回溯算法詳解（修訂版）
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這篇文章是很久之前的一篇《回溯算法詳解》的進(jìn)階版，之前那篇不夠清楚，就不必看了，看這篇就行。把框架給你講清楚，你會(huì)發(fā)現(xiàn)回溯算法問題都是一個(gè)套路。
廢話不多說，直接上回溯算法框架。解決一個(gè)回溯問題，實(shí)際上就是一個(gè)決策樹的遍歷過程。你只需要思考 3 個(gè)問題：
1、路徑：也就是已經(jīng)做出的選擇。
2、選擇列表：也就是你當(dāng)前可以做的選擇。
3、結(jié)束條件：也就是到達(dá)決策樹底層，無法再做選擇的條件。
如果你不理解這三個(gè)詞語的解釋，沒關(guān)系，我們后面會(huì)用「全排列」和「N 皇后問題」這兩個(gè)經(jīng)典的回溯算法問題來幫你理解這些詞語是什么意思，現(xiàn)在你先留著印象。
代碼方面，回溯算法的框架：
result = []
def backtrack(路徑, 選擇列表):
if 滿足結(jié)束條件:
result.add(路徑)
return
for 選擇 in 選擇列表:
做選擇
backtrack(路徑, 選擇列表)
撤銷選擇
其核心就是 for 循環(huán)里面的遞歸，在遞歸調(diào)用之前「做選擇」，在遞歸調(diào)用之后「撤銷選擇」，特別簡(jiǎn)單。
什么叫做選擇和撤銷選擇呢，這個(gè)框架的底層原理是什么呢？下面我們就通過「全排列」這個(gè)問題來解開之前的疑惑，詳細(xì)探究一下其中的奧妙！
一、全排列問題
我們?cè)诟咧械臅r(shí)候就做過排列組合的數(shù)學(xué)題，我們也知道n個(gè)不重復(fù)的數(shù)，全排列共有 n! 個(gè)。
PS：為了簡(jiǎn)單清晰起見，我們這次討論的全排列問題不包含重復(fù)的數(shù)字。
那么我們當(dāng)時(shí)是怎么窮舉全排列的呢？比方說給三個(gè)數(shù)[1,2,3]，你肯定不會(huì)無規(guī)律地亂窮舉，一般是這樣：
先固定第一位為 1，然后第二位可以是 2，那么第三位只能是 3；然后可以把第二位變成 3，第三位就只能是 2 了；然后就只能變化第一位，變成 2，然后再窮舉后兩位……
其實(shí)這就是回溯算法，我們高中無師自通就會(huì)用，或者有的同學(xué)直接畫出如下這棵回溯樹：
只要從根遍歷這棵樹，記錄路徑上的數(shù)字，其實(shí)就是所有的全排列。我們不妨把這棵樹稱為回溯算法的「決策樹」。
為啥說這是決策樹呢，因?yàn)槟阍诿總€(gè)節(jié)點(diǎn)上其實(shí)都在做決策。比如說你站在下圖的紅色節(jié)點(diǎn)上：
你現(xiàn)在就在做決策，可以選擇 1 那條樹枝，也可以選擇 3 那條樹枝。為啥只能在 1 和 3 之中選擇呢？因?yàn)?2 這個(gè)樹枝在你身后，這個(gè)選擇你之前做過了，而全排列是不允許重復(fù)使用數(shù)字的。
現(xiàn)在可以解答開頭的幾個(gè)名詞：[2]就是「路徑」，記錄你已經(jīng)做過的選擇；[1,3]就是「選擇列表」，表示你當(dāng)前可以做出的選擇；「結(jié)束條件」就是遍歷到樹的底層，在這里就是選擇列表為空的時(shí)候。
如果明白了這幾個(gè)名詞，可以把「路徑」和「選擇列表」作為決策樹上每個(gè)節(jié)點(diǎn)的屬性，比如下圖列出了幾個(gè)節(jié)點(diǎn)的屬性：
我們定義的backtrack函數(shù)其實(shí)就像一個(gè)指針，在這棵樹上游走，同時(shí)要正確維護(hù)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的屬性，每當(dāng)走到樹的底層，其「路徑」就是一個(gè)全排列。
再進(jìn)一步，如何遍歷一棵樹？這個(gè)應(yīng)該不難吧?；貞浺幌轮?nbsp;學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的框架思維 寫過，各種搜索問題其實(shí)都是樹的遍歷問題，而多叉樹的遍歷框架就是這樣：
void traverse(TreeNode root) {
for (TreeNode child : root.childern)
// 前序遍歷需要的操作
traverse(child);
// 后序遍歷需要的操作
}
而所謂的前序遍歷和后序遍歷，他們只是兩個(gè)很有用的時(shí)間點(diǎn)，我給你畫張圖你就明白了：
前序遍歷的代碼在進(jìn)入某一個(gè)節(jié)點(diǎn)之前的那個(gè)時(shí)間點(diǎn)執(zhí)行，后序遍歷代碼在離開某個(gè)節(jié)點(diǎn)之后的那個(gè)時(shí)間點(diǎn)執(zhí)行。
回想我們剛才說的，「路徑」和「選擇」是每個(gè)節(jié)點(diǎn)的屬性，函數(shù)在樹上游走要正確維護(hù)節(jié)點(diǎn)的屬性，那么就要在這兩個(gè)特殊時(shí)間點(diǎn)搞點(diǎn)動(dòng)作：
現(xiàn)在，你是否理解了回溯算法的這段核心框架？
for 選擇 in 選擇列表:
# 做選擇
將該選擇從選擇列表移除
路徑.add(選擇)
