相反（例如錢德拉(Harish Chandra)、博特(Raoul Bott)），他們從物理學(xué)家變成了數(shù)學(xué)家。你不能將數(shù)學(xué)看成一個(gè)封閉的系統(tǒng)，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的相互作用不論對(duì)個(gè)人還是對(duì)社會(huì)來說都是健康的。心理方面由于在數(shù)學(xué)中需要高度的集中思考能力，由此產(chǎn)生的心理壓力是相當(dāng)可觀的，即使是在研究比較順利的時(shí)候也是如此。這個(gè)問題是大是小主要看你的性格，不過可以采取措施來降低緊張的情緒。與同伴學(xué)生的交流——聽講座、參加討論班和會(huì)議等——都有利于開拓視野和獲得很重要的群體支持。過分的孤獨(dú)與深思可能是比較危險(xiǎn)的，有時(shí)候表面上看來是散漫的閑談其實(shí)并不是在浪費(fèi)時(shí)間。一開始的時(shí)候，與同伴學(xué)生或者導(dǎo)師進(jìn)行合作研究有許多好處，并且與別人的長時(shí)段合作會(huì)使人感到特別有信心，無論是在數(shù)學(xué)方面還是在個(gè)人交往方面。當(dāng)然，個(gè)人獨(dú)自安靜的思考總是需要的，不過與朋友們的思想交流與討論會(huì)更有助于這種思考，所以也是不可缺少的。解決問題還是創(chuàng)建理論數(shù)學(xué)家們有時(shí)可以被分為“問題解決者”或者“理論創(chuàng)建者”。雖然確實(shí)有比較極端的例子顯示了這種差別（例如愛爾迪希(Erd?s)與格羅騰迪克(Grothendieck)就是兩個(gè)極端），但是絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)家都處于他們中間的某個(gè)位置，他們同時(shí)在解決問題和發(fā)展某個(gè)理論。實(shí)際上，如果一個(gè)理論沒有導(dǎo)致具體的有趣問題的解決，那么就不值得去建立它。反過來，任何真正意義上的深刻問題總是刺激著為解決此問題而產(chǎn)生的理論的發(fā)展（費(fèi)馬大定理就是一個(gè)經(jīng)典的例子）。這對(duì)一個(gè)初學(xué)者來說有什么啟示？雖然人們不得不去讀那些書本和論文，以吸收通常的概念與理論方法，但是實(shí)際上初學(xué)者必須學(xué)會(huì)去關(guān)注一個(gè)或更多個(gè)具體的問題。這些問題可以讓人深思，可以磨礪人們的勇氣。一個(gè)經(jīng)過人們仔細(xì)研究和理解透徹的特定問題也是檢驗(yàn)一個(gè)理論是否有效的非常有價(jià)值的試金石。根據(jù)研究過程的不同，最后形成的博士論文要么拋開絕大多數(shù)理論的外衣而聚焦于一些本質(zhì)上的具體問題，要么它就是一個(gè)可以合理解決問題的長篇大論。好奇心的作用驅(qū)使人們進(jìn)行研究的原始動(dòng)力就是好奇心。一個(gè)特定的結(jié)論什么時(shí)候成立？那是一個(gè)最好的證明嗎？或者是否還有更自然、更簡潔的證明？使得結(jié)論成立的最一般的情形是什么？如果你在閱讀論文或在聽講座時(shí)，總是問自己這樣的問題，那么或早或遲答案會(huì)隱約浮現(xiàn)——包括一些可能的探索路徑。每當(dāng)這種情形出現(xiàn)時(shí)，我就會(huì)抽出時(shí)間努力追蹤這種想法，看它會(huì)引到哪里，或者是否經(jīng)得起仔細(xì)琢磨。盡管通來說十有八九會(huì)進(jìn)入死胡同，但偶爾一次會(huì)發(fā)現(xiàn)金子。困難在于我們不知道什么時(shí)候該停止，有些起初看起來是有效的想法實(shí)際上根本沒用。這時(shí)就應(yīng)該果斷脫身，回到主要的道路上來。人們常常會(huì)很猶豫作出這樣的決定，事實(shí)上我就是經(jīng)常回到先前已經(jīng)丟棄了的想法上來，嘗試用另外一種方法來解決問題。令人想象不到的是，好的想法也會(huì)產(chǎn)生于一個(gè)不好的講座或討論班。在聽報(bào)告的時(shí)候，我經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，結(jié)果很漂亮，但是證明卻很復(fù)雜和煩瑣。此時(shí)我就不會(huì)再跟著黑板上的證明，而是在接下來的時(shí)間里去構(gòu)思一個(gè)更簡潔的證明。雖然這通常來說不太成功，但至少我更好地度過了我的時(shí)間，因?yàn)槲乙呀?jīng)用我自己的方式努力地想過這個(gè)問題。這遠(yuǎn)勝過被動(dòng)地跟隨別人的思考。例子如果你像我一樣，喜歡宏大的和強(qiáng)有力的理論（我雖然受格羅騰迪克的影響，但我不是他的信徒），那么你就必須學(xué)會(huì)將這些理論運(yùn)用到簡單的例子上，以檢驗(yàn)理論的一般性結(jié)論。多年以來，我已經(jīng)構(gòu)造了一大批這樣的例子，它們來自各個(gè)分支領(lǐng)域。通過這些例子，我們可以進(jìn)行具體的計(jì)算，有時(shí)還能得到詳盡的公式，從而幫助我們更好地理解一般性的理論。它們可以讓你腳踏實(shí)地。非常有意思的是，雖然格羅騰迪克排斥例子，但是很幸運(yùn)的是他和塞爾有著非常緊密的合作關(guān)系，而后者能夠彌補(bǔ)他在例子方面的不足。當(dāng)然在例子與理論之間也沒有一條明確的分界線。我喜歡的許多例子都是來自于我早年在經(jīng)典射影幾何中所受到的訓(xùn)練：三次扭曲線、二次曲面、或者三維空間中直線的克萊因（Klein）表示等。再?zèng)]有比這些例子更具體和更經(jīng)典了，它們不僅都可以同時(shí)用代數(shù)的方式和幾何的方式來進(jìn)行研究，而且它們每一個(gè)都是一大類例子中開頭的一個(gè)（例子一多慢慢就變成了理論），它們中的每一個(gè)都很好地解釋了以下這些理論：有理曲線的理論、齊性空間的理論、或者格拉斯曼流形的理論(Grassmannians)。例子的另一個(gè)作用是它們可以指向不同的研究方向。一個(gè)例子可以用幾種不同的方式加以推廣，或用來說明幾種不同的原理。例如一條經(jīng)典的二次曲線不僅是一條有理曲線，同時(shí)又是一個(gè)二次超曲面(quadric)，或者是一個(gè)格拉斯曼流形等。當(dāng)然最重要的是，一個(gè)好例子就是一件美麗珍寶。它光彩照人，令人信服。它讓人洞察和理解。它是（我們對(duì)數(shù)學(xué)理論）信仰的基石。證明我們所受到的教育告訴我們，“證明”是數(shù)學(xué)中最重要的事情，用公理和命題小心編織起來的歐幾里得幾何體系提供了自文藝復(fù)興以來現(xiàn)代思想的基本框架。