來源：EDN電子技術(shù)設(shè)計

要講小波變換，我們必須了解傅立葉變換。要了解傅立葉變換，我們先要弄清楚什么是”變換“。很多處理，不管是壓縮也好，濾波也好，圖形處理也好，本質(zhì)都是變換。

變換的是什么東西呢？是基，也就是basis。如果你暫時有些遺忘了basis的定義，那么簡單說，在線性代數(shù)里，basis是指空間里一系列線性獨立的向量，而這個空間里的任何其他向量，都可以由這些個向量的線性組合來表示。那basis在變換里面啥用呢？

比如說吧，傅立葉展開的本質(zhì)，就是把一個空間中的信號用該空間的某個basis的線性組合表示出來，要這樣表示的原因，是因為傅立葉變換的本質(zhì)，是。小波變換自然也不例外的和basis有關(guān)了。再比如你用Photoshop去處理圖像，里面的圖像拉伸，反轉(zhuǎn)，等等一系列操作，都是和basis的改變有關(guān)。

既然這些變換都是在搞基，那我們自然就容易想到，這個basis的選取非常重要，因為basis的特點決定了具體的計算過程。一個空間中可能有很多種形式的basis，什么樣的basis比較好，很大程度上取決于這個basis服務(wù)于什么應(yīng)用。

比如如果我們希望選取有利于壓縮的話，那么就希望這個basis能用其中很少的向量來最大程度地表示信號，這樣即使把別的向量給砍了，信號也不會損失很多。而如果是圖形處理中常見的線性變換，最省計算量的完美basis就是eigenvector basis了，因為此時變換矩陣T對它們的作用等同于對角矩陣(Tv_n=av_n，a是eigenvalue)。

總的來說，拋開具體的應(yīng)用不談，所有的basis，我們都希望它們有一個共同的特點，那就是，容易計算，用最簡單的方式呈現(xiàn)最多的信號特性。

好，現(xiàn)在我們對變換有了基本的認(rèn)識，知道他們其實就是在搞基。當(dāng)然，搞基也是分形式的，不同的變換，搞基的妙處各有不同。接下來先看看，傅立葉變換是在干嘛。

傅立葉級數(shù)最早是Joseph Fourier這個人提出的，他發(fā)現(xiàn)，這個basis不僅僅存在與vector space，還存在于function space。這個function space本質(zhì)上還是一個linear vector space，可以是有限的，可以是無限的，只不過在這個空間里，vector就是function了，而對應(yīng)的標(biāo)量就是實數(shù)或者復(fù)數(shù)。

在vector space里，你有vectorv可以寫成vector basis的線性組合，那在function space里，function f(x)也可以寫成對應(yīng)function basis的線性組合，也有norm。你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。唯一不同的是，我的function basis是無窮盡的，因為我的function space的維度是無窮的。好，具體來說，那就是現(xiàn)在我們有一個函數(shù)，f(x)。我們希望將它寫成一些cos函數(shù)和一些sin函數(shù)的形式，像這樣

again，這是一個無限循環(huán)的函數(shù)。其中的1，cosx，sinx，cos2x，…..這些，就是傅立葉級數(shù)。傅立葉級數(shù)應(yīng)用如此廣泛的主要原因之一，就是它們這幫子function basis是正交的，這就是有趣的地方了。為什么function basis正交如此重要呢？我們說兩個vector正交，那就是他倆的內(nèi)積為0。那對于function basis呢？function basis怎么求內(nèi)積呢？

現(xiàn)在先復(fù)習(xí)一下vector正交的定義。我們說兩個vectorv，w如果正交的話，應(yīng)符合：

那什么是function正交呢？假設(shè)我們有兩個函數(shù)f(x)和g(x)，那是什么？我們遵循vector的思路去想，兩個vector求內(nèi)積，就是把他們相同位置上對應(yīng)的點的乘積做一個累加。那移過來，就是對每一個x點，對應(yīng)的f和g做乘積，再累加。不過問題是，f和g都是無限函數(shù)阿，x又是一個連續(xù)的值。怎么辦呢？向量是離散的，所以累加，函數(shù)是連續(xù)的，那就是…….積分！

我們知道函數(shù)內(nèi)積是這樣算的了，自然也就容易證明，按照這個形式去寫的傅立葉展開，這些級數(shù)確實都是兩兩正交的。證明過程這里就不展開了。

好，下一個問題就是，為什么它們是正交basis如此重要呢？這就牽涉到系數(shù)的求解了。我們研究了函數(shù)f，研究了級數(shù)，一堆三角函數(shù)和常數(shù)1，那系數(shù)呢？a0,a1,a2這些系數(shù)該怎么確定呢？好，比如我這里準(zhǔn)備求a1了。我現(xiàn)在知道什么？信號f(x)是已知的，傅立葉級數(shù)是已知的，我們怎么求a1呢？很簡單，把方程兩端的所有部分都求和cosx的內(nèi)積，即：