backtrack(路徑, 選擇列表)
# 撤銷選擇
路徑.remove(選擇)
將該選擇再加入選擇列表
我們只要在遞歸之前做出選擇，在遞歸之后撤銷剛才的選擇，就能正確得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的選擇列表和路徑。
下面，直接看全排列代碼：
List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();
/* 主函數(shù)，輸入一組不重復(fù)的數(shù)字，返回它們的全排列 */
List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
// 記錄「路徑」
LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
backtrack(nums, track);
return res;
}
// 路徑：記錄在 track 中
// 選擇列表：nums 中不存在于 track 的那些元素
// 結(jié)束條件：nums 中的元素全都在 track 中出現(xiàn)
void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track) {
// 觸發(fā)結(jié)束條件
if (track.size() == nums.length) {
res.add(new LinkedList(track));
return;
}
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
// 排除不合法的選擇
if (track.contains(nums[i]))
continue;
// 做選擇
track.add(nums[i]);
// 進(jìn)入下一層決策樹
backtrack(nums, track);
// 取消選擇
track.removeLast();
}
}
我們這里稍微做了些變通，沒有顯式記錄「選擇列表」，而是通過nums和track推導(dǎo)出當(dāng)前的選擇列表：
至此，我們就通過全排列問題詳解了回溯算法的底層原理。當(dāng)然，這個(gè)算法解決全排列不是很高效，因?yàn)閷?duì)鏈表使用contains方法需要 O(N) 的時(shí)間復(fù)雜度。有更好的方法通過交換元素達(dá)到目的，但是難理解一些，這里就不寫了，有興趣可以自行搜索一下。
但是必須說明的是，不管怎么優(yōu)化，都符合回溯框架，而且時(shí)間復(fù)雜度都不可能低于 O(N!)，因?yàn)楦F舉整棵決策樹是無法避免的。這也是回溯算法的一個(gè)特點(diǎn)，不像動(dòng)態(tài)規(guī)劃存在重疊子問題可以優(yōu)化，回溯算法就是純暴力窮舉，復(fù)雜度一般都很高。
明白了全排列問題，就可以直接套回溯算法框架了，下面簡(jiǎn)單看看 N 皇后問題。
二、N 皇后問題
這個(gè)問題很經(jīng)典了，簡(jiǎn)單解釋一下：給你一個(gè) N×N 的棋盤，讓你放置 N 個(gè)皇后，使得它們不能互相攻擊。
PS：皇后可以攻擊同一行、同一列、左上左下右上右下四個(gè)方向的任意單位。
這是 N = 8 的一種放置方法：
圖片來自 LeetCode
這個(gè)問題本質(zhì)上跟全排列問題差不多，決策樹的每一層表示棋盤上的每一行；每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以做出的選擇是，在該行的任意一列放置一個(gè)皇后。
直接套用框架:
vector<vector<string>> res;
/* 輸入棋盤邊長(zhǎng) n，返回所有合法的放置 */
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
// '.' 表示空，'Q' 表示皇后，初始化空棋盤。
vector<string> board(n, string(n, '.'));
backtrack(board, 0);
return res;
}
// 路徑：board 中小于 row 的那些行都已經(jīng)成功放置了皇后
// 選擇列表：第 row 行的所有列都是放置皇后的選擇
// 結(jié)束條件：row 超過 board 的最后一行
void backtrack(vector<string>& board, int row) {
// 觸發(fā)結(jié)束條件
if (row == board.size()) {
res.push_back(board);
return;
}
int n = board[row].size();
for (int col = 0; col < n; col++) {
// 排除不合法選擇
if (!isValid(board, row, col))
continue;
// 做選擇
board[row][col] = 'Q';
// 進(jìn)入下一行決策
backtrack(board, row + 1);
// 撤銷選擇
board[row][col] = '.';
}
}
這部分主要代碼，跟全排列問題差不多。isValid函數(shù)的實(shí)現(xiàn)也很簡(jiǎn)單：
/* 是否可以在 board[row][col] 放置皇后？ */