相比于其他自然科學(xué)家們的做實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)方法，數(shù)學(xué)家們?yōu)樗麄兊慕^對(duì)準(zhǔn)確無誤的定理而感到自豪，更不要說在其他領(lǐng)域里那些模模糊糊的思維方式了。但是自從哥德爾(G?del)（發(fā)現(xiàn)不完全性定理）以來，數(shù)學(xué)的絕對(duì)真理地位確實(shí)發(fā)生了動(dòng)搖，此外繁復(fù)冗長的計(jì)算機(jī)證明的出現(xiàn)也使數(shù)學(xué)家們的態(tài)度變得更謙卑一些。但是不管怎樣，證明還是保持著它在數(shù)學(xué)中的主要作用，如果在你的論文中，你的證明有一個(gè)比較嚴(yán)重的漏洞，那么將直接導(dǎo)致退稿。然而，如果將數(shù)學(xué)中的全部研究工作僅僅等同于不斷作出各種證明的過程，那么你就錯(cuò)了。實(shí)際上人們可以說，數(shù)學(xué)研究中真正帶有創(chuàng)造性的那部分工作在寫證明的階段之前就已經(jīng)完成了。對(duì)于后面這個(gè)“證明階段”，我們可以打一個(gè)比方：就好比你是在寫劇本，必須要從事先的構(gòu)想出發(fā)，發(fā)展情節(jié)，寫出對(duì)話，包括給出舞臺(tái)指導(dǎo)等。最后形成的劇本就可以看成是“證明”：它是事先構(gòu)想的具體實(shí)現(xiàn)。在數(shù)學(xué)中，一般是先有思想和概念，然后再提出問題。接下來就開始對(duì)問題解答的探尋，人們尋找某種方法或者策略。一旦你自己相信這是一個(gè)恰當(dāng)?shù)膯栴}，并且你又有對(duì)此問題合適的工具，那么你接著就會(huì)開始努力思索證明的具體技術(shù)細(xì)節(jié)。但不久你會(huì)意識(shí)到（也許是通過反例發(fā)現(xiàn)）問題提出的方式不對(duì)。有時(shí)候，在初始的想法與最終的結(jié)論之間有較大的反差。你沒有注意到一些隱含的假設(shè)，或忽略了某個(gè)技術(shù)細(xì)節(jié)，或者你考慮的情形太一般。然后你不得不回過頭來，重新修改提出你的問題。如果有人說數(shù)學(xué)家們總是控制他們提出的問題，以便他們得到答案，這是不公平的夸大其詞，但也不是完全沒有道理。能夠提出一些既有趣又可以被解決的問題，是數(shù)學(xué)中一種高超的藝術(shù)，數(shù)學(xué)本身其實(shí)就是一種藝術(shù)。證明實(shí)際上是創(chuàng)造性想象和不斷反思推理之間長期相互作用的最終結(jié)果。如果沒有證明，數(shù)學(xué)的研究是不完整的，反之，如果沒有想象，則研究無從談起。在這里人們可以看到和其他領(lǐng)域中創(chuàng)造性藝術(shù)家（例如作家、畫家、作曲家、或建筑家）工作的一個(gè)相似情形。先有一個(gè)幻象，然后發(fā)展成一個(gè)思路，再不斷試驗(yàn)展開，最后便是漫長的藝術(shù)品總裝完成的技術(shù)性過程。技術(shù)與幻象之間必須保持接觸，各自按照自己的方式不斷地修正另外一方。策略在上一節(jié)中，我討論了對(duì)于證明的看法，以及它在整個(gè)創(chuàng)造性過程中的作用?，F(xiàn)在讓我們轉(zhuǎn)向一個(gè)對(duì)于年輕的數(shù)學(xué)家們來說最實(shí)際的問題。人們應(yīng)采取什么策略？你怎樣做，才能夠找到一個(gè)證明？這個(gè)問題如果泛泛而談的話，沒有多大意義。就象我在前面說過的那樣，每一個(gè)好問題都有它的起源：它來自于某個(gè)背景，它有自己的根。為了使問題能夠得到進(jìn)展，你必須要透徹地理解這些根源。這就是為什么發(fā)現(xiàn)你自己的問題、提出你自己的想法總是比從你導(dǎo)師那里得到問題要好的緣故。如果你知道一個(gè)問題是從哪里來的，為什么要問這個(gè)問題，那么你就已經(jīng)成功了一半。實(shí)際上，問一個(gè)正確的問題常常和解決這個(gè)問題一樣困難。找到正確的問題背景是首要的一步。因此，簡要地說，你需要對(duì)這個(gè)問題的歷史有一個(gè)很好的了解。你應(yīng)當(dāng)知道解決類似的問題是采用什么方法，以及這些方法的局限性又在哪里。當(dāng)你被一個(gè)問題完全吸引時(shí)，應(yīng)該立即全力以赴地思考這個(gè)問題。為了得到解答，除了全力投入外別無他法。你應(yīng)當(dāng)考察特殊的情形，以便確定主要困難出現(xiàn)在什么地方。你對(duì)問題的背景和先前的解決方法了解得越多，你能夠嘗試的技巧與方法也就越多。另一方面，有時(shí)候?qū)栴}與方法的無知也是一件好事情。曾有報(bào)道說李特爾伍德(J. E. Littlewood)讓他的每一個(gè)研究生都分別做一個(gè)將黎曼猜想裝扮起來的問題，直到他們?cè)诹鶄€(gè)月之后，才知道了真相。他的理由是學(xué)生們不會(huì)有自信去直接攻克這么有名的難題，但是如果他們不知道他們的對(duì)手是大名鼎鼎的黎曼的話，也許他們會(huì)獲得進(jìn)展！盡管這種策略不大可能產(chǎn)生一個(gè)黎曼猜想的證明，卻能夠產(chǎn)生一批生氣勃勃、敢于攻堅(jiān)克難的學(xué)生。我自己的方法是盡量避免直接攻擊，努力尋找間接的途徑。這是因?yàn)?，將你的問題與各個(gè)不同領(lǐng)域中的思想與方法聯(lián)系起來，可能會(huì)帶來令人意想不到的結(jié)果。如果這個(gè)策略成功的話，它將會(huì)導(dǎo)致一個(gè)非常漂亮的簡單證明，同時(shí)也“解釋”了為什么事情能夠成立的原因。實(shí)際上我相信：努力地去尋找這樣一種解釋和理解，是我們真正應(yīng)該達(dá)到的目標(biāo)。證明可以看成是這個(gè)過程的一部分，有時(shí)也是這個(gè)過程的結(jié)果。拓展你的視野也是你尋找新方法任務(wù)中的一部分。與人交談會(huì)提升你的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，并且有時(shí)會(huì)給你帶來新思想和新方法。你很有可能由此而獲得關(guān)于你自己研究的一個(gè)有價(jià)值的想法，甚至是一個(gè)新的方向。如果你需要學(xué)習(xí)一個(gè)新的課題，除了學(xué)習(xí)文獻(xiàn)之外，最好是能找到這方面的一個(gè)比較友善的專家，“從他的嘴里”獲取教益——口頭的講解更簡潔明快。在向前看并經(jīng)常注意新發(fā)展的同時(shí)，你也不應(yīng)該忘記過去。在過去的年代中，有許多非常有價(jià)值的數(shù)學(xué)成果被塵封和遺忘了，它們只有被重新發(fā)現(xiàn)的時(shí)候才顯露出光芒。