然后我們發(fā)現(xiàn)，因為正交的性質(zhì)，右邊所有非a1項全部消失了，因為他們和cosx的內(nèi)積都是0！所有就簡化為：

這樣，a1就求解出來了。到這里，你就看出正交的奇妙性了吧:)

好，現(xiàn)在我們知道，傅立葉變換就是用一系列三角波來表示信號方程的展開，這個信號可以是連續(xù)的，可以是離散的。傅立葉所用的function basis是專門挑選的，是正交的，是利于計算coefficients的。但千萬別誤解為展開變換所用的basis都是正交的，這完全取決于具體的使用需求，比如泰勒展開的basis就只是簡單的非正交多項式。

有了傅立葉變換的基礎(chǔ)，接下來，我們就看看什么是小波變換。首先來說說什么是小波。所謂波，就是在時間域或者空間域的震蕩方程，比如正弦波，就是一種波。什么是波分析？針對波的分析拉（囧）。并不是說小波分析才屬于波分析，傅立葉分析也是波分析，因為正弦波也是一種波嘛。那什么是小波呢？這個”小“，是針對傅立葉波而言的。傅立葉所用的波是什么？正弦波，這玩意以有著無窮的能量，同樣的幅度在整個無窮大區(qū)間里面振蕩，像下面這樣：

那小波是什么呢？是一種能量在時域非常集中的波。它的能量是有限的，而且集中在某一點附近。比如下面這樣：

這種小波有什么好處呢？它對于分析瞬時時變信號非常有用。它有效的從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度細(xì)化分析，解決了傅立葉變換不能解決的許多困難問題。恩，以上就是通常情況下你能在國內(nèi)網(wǎng)站上搜到的小波變換文章告訴你的。但為什么呢？這是我希望在這個系列文章中講清楚的。不過在這篇文章里，我先點到為止，把小波變換的重要特性以及優(yōu)點cover了，在下一篇文章中再具體推導(dǎo)這些特性。

小波變換的本質(zhì)和傅立葉變換類似，也是用精心挑選的basis來表示信號方程。每個小波變換都會有一個mother wavelet，我們稱之為母小波，同時還有一個

scaling function，中文是尺度函數(shù)，也被成為父小波。任何小波變換的basis函數(shù)，其實就是對這個母小波和父小波縮放和平移后的集合。下面這附圖就是某種小波的示意圖：

從這里看出，這里的縮放倍數(shù)都是2的級數(shù)，平移的大小和當(dāng)前其縮放的程度有關(guān)。這樣的好處是，小波的basis函數(shù)既有高頻又有低頻，同時還覆蓋了時域。對于這點，我們會在之后詳細(xì)闡述。

小波展開的形式通常都是這樣（注意，這個只是近似表達(dá)）：

其中的ψj,k(t)就是小波級數(shù)，這些級數(shù)的組合就形成了小波變換中的基basis。和傅立葉級數(shù)有一點不同的是，小波級數(shù)通常是orthonormal basis，也就是說，它們不僅兩兩正交，還歸一化了。小波級數(shù)通常有很多種，但是都符合下面這些特性：

1. 小波變換對不管是一維還是高維的大部分信號都能cover很好。這個和傅立葉級數(shù)有很大區(qū)別。后者最擅長的是把一維的，類三角波連續(xù)變量函數(shù)信號映射到一維系數(shù)序列上，但對于突變信號或任何高維的非三角波信號則幾乎無能為力。

2. 圍繞小波級數(shù)的展開能夠在時域和頻域上同時定位信號，也就是說，信號的大部分能量都能由非常少的展開系數(shù)，比如a{j,k}決定。這個特性是得益于小波變換是二維變換。我們從兩者展開的表達(dá)式就可以看出來，傅立葉級數(shù)是ψi(t)，而小波級ψj,k(t)。

3.從信號算出展開系數(shù)a需要很方便。普遍情況下，小波變換的復(fù)雜度是O(Nlog(N))，和FFT相當(dāng)。有不少很快的變換甚至可以達(dá)到O(N)，也就是說，計算復(fù)雜度和信號長度是線性的關(guān)系。小波變換的等式定義，可以沒有積分，沒有微分，僅僅是乘法和加法即可以做到，和現(xiàn)代計算機的計算指令完全match。