bool isValid(vector<string>& board, int row, int col) {
int n = board.size();
// 檢查列是否有皇后互相沖突
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (board[i][col] == 'Q')
return false;
}
// 檢查右上方是否有皇后互相沖突
for (int i = row - 1, j = col + 1;
i >= 0 && j < n; i--, j++) {
if (board[i][j] == 'Q')
return false;
}
// 檢查左上方是否有皇后互相沖突
for (int i = row - 1, j = col - 1;
i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
if (board[i][j] == 'Q')
return false;
}
return true;
}
函數(shù)backtrack依然像個(gè)在決策樹上游走的指針，每個(gè)節(jié)點(diǎn)就表示在board[row][col]上放置皇后，通過isValid函數(shù)可以將不符合條件的情況剪枝：
如果直接給你這么一大段解法代碼，可能是懵逼的。但是現(xiàn)在明白了回溯算法的框架套路，還有啥難理解的呢？無非是改改做選擇的方式，排除不合法選擇的方式而已，只要框架存于心，你面對(duì)的只剩下小問題了。
當(dāng)N = 8時(shí)，就是八皇后問題，數(shù)學(xué)大佬高斯窮盡一生都沒有數(shù)清楚八皇后問題到底有幾種可能的放置方法，但是我們的算法只需要一秒就可以算出來所有可能的結(jié)果。
不過真的不怪高斯。這個(gè)問題的復(fù)雜度確實(shí)非常高，看看我們的決策樹，雖然有isValid函數(shù)剪枝，但是最壞時(shí)間復(fù)雜度仍然是 O(N^(N+1))，而且無法優(yōu)化。如果N = 10的時(shí)候，計(jì)算就已經(jīng)很耗時(shí)了。
有的時(shí)候，我們并不想得到所有合法的答案，只想要一個(gè)答案，怎么辦呢？比如解數(shù)獨(dú)的算法，找所有解法復(fù)雜度太高，只要找到一種解法就可以。
其實(shí)特別簡(jiǎn)單，只要稍微修改一下回溯算法的代碼即可：
// 函數(shù)找到一個(gè)答案后就返回 true
bool backtrack(vector<string>& board, int row) {
// 觸發(fā)結(jié)束條件
if (row == board.size()) {
res.push_back(board);
return true;
}
...
for (int col = 0; col < n; col++) {
...
board[row][col] = 'Q';
if (backtrack(board, row + 1))
return true;
board[row][col] = '.';
}
return false;
}
這樣修改后，只要找到一個(gè)答案，for 循環(huán)的后續(xù)遞歸窮舉都會(huì)被阻斷。也許你可以在 N 皇后問題的代碼框架上，稍加修改，寫一個(gè)解數(shù)獨(dú)的算法？
三、最后總結(jié)
回溯算法就是個(gè)多叉樹的遍歷問題，關(guān)鍵就是在前序遍歷和后序遍歷的位置做一些操作，算法框架如下：
def backtrack(...):
for 選擇 in 選擇列表:
做選擇
backtrack(...)
撤銷選擇
寫backtrack函數(shù)時(shí)，需要維護(hù)走過的「路徑」和當(dāng)前可以做的「選擇列表」，當(dāng)觸發(fā)「結(jié)束條件」時(shí)，將「路徑」記入結(jié)果集。
其實(shí)想想看，回溯算法和動(dòng)態(tài)規(guī)劃是不是有點(diǎn)像呢？我們?cè)趧?dòng)態(tài)規(guī)劃系列文章中多次強(qiáng)調(diào)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的三個(gè)需要明確的點(diǎn)就是「狀態(tài)」「選擇」和「base case」，是不是就對(duì)應(yīng)著走過的「路徑」，當(dāng)前的「選擇列表」和「結(jié)束條件」？
某種程度上說，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的暴力求解階段就是回溯算法。只是有的問題具有重疊子問題性質(zhì)，可以用 dp table 或者備忘錄優(yōu)化，將遞歸樹大幅剪枝，這就變成了動(dòng)態(tài)規(guī)劃。而今天的兩個(gè)問題，都沒有重疊子問題，也就是回溯算法問題了，復(fù)雜度非常高是不可避免的。
本文終。如果覺得本文不錯(cuò)的話，不妨分享給你的朋友。另外，幾篇?jiǎng)討B(tài)規(guī)劃和框架思維的相關(guān)文章正在更新和修訂，敬請(qǐng)期待。
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