這些結(jié)果不容易被發(fā)現(xiàn)，部分原因是因?yàn)閿?shù)學(xué)的術(shù)語和風(fēng)格改變了，但是它們確確實(shí)實(shí)是金礦。如果你遇到這樣的金礦，你應(yīng)該要感到非常幸運(yùn)，你必須報(bào)答那些開拓者。獨(dú)立或合作在開始你的研究之前，你與你導(dǎo)師之間的關(guān)系是至關(guān)重要的，因此要小心地選擇你的導(dǎo)師，包括他所研究的方向、人品、以及以往的研究工作等都要考慮。當(dāng)然很少有導(dǎo)師在這三個(gè)方面都令人滿意。接下來，如果事情在頭一兩年進(jìn)行得并不順利，或者你的興趣發(fā)生了明顯轉(zhuǎn)移，則應(yīng)該毫不猶豫地調(diào)換你的導(dǎo)師，甚至是你的大學(xué)。這不會(huì)冒犯你的導(dǎo)師，或許也是他的解脫！有的時(shí)候，你可能是比較大的研究小組中的一個(gè)成員，并且與其他成員也有交流的機(jī)會(huì)，所以實(shí)際上你有不止一個(gè)的導(dǎo)師。這可以提供其他的思想來源，以及另外不同的工作方式，這些都是有幫助的。在這樣一些大的群體中，你也可以從你的同伴學(xué)生那里學(xué)到許多，這就是為什么選擇一個(gè)包含有大的研究生院的數(shù)學(xué)系是一個(gè)好主意的緣故。當(dāng)你一旦完成了你的博士論文后，你的研究就進(jìn)入了一個(gè)新的階段。盡管你可以繼續(xù)與你的導(dǎo)師進(jìn)行合作，并待在原來的研究群體中，但是為了你以后進(jìn)一步的發(fā)展，比較健康的做法是用一年或更多的時(shí)間去另外的一個(gè)地方。這可以讓你接受新思想的影響，并獲得更多的機(jī)會(huì)?，F(xiàn)在是這樣一個(gè)時(shí)代：你可以有機(jī)會(huì)在大千數(shù)學(xué)世界中為自己找到一個(gè)位置。一般來講，在一個(gè)相當(dāng)長的時(shí)間里，繼續(xù)太緊密地停留在你博士論文的課題上不是一個(gè)好的主意。你必須要“另立門派”，以顯示你的獨(dú)立性。這不必在研究的方向上作劇烈的改變，只是應(yīng)該要有確確實(shí)實(shí)新穎的地方，而不是你博士論文的簡單的常規(guī)延續(xù)。風(fēng)格在你寫論文的時(shí)候，你的導(dǎo)師通常會(huì)指導(dǎo)你如何安排文章的結(jié)構(gòu)和呈現(xiàn)的方式。然而在你的數(shù)學(xué)研究中也非常需要你自己的個(gè)人風(fēng)格。雖然對(duì)于各種類型的數(shù)學(xué)來說，這方面的要求有所不同，但還是有許多方面的要求適用于所有的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。以下便是對(duì)怎樣寫出一篇好論文的幾點(diǎn)提示。(1) 在你開始寫作之前，先通盤考慮好整個(gè)論文的邏輯結(jié)構(gòu)。(2) 將很長的復(fù)雜證明分成比較短的中間步驟（如引理、命題等），這會(huì)幫助讀者閱讀。(3) 寫通順簡明的英語（或者你選擇的語言）。請(qǐng)記住數(shù)學(xué)也是文學(xué)的一種表現(xiàn)形式。(4) 盡可能地簡明扼要，同時(shí)又要敘述清楚。要保持這樣的平衡是很困難的。(5) 盡量將論文寫成和你所喜歡閱讀的論文一樣，并模仿它們的風(fēng)格。(6) 當(dāng)你已經(jīng)完成了你論文的主要部分后，回過頭來認(rèn)真地寫一篇引言，在其中要清楚地解釋論文的結(jié)構(gòu)和主要結(jié)果，已經(jīng)一般的來源背景。要避免不必要的含糊深?yuàn)W，要面向一般的數(shù)學(xué)讀者，而不只是少數(shù)的專家。(7) 試著將你的論文初稿讓一個(gè)同事閱讀，并留意任何的建議或評(píng)論。如果你最親近的朋友與合作者都無法理解你的論文，那么你就已經(jīng)失敗了，你需要加倍地努力。(8) 如果不是非常急著出版，那么將你的論文丟在一邊幾個(gè)星期，做其他的事情。然后再以一種新鮮的視角重新來閱讀你的論文，會(huì)有一種全然不同的感覺，你將知道怎樣去修改它。(9) 如果你相信重寫論文會(huì)更加清楚、更容易閱讀，那么你就不要吝嗇將論文重新寫一遍，也許站在一個(gè)全新的角度看得更清楚。寫得好的論文將成為“經(jīng)典”，被將來的數(shù)學(xué)家們廣泛閱讀。 Béla Bollobas的忠告?
?“在這個(gè)世界上，那些丑陋的數(shù)學(xué)不可能長久流傳。”哈代（Hardy）曾經(jīng)這樣寫過，同樣我相信在這個(gè)世界上，那些陰郁的缺乏激情的數(shù)學(xué)家也是沒有什么地位的。僅僅當(dāng)你真正熱衷于數(shù)學(xué)時(shí)，你才有可能做好它，即使當(dāng)你從事另外一種工作，在忙了一整天之后你也會(huì)擠出時(shí)間來研究數(shù)學(xué)。就像詩歌和音樂一樣，數(shù)學(xué)不是機(jī)械的勞作，而是美好的假日。口味（或鑒賞力）高于一切。對(duì)于我們這門學(xué)科來說，對(duì)什么是好的數(shù)學(xué)似乎有比較一致的看法，這簡直是一個(gè)奇跡。你應(yīng)當(dāng)在重要的分支領(lǐng)域里工作，這種領(lǐng)域在相當(dāng)長的時(shí)間里不大可能枯竭，你應(yīng)該做那些既美麗又重要的問題：在一個(gè)好的領(lǐng)域里，這樣的問題非常多，而不是僅有那么幾個(gè)著名的難題。確實(shí)來說，如果把目標(biāo)定得太高，將導(dǎo)致在長時(shí)間里出不了成果：雖然在你研究生涯的某個(gè)階段里可以忍受，但是對(duì)于新手來說最好要避免這樣。在你的數(shù)學(xué)活動(dòng)中要努力保持一種平衡：對(duì)于真正的數(shù)學(xué)家來說，研究是放在首要地位的，但是在研究之外，還要進(jìn)行大量的閱讀，以及搞好教學(xué)。要充滿樂趣地做好所有水平的數(shù)學(xué)工作，即使它（幾乎）跟你的研究沒有任何關(guān)系。教學(xué)不應(yīng)該成為負(fù)擔(dān)，而應(yīng)該是靈感的來源之一。研究絕不應(yīng)該變成一種零星的雜務(wù)（不象寫作那樣）：你應(yīng)該選擇你很難?不去想它的問題。這就是為什么你自己有一些被它們深深吸引的問題比你去解決別人交給你的問題要更好的緣故。在你研究生涯的早期，當(dāng)你還是一個(gè)研究生的時(shí)候，你應(yīng)該聽取你的有經(jīng)驗(yàn)的導(dǎo)師的意見，讓他來幫助你判斷你自己喜歡的問題是否合適，這比做他給你的問題要好，因?yàn)楹笳呖赡懿环夏愕目谖?。