可能看到這里，你會有點暈了。這些特性是怎么來的？為什么需要有這些特性？具體到實踐中，它們到底是怎么給小波變換帶來比別人更強的好處的？計算簡單這個可能好理解，因為前面我們已經(jīng)講過正交特性了。那么二維變換呢？頻域和時域定位是如何進(jìn)行的呢？恩，我完全理解你的感受，因為當(dāng)初我看別的文章，也是有這些問題，就是看不到答案。要說想完全理解小波變換的這些本質(zhì)，需要詳細(xì)的講解，所以我就把它放到下一篇了。

接下來，上幾張圖，我們以一些基本的信號處理來呈現(xiàn)小波變換比傅立葉變換好的地方，我保證，你看了這個比較之后，大概能隱約感受到小波變換的強大，并對背后的原理充滿期待:)

假設(shè)我們現(xiàn)在有這么一個信號：

看到了吧，這個信號就是一個直流信號。我們用傅立葉將其展開，會發(fā)現(xiàn)形式非常簡單：只有一個級數(shù)系數(shù)不是0，其他所有級數(shù)系數(shù)都是0。我們再看這個信號：

簡單說，就是在前一個直流信號上，增加了一個突變。其實這個突變，在時域中看來很簡單，前面還是很平滑的直流，后面也是很平滑的直流，就是中間有一個階躍嘛。但是，如果我們再次讓其傅立葉展開呢？所有的傅立葉級數(shù)都為非0了！為什么？因為傅立葉必須用三角波來展開信號，對于這種變換突然而劇烈的信號來講，即使只有一小段變換，傅立葉也不得不用大量的三角波去擬合，就像這樣：

看看上面這個圖。學(xué)過基本的信號知識的朋友估計都能想到，這不就是Gibbs現(xiàn)象么？Exactly。用比較八股的說法來解釋，Gibbs現(xiàn)象是由于展開式在間斷點鄰域不能均勻收斂所引起的，即使在N趨于無窮大時，這一現(xiàn)象也依然存在。其實通俗一點解釋，就是當(dāng)變化太sharp的時候，三角波fit不過來了，就湊合出Gibbs了:)接下來我們來看看，如果用剛才舉例中的那種小波，展開之后是這樣的：

看見了么？只要小波basis不和這個信號變化重疊，它所對應(yīng)的級數(shù)系數(shù)都為0！也就是說，假如我們就用這個三級小波對此信號展開，那么只有3個級數(shù)系數(shù)不為0。你可以使用更復(fù)雜的小波，不管什么小波，大部分級數(shù)系數(shù)都會是0。

原因？由于小波basis的特殊性，任何小波和常量函數(shù)的內(nèi)積都趨近于0。換句話說，選小波的時候，就需要保證母小波在一個周期的積分趨近于0。正是這個有趣的性質(zhì)，讓小波變換的計算以及對信號的詮釋比傅立葉變換更勝一籌！原因在于，小波變換允許更加精確的局部描述以及信號特征的分離。一個傅立葉系數(shù)通常表示某個貫穿整個時間域的信號分量，因此，即使是臨時的信號，其特征也被強扯到了整個時間周期去描述。而小波展開的系數(shù)則代表了對應(yīng)分量它當(dāng)下的自己，因此非常容易詮釋。

小波變換的優(yōu)勢不僅僅在這里。事實上，對于傅立葉變換以及大部分的信號變換系統(tǒng)，他們的函數(shù)基都是固定的，那么變換后的結(jié)果只能按部就班被分析推導(dǎo)出來，沒有任何靈活性，比如你如果決定使用傅立葉變換了，那basisfunction就是正弦波，你不管怎么scale，它都是正弦波，即使你舉出余弦波，它還是移相后的正弦波。

總之你就只能用正弦波，沒有任何商量的余地。而對于小波變換來講，基是變的，是可以根據(jù)信號來推導(dǎo)或者構(gòu)建出來的，只要符合小波變換的性質(zhì)和特點即可。也就是說，如果你有著比較特殊的信號需要處理，你甚至可以構(gòu)建一個專門針對這種特殊信號的小波basisfunction集合對其進(jìn)行分析。這種靈活性是任何別的變換都無法比擬的。總結(jié)來說，傅立葉變換適合周期性的，統(tǒng)計特性不隨時間變化的信號；而小波變換則適用于大部分信號，尤其是瞬時信號。它針對絕大部分信號的壓縮，去噪，檢測效果都特別好。

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