畢竟來說，你的導(dǎo)師對(duì)某個(gè)問題是否值得你去研究，應(yīng)該會(huì)有一個(gè)比較好的想法，哪怕是他對(duì)你的實(shí)力與口味可能還不了解。在你以后的研究生涯中，當(dāng)你不再依賴你的導(dǎo)師時(shí)，與一些比較談得來的同事的交流也常常會(huì)受到啟發(fā)。我會(huì)建議你們：在任何時(shí)候，你所做的數(shù)學(xué)問題應(yīng)該包含以下兩種類型：(1) “夢(mèng)想”類的問題：一個(gè)你非常想要解決、但基本上你不可能?期望?解決的大問題。(2)非常值得的問題：如果花費(fèi)足夠的時(shí)間和努力、并且足夠幸運(yùn)的話，你覺得你很有可能解決的一些問題。此外，還有兩種你應(yīng)該考慮的問題，雖然它們不如前面的那兩種問題重要。（1）不時(shí)地解決這樣一類問題，它們?cè)谀愕哪芰χ?，你完全有自信?huì)很快地解決它們，使得花在它們上面的時(shí)間，不會(huì)妨礙你去解決更合適你的問題。（2）在更低的層次上，去做那些已經(jīng)不是真正值得去研究的問題（雖然它們?cè)趲啄昵霸?jīng)是這樣的問題），總是一件非常愉快的事情，由于這些問題太好了，所以值得花時(shí)間：解決他們將給你帶來快樂，并鍛煉和提升你的創(chuàng)造能力。要耐心，要堅(jiān)持。當(dāng)你考慮一個(gè)問題時(shí)，也許你能夠采取的最有用的措施是，在所有的時(shí)間里都把這個(gè)問題放在心上：牛頓就是用這樣的方法，其他的許多先人也都是這樣。要付出你的時(shí)間，尤其是在攻克主要問題的時(shí)候，要保證自己在一個(gè)大問題上，花費(fèi)相當(dāng)數(shù)量的時(shí)間，但不應(yīng)期望過多，做完之后，就擱置起來，然后決定接下來該做什么。在讓你的研究不放過一個(gè)機(jī)會(huì)的同時(shí)，也應(yīng)注意不要在一種方法上陷得太深，否則就可能遺漏其他的解決方法。就象愛爾迪希曾經(jīng)說過的那樣，要使頭腦敏捷，要讓你的大腦保持開放的狀態(tài)。不要怕犯錯(cuò)誤。一個(gè)錯(cuò)誤對(duì)于一名象棋手來說，可能是致命的，但對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)家來說，它相當(dāng)于是常規(guī)的程序。你應(yīng)該感到恐懼的是面對(duì)一張空白稿紙的時(shí)候，此時(shí)你對(duì)問題的思考還不多。等過了一段時(shí)間，你的廢紙簍里將裝滿你嘗試失敗的稿紙，此時(shí)也許你還在勤奮地工作。要盡量避免平庸的嘗試，而永遠(yuǎn)是興致勃勃地投入工作。特別是，研究一個(gè)問題的最簡單情形，通常來說不會(huì)浪費(fèi)時(shí)間，而且可能是非常有效的方法。當(dāng)你在一個(gè)問題上花費(fèi)了相當(dāng)多的時(shí)間之后，很容易低估你所取得的進(jìn)展，并且還同樣會(huì)低估你將它們?nèi)炕貞浧饋淼哪芰?。最好將它們寫下來，哪怕是一小部分的結(jié)果：你的筆記會(huì)節(jié)約你以后的大量時(shí)間，會(huì)給你帶來更多的機(jī)會(huì)。如果你足夠幸運(yùn)，并且取得了突破的話，你很自然地會(huì)對(duì)整個(gè)項(xiàng)目感到有些厭倦，并且還想靠此榮譽(yù)止步不前。要抵制這種想法，并努力尋找是否還有其他的突破在等待著你。作為一個(gè)年輕的數(shù)學(xué)家，你的主要優(yōu)勢(shì)是你有充足的時(shí)間做研究。對(duì)此你可能沒有意識(shí)到，但是以后很可能不大會(huì)再有像你開始研究生涯時(shí)那樣充足的時(shí)間了。每個(gè)人都感覺到?jīng)]有足夠的時(shí)間來研究數(shù)學(xué)，并且隨著時(shí)間的推移，這種感覺會(huì)越來越強(qiáng)烈，時(shí)間肯定會(huì)越來越少。現(xiàn)在轉(zhuǎn)向閱讀。在談到所閱讀過的數(shù)量時(shí)，年輕人通常都處于不利的地位，因此作為彌補(bǔ)，應(yīng)盡可能地多閱讀，既包括你的一般的領(lǐng)域，也包括作為一個(gè)整體的其他數(shù)學(xué)。在你的研究領(lǐng)域，要確信你讀的許多論文是由最好的人寫的。雖然這些文章常常寫得不太仔細(xì)，但是它們所包含的高質(zhì)量的想法會(huì)對(duì)你的辛苦閱讀給出豐厚的回報(bào)。不論你讀什么，都要保持一種積極參與和質(zhì)疑的態(tài)度：不斷設(shè)法理解作者的意圖，不斷努力思考是否還有更好的處理方法。如果作者走的是你已經(jīng)知道的思路，那么你應(yīng)該感到高興，如果他走的是另一條不同的道路，那你就應(yīng)該進(jìn)一步思考其中的緣由。對(duì)于各種定理與證明，反復(fù)問你自己這樣的問題，即使它們看起來非常簡單：這些問題將極大地幫助你更好地理解數(shù)學(xué)。另一方面，對(duì)于一個(gè)你正在打算做的未解決問題，通常來說?不必熟讀與此相關(guān)的所有東西：但在你很深入地思考過之后，可以（而且應(yīng)該）去讀那些其他人寫的不成功的文章。要保持你對(duì)新奇事物的感知與驚訝的能力，要能夠欣賞你所讀過的數(shù)學(xué)研究成果和思想，不要對(duì)這些杰出的思想和成果感覺到?jīng)]有什么了不起。事后你當(dāng)然知道事情一定是這樣的，這是很容易的：畢竟你已經(jīng)剛讀完了證明。聰明的人會(huì)舍得花大量的時(shí)間來汲取新思想。對(duì)他們來說，只知道一些定理和看懂它們的證明是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的：他們要把定理及其證明融化在他們的血液里。在你的數(shù)學(xué)職業(yè)生涯進(jìn)展過程中，永遠(yuǎn)讓你的心智保持對(duì)新思想和新方向的開放狀態(tài)：數(shù)學(xué)的疆域總是在變化，如果你不想落在后面，那你就必須也要跟著變化。永遠(yuǎn)要磨礪你的工具，并且不斷學(xué)習(xí)掌握新的工具。最重要的是，喜歡數(shù)學(xué)和熱愛數(shù)學(xué)。喜歡你自己的研究，到處尋找和閱讀相關(guān)的新結(jié)果，將你對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛傳遞給別人，即使你的創(chuàng)造僅僅是一些美麗的小問題，只要是你思考過的，或者是從你的同事那里聽說的，都會(huì)帶來樂趣。如果我要總結(jié)以上這些我們應(yīng)該遵循的忠告，以便在科學(xué)和藝術(shù)中獲得成功，那么最好是回憶Vitruvius在兩千年前曾經(jīng)寫下的一句話：從來不學(xué)習(xí)的天才，以及沒有天才的學(xué)習(xí)者，都不能成為一個(gè)完美的藝術(shù)家。 Alain Connes的忠告?
數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)的支柱，它是許多新概念與新工具的相當(dāng)有效的源泉，借助于這些新概念和新工具，我們才得以理解置身其中的“現(xiàn)實(shí)世界”。這些新概念本身就是人類思維這個(gè)蒸餾器經(jīng)歷長期“蒸餾”過程的結(jié)果。我被要求寫一些對(duì)于年輕數(shù)學(xué)家的忠告。首先我感到每一位數(shù)學(xué)家都是一個(gè)個(gè)特殊的案例，總體來講數(shù)學(xué)家們都傾向于成為（喜歡獨(dú)立的）“費(fèi)米子”，即他們盡量避免在太大眾化的領(lǐng)域里做研究，而物理學(xué)家們的表現(xiàn)則更像（群居的）“玻色子”，他們組合成很大的團(tuán)隊(duì)，并經(jīng)?！斑^分夸大”他們?nèi)〉玫慕Y(jié)果——這種態(tài)度是會(huì)被數(shù)學(xué)家們鄙夷的。人們一般總是首先將數(shù)學(xué)劃分成一些相互獨(dú)立的分支學(xué)科，例如幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、分析學(xué)、以及數(shù)論等等，其中，幾何學(xué)主要是試圖理解“空間”的概念，代數(shù)學(xué)主要研究字母符號(hào)的操作藝術(shù)，而分析學(xué)則主要關(guān)注涉及“無窮”與“連續(xù)”的對(duì)象等等。但是，這種看法與數(shù)學(xué)這門學(xué)科的一個(gè)最重要的本性相違背，即把上述那些分支學(xué)科中的任何一個(gè)在不剝離自身本質(zhì)的前提下從其余的分支中獨(dú)立出來是根本不可能的。實(shí)際上，整個(gè)數(shù)學(xué)就像一個(gè)完整的生命體，只有在結(jié)為一體的情況下才能生存，如果它被分割成若干不相連的部分，那么它就會(huì)消亡。數(shù)學(xué)家們的研究生涯可以被描述成是在“數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)世界”王國里的一次探險(xiǎn)旅行，他們用自己的知識(shí)架構(gòu)逐步揭開它的神秘面紗。這個(gè)過程往往開始于對(duì)現(xiàn)存書本上關(guān)于數(shù)學(xué)王國的教條描述的不滿與反叛。想要成為數(shù)學(xué)家的年輕人開始意識(shí)到，他們自己關(guān)于數(shù)學(xué)世界的看法已經(jīng)抓住了數(shù)學(xué)的某些特征，而這又與已有的教條不相符合。在大多數(shù)的情況下，這種初期的反叛來源于無知，但卻不無益處，因?yàn)樗梢詭椭藗儚膶?duì)權(quán)威的敬畏中解放出來，使得他們可以依靠他們的直覺，并且用實(shí)際的證明來支撐他們的直覺。一旦一個(gè)數(shù)學(xué)家真正開始了自己的研究并獲得了解，哪怕是以一種非常原始和“個(gè)人化的”方式，或者是處在數(shù)學(xué)世界的一個(gè)非常狹小的領(lǐng)域里，并且無論初看起來是多么怪異1 ，那么這個(gè)探險(xiǎn)旅行實(shí)際上就已經(jīng)開始了。當(dāng)然，很重要的是不要去打破“阿莉阿尼線團(tuán)”2：在始終保持用一種新鮮的眼光看待旅途中遇到的各種問題的同時(shí)，還能夠在一次次感到迷路的時(shí)候回到出發(fā)點(diǎn)。同樣重要的是，一直保持對(duì)各種數(shù)學(xué)的興趣。否則，我們就會(huì)冒著一種風(fēng)險(xiǎn)，將自己完全局限于一個(gè)已經(jīng)被高度技術(shù)化了的非常狹小的領(lǐng)域里，從而限制了我們對(duì)于巨大的變幻莫測(cè)的數(shù)學(xué)世界洞察力的發(fā)揮。在這方面最基本的要點(diǎn)是：盡管有許多數(shù)學(xué)家畢其一生在探索數(shù)學(xué)世界中各不相同的領(lǐng)域，而且看問題的角度是那樣的不同，可是他們都同意他們其實(shí)是在研究同一對(duì)象的各個(gè)不同部分。不管我們各自旅行的出發(fā)點(diǎn)在哪里，總有一天，當(dāng)我們走了足夠長的距離后，會(huì)發(fā)現(xiàn)大家都不約而同地走到了數(shù)學(xué)王國的同一座著名城堡：例如橢圓函數(shù)、模形式、或者zeta函數(shù)等?！皸l條道路通羅馬”，數(shù)學(xué)世界也是相互連通的。當(dāng)然這并不是說數(shù)學(xué)的所有各個(gè)部分都是相似的，在這里很值得引用格羅騰迪克（在《收獲與播種》一書中）對(duì)分析學(xué)與代數(shù)幾何學(xué)所作的比較，前者是他最初涉足的研究領(lǐng)域，而對(duì)后者的研究則耗盡了他之后數(shù)學(xué)生涯的全部心血：我仍然記得這種強(qiáng)烈的印象（當(dāng)然完全是主觀的），就好象我自己從貧瘠的荒野轉(zhuǎn)瞬間突然來到了“神所授予的”富饒土地，它們無邊無際，你可以盡情地在其中探究，施展自己的身手與才華。大多數(shù)的數(shù)學(xué)家們都很務(wù)實(shí)地將自己看成是這個(gè)“數(shù)學(xué)世界”的探索者，他們并不是很關(guān)心它是否真的存在，他們只是用自己的直覺以及大量的理性思維來揭示這個(gè)數(shù)學(xué)世界的結(jié)構(gòu)。這種直覺離所謂的“理想化的愿望”并不太遠(yuǎn)（就像法國詩人Paul Valery所強(qiáng)調(diào)的那樣），而大量的理性思維則需要高度集中的思考時(shí)間。每一代數(shù)學(xué)家都構(gòu)建了反映他們自己對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)王國理解的智力圖景。他們建造了越來越敏銳的智力工具，這樣就能夠來開發(fā)先前未被發(fā)現(xiàn)的各種研究領(lǐng)域。真正有趣的事情是：在數(shù)學(xué)王國的各個(gè)不同的領(lǐng)域之間找到了意想不到的聯(lián)系橋梁，這種聯(lián)系在前輩數(shù)學(xué)家們的智力圖景中還是顯得非常模糊和遙遠(yuǎn)的。而當(dāng)這種情形產(chǎn)生時(shí)，就像突然之間一陣清風(fēng)吹散了籠罩在我們美麗大地上的迷霧。在我自己的工作中，這種類型的巨大驚喜常來自于與物理學(xué)密切相關(guān)的數(shù)學(xué)研究。數(shù)學(xué)概念很自然地來源于物理學(xué)，這已經(jīng)成為了一個(gè)基本共識(shí)，就像阿達(dá)瑪(Hadamard)所曾經(jīng)指出的那樣。對(duì)他來說，他們所展示的不僅僅是短暫的能讓數(shù)學(xué)家們暈頭轉(zhuǎn)向的新奇小技巧，而是那種從事物本身涌現(xiàn)出來的真正富饒多產(chǎn)的新穎。下面我將用一些比較“實(shí)用”的忠告來結(jié)束這篇短文。只是要注意每一位數(shù)學(xué)家都是一個(gè)“特殊的案例”，不用太在意這些忠告。散步當(dāng)你正在與一個(gè)非常復(fù)雜的問題搏斗時(shí)（常常涉及計(jì)算），一個(gè)非常明智的練習(xí)是出去走一段距離很長的路（不帶紙和筆），一邊走一邊在腦子里做計(jì)算，不用擔(dān)心這初看起來是否“太復(fù)雜了，不可能這樣做”。即使不成功，也能夠訓(xùn)練超人的記憶力和不斷完善自己的方法。躺下數(shù)學(xué)家們一般很難向他們的同事解釋，他們研究工作最辛苦緊張的時(shí)刻竟然是他們?cè)诤诎抵刑稍谏嘲l(fā)上的時(shí)候。很不幸的是，隨著e-mail和電腦屏幕侵入所有的數(shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu)和場(chǎng)所，將自己完全孤立起來、從而集中心思的彌足珍貴的機(jī)會(huì)就變得十分稀少了。再勇敢些在通向新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程中，一般有好幾個(gè)階段。盡管處在后面的只需要我們理性與專心的（證明與計(jì)算）核查階段的工作量大得驚人，但相比較而言，位于前面的更加富有創(chuàng)造性的（探索與構(gòu)思）階段則完全不同。在某種程度上，這個(gè)探索階段還需要一種你對(duì)自己無知的保護(hù)意識(shí)，因?yàn)榭偸怯星f個(gè)理由叫我們不要盯在那些其他許多數(shù)學(xué)家們都沒有解決的問題上。挫折在數(shù)學(xué)家們的研究生涯中，包括很早的時(shí)期，他們會(huì)不斷收到來自競(jìng)爭(zhēng)者們的論文預(yù)印本，這時(shí)他們會(huì)因?yàn)槁浜蠖械奖妒艽驌簟Ｔ谶@里我所能給出的建議是，應(yīng)當(dāng)努力將這種挫敗感轉(zhuǎn)化為鼓勵(lì)你更加勤奮工作的前進(jìn)的動(dòng)力。然而這做起來并不容易。懷有妒忌的認(rèn)可我的一個(gè)同事曾經(jīng)說，“我們（數(shù)學(xué)家）的工作，說到底就是為了得到幾個(gè)朋友的懷有妒忌的認(rèn)可?！贝_實(shí)，由于我們的研究工作本質(zhì)上講還是相當(dāng)冷僻孤立的，所以不幸的是我們總是以各種方式極度渴求這種認(rèn)同感，可是坦率講我們不應(yīng)該期望過高。實(shí)際上，真正的判斷來自于自己。沒有人能比自己更明白自己所做的工作究竟是什么，過分地?fù)?dān)心在乎別人的看法是在浪費(fèi)時(shí)間：因?yàn)槠駷橹惯€沒有一個(gè)定理是通過被選舉出來的方式獲得證明的。就像費(fèi)曼(Feynman)曾經(jīng)說過的那樣，“你為什么要在乎別人怎么想？”1.我自己最初的出發(fā)點(diǎn)是研究多項(xiàng)式根的分布問題。幸運(yùn)的是我在很小年紀(jì)就被邀請(qǐng)參加在西雅圖舉行的一次會(huì)議，在那里我受到引導(dǎo)，后來我所有的在因子理論方面的工作都起源于此。2.阿莉阿尼是古希臘傳說中的克里特國王彌諾斯的長女。國王養(yǎng)了一頭怪物，每年要吃七對(duì)童男童女。雅典王子忒修斯決心到島上的迷宮里除掉怪物。在進(jìn)迷宮前，他偶遇阿莉阿尼公主，公主愛上了他，交給他一個(gè)線團(tuán)，讓他將一端放在迷宮外，一端拿在手中，以免迷路。忒修斯殺死怪物后順線走出迷宮。 Dusa Mcduff的忠告?
我是以一種與我的同齡人很不相同的方式開始我的成年生活的。我總是被教導(dǎo)說要有一份獨(dú)立的職業(yè)，我的家庭與學(xué)校也非常鼓勵(lì)我成為一名數(shù)學(xué)家。與通常學(xué)校不同，我所上的女子學(xué)校有一位非常杰出的數(shù)學(xué)教師，他讓我領(lǐng)略了歐幾里得幾何與微積分的美好。而與此相對(duì)比的是，我對(duì)教科學(xué)的老師就沒有好感，并且由于大學(xué)里的科學(xué)教師也不是太好，以至于我從來就沒有學(xué)到任何真正的物理學(xué)。就是在這種很有限的條件下，我變得非常想成為一名專門進(jìn)行研究的數(shù)學(xué)家。在某些方面我非常自信的同時(shí)，在另外一些方面我又感到十分的欠缺。我所面臨的一個(gè)基本問題是，有時(shí)會(huì)莫名地感受到這樣一種說法的影響：女性在學(xué)術(shù)職業(yè)上屬于二等公民，因此是可以被忽略的。我從來沒有女性的朋友，從來沒有真正地評(píng)估過我自己的智力狀況，可能還是和其他女性一樣屬于比較瑣碎和實(shí)際的那種，并且不像男人那樣真正具有創(chuàng)造力。社會(huì)上對(duì)于這種情況有許多的說法：婦女們待在家里燒火做飯，而男人們則外出闖世界，婦女可能會(huì)冥想，但不會(huì)成為詩人，婦女不具有成為一名數(shù)學(xué)家所需要的真正的靈魂等等。對(duì)此還有許多其他的說法。最近在我的一些女性朋友中流傳著一封有趣的信件，它列出了各種不同科學(xué)領(lǐng)域中一些常見的互相矛盾的偏見，所得出的結(jié)論是，女性被認(rèn)為不論做什么最有價(jià)值的事情，都是做不好的。我接著不久又遇到的另一個(gè)明顯問題是，我在只學(xué)了非常少的數(shù)學(xué)的情況下，就要著手完成我的博士論文。我的題目是有關(guān)馮·諾依曼(von Neumann)代數(shù)，這是一個(gè)狹小的題目，與其他我真正了解的事情沒有任何聯(lián)系。在那個(gè)小領(lǐng)域里我看不到前進(jìn)的方向，并且我?guī)缀鯇?duì)其他的領(lǐng)域也一無所知。當(dāng)我在研究生的最后一年到達(dá)莫斯科時(shí)，蓋爾范德(Gel’fand)給了我一篇論文，是關(guān)于流形上向量場(chǎng)的李代數(shù)的上同調(diào)的，我不知道什么是上同調(diào)，什么是流形，什么是向量場(chǎng)，以及什么是李代數(shù)。盡管這種無知部分地是由于一種過分專門化的教育體系所造成的，但這也是我與更廣泛數(shù)學(xué)世界缺少聯(lián)系的結(jié)果。我曾經(jīng)用基本上將自己的女性角色與數(shù)學(xué)家的角色分開來擔(dān)當(dāng)?shù)姆绞剑鉀Q了將兩者調(diào)和起來的問題。我從莫斯科回來后，我的這種數(shù)學(xué)上的孤獨(dú)感愈發(fā)強(qiáng)烈。在我從泛函分析轉(zhuǎn)向拓?fù)鋵W(xué)的過程中，極少受到指導(dǎo)，我很害怕提問，盡量不問問題，以免顯得無知。與此同時(shí)，當(dāng)我做博士后時(shí)，還有了孩子，因此整天忙于應(yīng)付各種瑣碎事務(wù)。在這個(gè)階段中，由于對(duì)怎樣研究數(shù)學(xué)的過程還不理解，我主要是靠閱讀來進(jìn)行學(xué)習(xí)，沒有意識(shí)到學(xué)會(huì)提出問題的基本的重要作用，哪怕是提出自己的也許是比較幼稚的想法。我對(duì)自己今后的職業(yè)規(guī)劃也同樣沒有想法。天上不會(huì)掉餡餅：你必須去申請(qǐng)研究職位和工作，并且不斷地尋找有興趣的會(huì)議。如果能得到一位良師益友的幫助，那就更好了，他能夠?qū)δ闳绾慰朔羞@些困難，給出更好的建議。對(duì)我來說，可能最重要的是學(xué)會(huì)怎樣去提出比較好的數(shù)學(xué)問題。作為一個(gè)學(xué)生，你的任務(wù)就是：不僅要學(xué)習(xí)足夠多的東西，以便能回答別人提出的問題，而且還要學(xué)習(xí)怎樣去構(gòu)造一個(gè)問題，以便能走向有趣的研究方向。在研究新的東西時(shí)，我經(jīng)常習(xí)慣于從中間出發(fā)，運(yùn)用一些別人已經(jīng)發(fā)展起來的復(fù)雜理論。不過經(jīng)常從最簡單的問題和例子出發(fā)也能夠獲得進(jìn)展，這是因?yàn)樗鼈兡苁鼓愀菀椎乩斫饣締栴}，從而可能發(fā)現(xiàn)一條新的途徑。例如在辛幾何中，我總是很喜歡運(yùn)用格羅莫夫(Gromov)的非擠壓(nonsqueezing)定理，它對(duì)如何以辛方式控制一個(gè)球體給出了限制條件。這個(gè)非?；镜膸缀谓Y(jié)果在某種程度上與我產(chǎn)生了共鳴，因此它成為了由此出發(fā)進(jìn)一步探索的一個(gè)牢固的基礎(chǔ)。最近以來，人們?cè)絹碓礁杏X到數(shù)學(xué)是一種依靠群體努力進(jìn)行建設(shè)的學(xué)科：即使是最杰出的思想，如果它脫離了與數(shù)學(xué)整體的聯(lián)系，也會(huì)失去意義。通常來說，一旦你理解了這種與整體的聯(lián)系，再進(jìn)行自我獨(dú)立的研究工作就會(huì)變得非常重要和富有成果了。當(dāng)然，在學(xué)習(xí)的同時(shí)，與別人的聯(lián)系互動(dòng)也是必不可少的。有許多的方法可以成功地建立起這樣的交流渠道，例如改變建筑物的結(jié)構(gòu)、會(huì)議和會(huì)場(chǎng)的安排、數(shù)學(xué)系里教學(xué)研究計(jì)劃的調(diào)整，以及改進(jìn)相對(duì)來講不那么正式的討論班與講座的氣氛等。有時(shí)候在討論班上，一個(gè)新手?jǐn)?shù)學(xué)家不是昏昏欲睡和看上去比較厭煩，而是積極地提問，使問題得到澄清，并且使參加討論的每一個(gè)人都獲益，此時(shí)我們會(huì)驚喜地發(fā)現(xiàn)討論班上的氣氛改變了。人們（不管是年輕的還是年長的）通常都因?yàn)楹ε卤┞蹲约旱臒o知、缺乏想象力和其他固有的缺點(diǎn)，而導(dǎo)致沉默。但是在像數(shù)學(xué)這樣的看上去既困難又美麗的學(xué)科中，其實(shí)每一個(gè)人都需要從別人那里學(xué)到一些東西?，F(xiàn)在有許多很好的小型會(huì)議和研究班，它們是這樣組織的：即容易讓人們學(xué)習(xí)討論某些已有的理論的細(xì)節(jié)，又能夠?qū)π碌姆较蚝托碌膯栴}展開討論和進(jìn)一步的研究。怎樣將女性角色與數(shù)學(xué)家角色調(diào)和統(tǒng)一起來的問題依然困擾著我，雖然數(shù)學(xué)是一門本質(zhì)上不適合女性的學(xué)科的觀點(diǎn)已經(jīng)不那么普遍流行了。我不認(rèn)為我們女性應(yīng)該盡可能多地出現(xiàn)在數(shù)學(xué)世界中，只要有足夠數(shù)量的女?dāng)?shù)學(xué)家，并且不再作為例外而被忽視就可以了。我發(fā)現(xiàn)主要由女?dāng)?shù)學(xué)家參加的會(huì)議并不理想；滿屋子全部都是女性，她們正在談?wù)撝鴶?shù)學(xué)，這種氣氛比較怪異。同樣，人們也越來越能夠理解，真正的問題是在于?任何一個(gè)年輕人將怎樣既能夠過好一個(gè)令人滿意的個(gè)人生活，同時(shí)又成為一個(gè)有創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)家。只要人們開始以一種嚴(yán)肅的方式認(rèn)真地對(duì)待這個(gè)問題，并且努力地工作，我們將真正地?fù)碛幸粋€(gè)漫長的數(shù)學(xué)人生。?Peter Sarnak的忠告?
多年來我已經(jīng)指導(dǎo)了不少博士研究生，這也許使我有資格以一個(gè)有經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)師的身份來寫一些忠告。每當(dāng)我遇到一個(gè)出色的學(xué)生（我非常幸運(yùn)我能夠有這樣的一些學(xué)生），我所能給出的指導(dǎo)僅僅是告訴他，比如可以在某個(gè)區(qū)域內(nèi)挖出黃金，或者給出一些含糊不清的建議。一旦他們行動(dòng)起來，發(fā)揮其智慧與才能，結(jié)果他們沒有發(fā)現(xiàn)黃金，但卻找到了鉆石（當(dāng)然事后我忍不住會(huì)說“我告訴過你會(huì)這樣”）。在這種情況下，和大多數(shù)的情形一樣，一個(gè)討論班導(dǎo)師的作用就更像一個(gè)教練：只是不斷加以鼓勵(lì)，并確信所指導(dǎo)的學(xué)生正在做的是一些有意思的問題，且清楚其可以采用的工具是什么。這么多年下來，我發(fā)現(xiàn)自己經(jīng)常重復(fù)說的某些評(píng)論與建議對(duì)于學(xué)生來說還是很有用的。以下所列是其中的一部分。（1）當(dāng)我們學(xué)習(xí)一個(gè)新的領(lǐng)域知識(shí)時(shí)，我們應(yīng)該將閱讀現(xiàn)代論述與鉆研原始論文結(jié)合起來，尤其是該領(lǐng)域開創(chuàng)大師的論文。很多學(xué)科的現(xiàn)代敘述所產(chǎn)生的主要麻煩是它們太完美了。隨著每一個(gè)（數(shù)學(xué)專著與教科書的）新作者都不斷地發(fā)現(xiàn)和加入更巧妙的證明處理方法，最后形成的理論體系總是傾向于采用“最簡短的證明”。很不幸的是，這種形式化的表述經(jīng)常引起新一代學(xué)生們的極大困惑：“人們是怎樣想出來的？”通過回到原始的出發(fā)點(diǎn)，學(xué)生通常就能夠看到概念與理論的演變十分自然，并且理解它們是怎樣一步步變成現(xiàn)代形式的理論的。（當(dāng)然面對(duì)著那些天才的數(shù)學(xué)家們所具有的令人意想不到的杰出思想，我們只能感到驚嘆不已，但是這種情況要比你想象的少得多。）我想舉一個(gè)例子，緊李群表示論有許多現(xiàn)代的表述，我在講解其中的一種時(shí)，通常會(huì)推薦學(xué)生去閱讀外爾(Weyl)的原始論文，看他是如何推導(dǎo)出他的特征標(biāo)公式的。類似地，我會(huì)向已經(jīng)了解復(fù)分析并且想要進(jìn)一步學(xué)習(xí)黎曼面現(xiàn)代理論的學(xué)生，推薦他寫的書《黎曼面的概念》，而黎曼面對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域來說具有最基本的重要性。研究和閱讀像外爾這樣的大數(shù)學(xué)家的論文選集同樣也是十分富有教益的。在學(xué)習(xí)他們的定理的同時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)他們的心智是如何運(yùn)作的。從一篇論文到下一篇之間，基本上總是有一條線在自然地引導(dǎo)，而且容易看出某些后來的研究發(fā)展也是不可避免的。這一切都非常具有啟發(fā)性。（2）另一方面，你應(yīng)當(dāng)對(duì)一些教條和“標(biāo)準(zhǔn)猜想”敢于質(zhì)疑，即使它們來自于某些大人物。許多標(biāo)準(zhǔn)猜想都是基于一些人們所能夠理解的特殊情形作出的。除此之外，剩下的基本上只有人們多少有些一相情愿的想法：人們很期望一般的圖景不會(huì)和特殊情形所建議的圖景相差太遠(yuǎn)。我知道幾個(gè)這樣的研究事例，在其中一開始的時(shí)候，人們都是先著手證明一個(gè)被認(rèn)為普遍成立的結(jié)論，但是沒有取得任何進(jìn)展，直到最后人們才認(rèn)真地反思它是否真的成立。在說了以上這些后，我也感到，如果不是出于特別好的理由，隨便地去懷疑某個(gè)特定的猜想（例如黎曼猜想）及其可證性，的確有些不妥。雖然作為科學(xué)家的我們，肯定是應(yīng)該采取一種批判性的態(tài)度（特別是針對(duì)一些我們數(shù)學(xué)家所發(fā)明的人造對(duì)象），但在心理上同樣重要的是，我們要相信我們的“數(shù)學(xué)世界”的存在性，對(duì)什么能成立、以及什么能被證明抱有信心。（3）不要將“初等”混同于“容易”：一個(gè)證明可以確定是初等的，但卻不是容易的。實(shí)際上，存在著許多這樣的定理：只要用一點(diǎn)點(diǎn)（現(xiàn)代數(shù)學(xué)的）高端方法就可以使定理的證明變得非常容易理解，并顯示蘊(yùn)涵于其中的思想，相反如果避免使用高端的概念與方法，而只是用初等的方法來證明，則會(huì)掩蓋定理背后的思想內(nèi)涵。另一方面，也要注意不要將高端等同于高質(zhì)量，或者等同于“高級(jí)證明”（這是一個(gè)我很喜歡用的字眼，它會(huì)引起許多我以前學(xué)生們的哄笑）。在年輕的數(shù)學(xué)家們中間確實(shí)有一種（盲目）使用新奇的高端數(shù)學(xué)語言的傾向，以顯示他們正在做的工作比較深刻。然而，只有真正理解了現(xiàn)代工具，并且與新的思想相結(jié)合，現(xiàn)代的工具才能發(fā)揮作用。那些在某些領(lǐng)域（例如數(shù)論）工作的人，如果不花時(shí)間和實(shí)質(zhì)性的努力去學(xué)習(xí)掌握這些工具，就會(huì)使他們處于非常不利的境地。拒絕學(xué)習(xí)和掌握這些新工具，就好象只用鑿子來拆一座建筑物。即使你使用鑿子非常熟練，別人用推土機(jī)也比你有巨大的優(yōu)越性，并且用不著掌握像你那樣（使用鑿子）的技巧。（4）在數(shù)學(xué)中做研究會(huì)讓人感到受挫，如果你還不習(xí)慣于遭受挫折，那么數(shù)學(xué)就不是你的理想選擇。在絕大多數(shù)的時(shí)間里，你是沒有任何進(jìn)展的，如果不是這樣，則要么你是一個(gè)天才，要么就是你所遇到的問題屬于在開始研究之前你已經(jīng)知道怎樣解決的那種。盡管一些后續(xù)的研究工作也會(huì)有相當(dāng)?shù)模òl(fā)展）空間，并且達(dá)到較高的水準(zhǔn)，但是一般來說絕大多數(shù)的重大突破都是用艱苦的工作換來的，伴隨著許多錯(cuò)誤的步驟，長時(shí)間里只有微小的進(jìn)展，甚至還有倒退。有一些方法可以減輕這種痛苦。如今的許多人采用合作研究的方式，這種方法除了有讓不同專長的人一起攻關(guān)的明顯優(yōu)點(diǎn)外，還能讓人們來共同承受失敗。這對(duì)絕大多數(shù)的人們來說肯定是很有好處的（在數(shù)學(xué)中分享重大突破所帶來的喜悅和榮譽(yù)一般來說不會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的名次爭(zhēng)議，就像其他一些科學(xué)領(lǐng)域常見的那樣）。我經(jīng)常勸我的學(xué)生在任何可用的時(shí)間里，手上要同時(shí)有一連串待研究的問題。其中，就是挑戰(zhàn)最小的問題也應(yīng)該有足夠的難度，難到解決它以后會(huì)給你帶來相當(dāng)?shù)臐M足感（不然又有什么意思呢？），并且幸運(yùn)的話可能帶動(dòng)其他問題的解決。這樣，你應(yīng)該考慮一連串更具有挑戰(zhàn)性的問題，其中最難的問題就是（該領(lǐng)域）最關(guān)注的未解決問題。你應(yīng)該不時(shí)地考慮去攻克它們，從各種不同的視角來審視它們。很重要的是你要敢于讓自己去解決非常困難的問題，不然就沒有成功的可能性，也許幸運(yùn)的話，你會(huì)從中獲取許多。（5）每周聽系里的各種學(xué)術(shù)報(bào)告，并且希望報(bào)告的組織者能夠挑選好的報(bào)告人。在數(shù)學(xué)中有比較廣博的知識(shí)是很重要的。在學(xué)習(xí)了解其他分支領(lǐng)域里的人們解決有趣問題的進(jìn)展時(shí)，或當(dāng)你聽到演講者在談?wù)撓喈?dāng)不同的研究時(shí)，你的心靈會(huì)經(jīng)常受到某些思想的觸動(dòng)。同樣，你也可能學(xué)到一種方法或理論，或許可以用到你正在做的其中一個(gè)問題上。在最近的一段時(shí)期里，有好幾個(gè)長期未能解決的重大問題獲得了最令人驚訝的突破，解決它們的方法都是來自于一些不同的數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域思想的意想不到的組合。—?THE END —
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